Теорема Абеля–Руффини

Уравнения степени 5 и выше не могут быть решены с помощью радикалов.

В математике теорема Абеля–Руффини (также известная как теорема Абеля о невозможности ) утверждает, что не существует решения в радикалах для общих полиномиальных уравнений пятой степени или выше с произвольными коэффициентами . Здесь «общие» означает, что коэффициенты уравнения рассматриваются и обрабатываются как неопределенные .

Теорема названа в честь Паоло Руффини , который дал неполное доказательство в 1799 году ^[1] (которое было улучшено и завершено в 1813 году ^[2] и принято Коши), и Нильса Хенрика Абеля , который предоставил доказательство в 1824 году. ^{[3] [4]}

Теорема Абеля–Руффини также ссылается на немного более сильный результат, что существуют уравнения пятой степени и выше, которые не могут быть решены радикалами. Это не следует из формулировки теоремы Абеля, но является следствием его доказательства, поскольку его доказательство основано на том факте, что некоторые многочлены в коэффициентах уравнения не являются нулевым многочленом. Это улучшенное утверждение следует непосредственно из теории Галуа § Неразрешимый пример квинтики . Теория Галуа также подразумевает, что

${\displaystyle x^{5}-x-1=0}$

— простейшее уравнение, которое не может быть решено в радикалах, и что почти все многочлены пятой степени и выше не могут быть решены в радикалах.

Невозможность решения в пятой или более высокой степени контрастирует со случаем более низкой степени: для степеней два, три и четыре существуют квадратная формула , кубическая формула и четверная формула соответственно.

Контекст

Полиномиальные уравнения второй степени можно решить с помощью квадратной формулы , которая известна с античности . Аналогично кубическая формула для третьей степени и квартическая формула для четвертой степени были найдены в 16 веке. В то время фундаментальной проблемой было то, можно ли решить уравнения более высокой степени аналогичным образом.

Тот факт, что каждое полиномиальное уравнение положительной степени имеет решения, возможно, недействительные , был выдвинут в XVII веке, но полностью доказан только в начале XIX века. Это фундаментальная теорема алгебры , которая не предоставляет никаких инструментов для точного вычисления решений, хотя метод Ньютона позволяет приближать решения с любой желаемой точностью.

С XVI века до начала XIX века основной проблемой алгебры был поиск формулы для решения полиномиальных уравнений пятой степени и выше, отсюда и название «основная теорема алгебры». Это означало решение в радикалах , то есть выражение , включающее только коэффициенты уравнения и операции сложения , вычитания , умножения , деления и извлечения корня n-й степени .

Теорема Абеля–Руффини доказывает, что это невозможно. Однако эта невозможность не означает, что конкретное уравнение любой степени не может быть решено в радикалах. Напротив, существуют уравнения любой степени, которые могут быть решены в радикалах. Это случай уравнения для любого n и уравнений, определяемых циклотомическими многочленами , все решения которых можно выразить в радикалах. ${\displaystyle x^{n}-1=0}$

Доказательство теоремы Абеля явно не содержит утверждения о том, что существуют конкретные уравнения, которые не могут быть решены в радикалах. Такое утверждение не является следствием утверждения теоремы Абеля, поскольку утверждение не исключает возможности того, что «каждое конкретное уравнение пятой степени может быть разрешимым, с особой формулой для каждого уравнения». ^[5] Однако существование конкретных уравнений, которые не могут быть решены в радикалах, по-видимому, является следствием доказательства Абеля, поскольку доказательство использует тот факт, что некоторые многочлены в коэффициентах не являются нулевым многочленом, и, учитывая конечное число многочленов, существуют значения переменных, при которых ни один из многочленов не принимает значения ноль.

Вскоре после публикации доказательства Абелем Эварист Галуа представил теорию, теперь называемую теорией Галуа , которая позволяет решить для любого заданного уравнения, разрешимо ли оно в радикалах. Это было чисто теоретическим до появления электронных компьютеров . С современными компьютерами и программами решение, разрешимо ли многочлен в радикалах, может быть сделано для многочленов степени выше 100. ^[6] Вычисление решений в радикалах разрешимых многочленов требует огромных вычислений. Даже для пятой степени выражение решений настолько огромно, что не представляет практического интереса.

