Неявная поверхность

Поверхность в трехмерном пространстве, определяемая неявной функцией трех переменных

Неявный поверхностный тор ( R = 40, a = 15) .

Неявная поверхность рода 2.

Неявная неалгебраическая поверхность ( бокал ).

В математике неявная поверхность — это поверхность в евклидовом пространстве , определяемая уравнением

${\displaystyle F(x,y,z)=0.}$

Неявная поверхность — это множество нулей функции трёх переменных . Неявное означает, что уравнение не решено относительно x , y или z .

График функции обычно описывается уравнением и называется явным представлением. Третьим существенным описанием поверхности является параметрическое : , где координаты x- , y- и z точек поверхности представлены тремя функциями , зависящими от общих параметров . Обычно изменение представлений является простым только тогда, когда задано явное представление: (неявное), (параметрическое). ${\displaystyle z=f(x,y)}$ ${\displaystyle (x(s,t),y(s,t),z(s,t))}$ ${\displaystyle x(s,t)\,,y(s,t)\,,z(s,t)}$ ${\displaystyle s,t}$ ${\displaystyle z=f(x,y)}$ ${\displaystyle z-f(x,y)=0}$ ${\displaystyle (s,t,f(s,t))}$

Примеры :

1. Самолет​ ${\displaystyle x+2y-3z+1=0.}$
2. Сфера​ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-4=0.}$
3. Тор​ ${\displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-a^{2})^{2}-4R^{2}(x^{2}+y^{2})=0.}$
4. Поверхность рода 2: (см. схему). ${\displaystyle 2y(y^{2}-3x^{2})(1-z^{2})+(x^{2}+y^{2})^{2}-(9z^{2}-1)(1-z^{2})=0}$
5. Поверхность вращения (см. схему рюмки ). ${\displaystyle x^{2}+y^{2}-(\ln(z+3.2))^{2}-0.02=0}$

Для плоскости, сферы и тора существуют простые параметрические представления. Это неверно для четвертого примера.

Теорема о неявной функции описывает условия, при которых уравнение может быть решено (по крайней мере неявно) относительно x , y или z . Но в целом решение не может быть явным. Эта теорема является ключом к вычислению основных геометрических особенностей поверхности: касательных плоскостей , нормалей поверхности , кривизны (см. ниже). Но у них есть существенный недостаток: затруднена их визуализация. ${\displaystyle F(x,y,z)=0}$

Если она полиномиальна по x , y и z , поверхность называется алгебраической . Пример 5 не является алгебраическим. ${\displaystyle F(x,y,z)}$

Несмотря на сложность визуализации, неявные поверхности предоставляют относительно простые методы создания теоретически (например, поверхность Штейнера ) и практически (см. ниже) интересных поверхностей.

Формулы

В ходе следующих рассуждений неявная поверхность представляется уравнением, в котором функция удовлетворяет необходимым условиям дифференцируемости. Частные производные от .​ ${\displaystyle F(x,y,z)=0}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F_{x},F_{y},F_{z},F_{xx},\ldots }$

Касательная плоскость и вектор нормали

Точка поверхности называется регулярной тогда и только тогда, когда градиент at не является нулевым вектором , что означает ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$ ${\displaystyle (0,0,0)}$

${\displaystyle (F_{x}(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{y}(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{z}(x_{0},y_{0},z_{0}))\neq (0,0,0)}$.