Доказательство

Доказательство теоремы Абеля–Руффини предшествовало теории Галуа . Однако теория Галуа позволяет лучше понять предмет, и современные доказательства, как правило, основаны на ней, в то время как оригинальные доказательства теоремы Абеля–Руффини до сих пор приводятся в исторических целях. ^{[1] [7] [8] [9]}

Доказательства, основанные на теории Галуа, включают четыре основных шага: характеристика разрешимых уравнений в терминах теории поля ; использование соответствия Галуа между подполями данного поля и подгруппами его группы Галуа для выражения этой характеризации в терминах разрешимых групп ; доказательство того, что симметрическая группа неразрешима, если ее степень равна пяти или выше; и существование многочленов с симметрической группой Галуа.

Алгебраические решения и теория поля

Алгебраическое решение полиномиального уравнения — это выражение , включающее четыре основные арифметические операции (сложение, вычитание, умножение и деление) и извлечение корней . Такое выражение можно рассматривать как описание вычисления, которое начинается с коэффициентов решаемого уравнения и продолжается путем вычисления некоторых чисел, одного за другим.

На каждом шаге вычисления можно рассматривать наименьшее поле , содержащее все числа, которые были вычислены до сих пор. Это поле изменяется только для шагов, включающих вычисление корня n- й степени .

Итак, алгебраическое решение дает последовательность

${\displaystyle F_{0}\subseteq F_{1}\subseteq \cdots \subseteq F_{k}}$

полей и элементов таких, что для с для некоторого целого числа Алгебраическое решение исходного полиномиального уравнения существует тогда и только тогда, когда существует такая последовательность полей, что содержит решение. ${\displaystyle x_{i}\in F_{i}}$ ${\displaystyle F_{i}=F_{i-1}(x_{i})}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,k,}$ ${\displaystyle x_{i}^{n_{i}}\in F_{i-1}}$ ${\displaystyle n_{i}>1.}$ ${\displaystyle F_{k}}$

Для того, чтобы иметь нормальные расширения , которые являются основополагающими для теории, необходимо уточнить последовательность полей следующим образом. Если не содержит всех корней степени - из единицы , вводится поле , которое расширяется примитивным корнем из единицы , и переопределяется как ${\displaystyle F_{i-1}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle K_{i}}$ ${\displaystyle F_{i-1}}$ ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle K_{i}(x_{i}).}$

Таким образом, если начать с решения в терминах радикалов, то получится возрастающая последовательность полей, такая, что последнее содержит решение, и каждое является нормальным расширением предыдущего с группой Галуа , которая является циклической .

Наоборот, если имеется такая последовательность полей, то уравнение разрешимо в терминах радикалов. Для доказательства этого достаточно доказать, что нормальное расширение с циклической группой Галуа может быть построено из последовательности радикальных расширений .

переписка Галуа

Соответствие Галуа устанавливает взаимно однозначное соответствие между подрасширениями нормального расширения поля и подгруппами группы Галуа расширения. Это соответствие отображает поле K в группу Галуа автоморфизмов F , которые оставляют K неподвижным , и, наоборот, отображает подгруппу H в поле элементов F , которые неподвижны с помощью H. ${\displaystyle F/E}$ ${\displaystyle E\subseteq K\subseteq F}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (F/K)}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (F/E)}$

В предыдущем разделе показано, что уравнение разрешимо в терминах радикалов тогда и только тогда, когда группа Галуа его поля разложения (наименьшее поле, содержащее все корни) разрешима , то есть содержит последовательность подгрупп, каждая из которых нормальна в предыдущей, с факторгруппой , которая является циклической . (Разрешимые группы обычно определяются с помощью абелевых, а не циклических факторгрупп, но основная теорема о конечных абелевых группах показывает, что эти два определения эквивалентны).