Если точка поверхности не является регулярной, ее называют особой . ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$

Уравнение касательной плоскости в регулярной точке имеет вид ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$

${\displaystyle F_{x}(x_{0},y_{0},z_{0})(x-x_{0})+F_{y}(x_{0},y_{0},z_{0})(y-y_{0})+F_{z}(x_{0},y_{0},z_{0})(z-z_{0})=0,}$

и нормальный вектор

${\displaystyle \mathbf {n} (x_{0},y_{0},z_{0})=(F_{x}(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{y}(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{z}(x_{0},y_{0},z_{0}))^{T}.}$

Нормальная кривизна

Для простоты формулы аргументы опущены: ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$

${\displaystyle \kappa _{n}={\frac {\mathbf {v} ^{\top }H_{F}\mathbf {v} }{\|\operatorname {grad} F\|}}}$

— нормальная кривизна поверхности в регулярной точке для единичного касательного направления . – матрица Гессе (матрица вторых производных). ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle H_{F}}$ ${\displaystyle F}$

Доказательство этой формулы опирается (как и в случае неявной кривой) на теорему о неявной функции и формулу нормальной кривизны параметрической поверхности .

Применение неявных поверхностей

Как и в случае с неявными кривыми, создать неявные поверхности желаемой формы, применяя алгебраические операции (сложение, умножение) к простым примитивам, несложно.

Эквипотенциальная поверхность четырех точечных зарядов

Эквипотенциальная поверхность точечных зарядов

Электрический потенциал точечного заряда в точке порождает в точке потенциал (опуская физические константы) ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} _{i}=(x_{i},y_{i},z_{i})}$ ${\displaystyle \mathbf {p} =(x,y,z)}$

${\displaystyle F_{i}(x,y,z)={\frac {q_{i}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{i}\|}}.}$

Эквипотенциальная поверхность для значения потенциала — это неявная поверхность , представляющая собой сферу с центром в точке . ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle F_{i}(x,y,z)-c=0}$ ${\displaystyle \mathbf {p} _{i}}$

Потенциал точечных зарядов представлен выражением ${\displaystyle 4}$

${\displaystyle F(x,y,z)={\frac {q_{1}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{1}\|}}+{\frac {q_{2}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{2}\|}}+{\frac {q_{3}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{3}\|}}+{\frac {q_{4}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{4}\|}}.}$

Для рисунка четыре заряда равны 1 и расположены в точках . Отображаемая поверхность является эквипотенциальной поверхностью (неявной поверхностью) . ${\displaystyle (\pm 1,\pm 1,0)}$ ${\displaystyle F(x,y,z)-2.8=0}$

Поверхность продукта на постоянном расстоянии

Овал Кассини можно определить как набор точек, для которого произведение расстояний до двух заданных точек постоянно (напротив, для эллипса сумма постоянна ). Аналогичным образом неявные поверхности могут быть определены как произведение постоянного расстояния до нескольких фиксированных точек.

На диаграмме метаморфоз верхняя левая поверхность формируется по следующему правилу:

${\displaystyle {\begin{aligned}F(x,y,z)={}&{\Big (}{\sqrt {(x-1)^{2}+y^{2}+z^{2}}}\cdot {\sqrt {(x+1)^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\&\qquad \cdot {\sqrt {x^{2}+(y-1)^{2}+z^{2}}}\cdot {\sqrt {x^{2}+(y+1)^{2}+z^{2}}}{\Big )}\end{aligned}}}$

отображается поверхность продукта с постоянным расстоянием . ${\displaystyle F(x,y,z)-1.1=0}$

Метаморфозы между двумя неявными поверхностями: тором и поверхностью произведения постоянного расстояния.

Метаморфозы неявных поверхностей

Еще один простой метод создания новых неявных поверхностей называется метаморфозой неявных поверхностей:

Для двух неявных поверхностей (на диаграмме: поверхность произведения постоянного расстояния и тор) определяются новые поверхности с помощью параметра проектирования : ${\displaystyle F_{1}(x,y,z)=0,F_{2}(x,y,z)=0}$ ${\displaystyle \mu \in [0,1]}$

${\displaystyle F(x,y,z)=\mu F_{1}(x,y,z)+(1-\mu )F_{2}(x,y,z)=0}$

На схеме последовательно указан расчетный параметр . ${\displaystyle \mu =0,\,0.33,\,0.66,\,1}$

Аппроксимация трех торов ( параллельная проекция )

Изображение POV-Ray (центральная проекция) аппроксимации трех торов.

Гладкие аппроксимации нескольких неявных поверхностей

${\displaystyle \Pi }$-поверхности ^[1] можно использовать для аппроксимации любого заданного гладкого и ограниченного объекта, поверхность которого определяется одним полиномом как произведением вспомогательных полиномов. Другими словами, мы можем спроектировать любой гладкий объект с одной алгебраической поверхностью. Обозначим определяющие многочлены как . Тогда аппроксимирующий объект определяется полиномом ${\displaystyle R^{3}}$ ${\displaystyle f_{i}\in \mathbb {R} [x_{1},\ldots ,x_{n}](i=1,\ldots ,k)}$

${\displaystyle F(x,y,z)=\prod _{i}f_{i}(x,y,z)-r}$^[1]

где — параметр смешивания, контролирующий ошибку аппроксимации. ${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$

Аналогично гладкому приближению с неявными кривыми уравнение

${\displaystyle F(x,y,z)=F_{1}(x,y,z)\cdot F_{2}(x,y,z)\cdot F_{3}(x,y,z)-r=0}$

представляет для подходящих параметров гладкие аппроксимации трех пересекающихся торов уравнениями ${\displaystyle c}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-a^{2})^{2}-4R^{2}(x^{2}+y^{2})=0,\\[3pt]F_{2}=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-a^{2})^{2}-4R^{2}(x^{2}+z^{2})=0,\\[3pt]F_{3}=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-a^{2})^{2}-4R^{2}(y^{2}+z^{2})=0.\end{aligned}}}$

(На схеме параметры указаны ) ${\displaystyle R=1,\,a=0.2,\,r=0.01.}$

Изображение POV-Ray: метаморфозы между сферой и поверхностью продукта на постоянном расстоянии (6 точек).

Визуализация неявных поверхностей

Существуют различные алгоритмы рендеринга неявных поверхностей, ^[2] включая алгоритм марширующих кубов . ^[3] По сути, существует две идеи для визуализации неявной поверхности: одна генерирует сеть полигонов, которая визуализируется (см. Триангуляцию поверхности ), а вторая опирается на трассировку лучей , которая определяет точки пересечения лучей с поверхностью. ^[4] Точки пересечения можно аппроксимировать путем трассировки сферы , используя функцию расстояния со знаком для определения расстояния до поверхности. ^[5]

Смотрите также

• Неявная кривая

Рекомендации

1. Адриано Н. Рапозо; Абель Дж. П. Гомес (2019). «Пи-поверхности: произведения неявных поверхностей к конструктивной композиции трехмерных объектов». WSCG 2019 27. Международная конференция в Центральной Европе по компьютерной графике, визуализации и компьютерному зрению. arXiv : 1906.06751 .
2. Жюль Блументаль; Чандраджит Баджадж; Брайан Уивилл (15 августа 1997 г.). Введение в неявные поверхности. Морган Кауфманн. ISBN 978-1-55860-233-5.
3. Ян Стивенсон (1 декабря 2004 г.). Рендеринг продукции: проектирование и реализация. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-85233-821-3.
4. Эрик Хейнс, Томас Акенин-Моллер: Драгоценные камни трассировки лучей , Springer, 2019, ISBN 978-1-4842-4427-2 
5. Харди, Александр; Стееб, Вилли-Ханс (2008). Математические инструменты в компьютерной графике с реализациями на C#. Всемирная научная. ISBN 978-981-279-102-3.

дальнейшее чтение

• Гомес А., Войкулеску И., Хорхе Дж., Уивилл Б., Гэлбрейт К.: Неявные кривые и поверхности: математика, структуры данных и алгоритмы , 2009, Springer-Verlag London, ISBN 978-1-84882 -405-8 
• Торп: Элементарные темы дифференциальной геометрии , Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1979, ISBN 0-387-90357-7