Итак, для доказательства теоремы Абеля–Руффини осталось показать, что симметрическая группа неразрешима и что существуют многочлены с симметрическими группами Галуа. ${\displaystyle S_{5}}$

Разрешимые симметрические группы

При n > 4 симметрическая группа степени n имеет только знакопеременную группу в качестве нетривиальной нормальной подгруппы (см. Симметрическая группа § Нормальные подгруппы ). При n > 4 знакопеременная группа проста (то есть не имеет нетривиальной нормальной подгруппы) и не абелева . Это означает, что и неразрешимы при n > 4. Таким образом, теорема Абеля–Руффини вытекает из существования многочленов с симметрической группой Галуа; это будет показано в следующем разделе. ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}}$

С другой стороны, при n ≤ 4 симметрическая группа и все ее подгруппы разрешимы. Это объясняет существование квадратичной , кубической и квартикальной формул , поскольку основным результатом теории Галуа является то, что полиномиальное уравнение имеет решение в радикалах тогда и только тогда, когда его группа Галуа разрешима (термин «разрешимая группа» берет свое начало из этой теоремы).

Многочлены с симметричными группами Галуа

Общее уравнение

Общим или родовым полиномиальным уравнением степени n является уравнение

${\displaystyle x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_{n}=0,}$

где — различные неопределенные . Это уравнение, определенное над полем рациональных дробей в с коэффициентами — рациональными числами . Исходная теорема Абеля–Руффини утверждает, что при n > 4 это уравнение неразрешимо в радикалах. Ввиду предыдущих разделов это следует из того факта, что группа Галуа над F уравнения является симметрической группой (эта группа Галуа является группой полевых автоморфизмов поля расщепления уравнения, которые фиксируют элементы F , где поле расщепления является наименьшим полем, содержащим все корни уравнения). ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ ${\displaystyle F=\mathbb {Q} (a_{1},\ldots ,a_{n})}$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}}$

Для доказательства того, что группа Галуа является проще всего начать с корней. Пусть будут новыми неизвестными, призванными быть корнями, и рассмотрим многочлен ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{n},}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$

${\displaystyle P(x)=x^{n}+b_{1}x^{n-1}+\cdots +b_{n-1}x+b_{n}=(x-x_{1})\cdots (x-x_{n}).}$

Пусть будет полем рациональных дробей в и будет его подполем, порожденным коэффициентами Перестановки индуцируют автоморфизмы H . Формулы Виета подразумевают, что каждый элемент K является симметрической функцией и , таким образом, фиксируется всеми этими автоморфизмами. Отсюда следует, что группа Галуа является симметрической группой ${\displaystyle H=\mathbb {Q} (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},}$ ${\displaystyle K=\mathbb {Q} (b_{1},\ldots ,b_{n})}$ ${\displaystyle P(x).}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{i},}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (H/K)}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}.}$

Из фундаментальной теоремы о симметричных многочленах следует, что являются алгебраически независимыми , и, таким образом, отображение, которое переводит каждое в соответствующее, является изоморфизмом полей из F в K. Это означает, что можно рассматривать как общее уравнение. Это завершает доказательство того, что группа Галуа общего уравнения является симметрической группой, и, таким образом, доказывает исходную теорему Абеля–Руффини, которая утверждает, что общее полиномиальное уравнение степени n не может быть решено в радикалах при n > 4 . ${\displaystyle b_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle b_{i}}$ ${\displaystyle P(x)=0}$

Явный пример

Уравнение неразрешимо в радикалах, как будет объяснено ниже. ${\displaystyle x^{5}-x-1=0}$

Пусть q будет . Пусть G — его группа Галуа, которая точно действует на множестве комплексных корней q . Нумерация корней позволяет отождествить G с подгруппой симметрической группы . Поскольку факторы, как в , группа G содержит перестановку , которая является произведением непересекающихся циклов длин 2 и 3 (в общем случае, когда монический целочисленный многочлен приводится по модулю простого числа к произведению различных монических неприводимых многочленов, степени факторов дают длины непересекающихся циклов в некоторой перестановке, принадлежащей группе Галуа); тогда G также содержит , который является транспозицией . Поскольку неприводим в , тот же принцип показывает, что G содержит 5-цикл . Поскольку 5 является простым числом, любая транспозиция и 5-цикл в порождают всю группу; см. Симметрическая группа § Генераторы и соотношения . Таким образом , . Поскольку группа неразрешима, уравнение неразрешимо в радикалах. ${\displaystyle x^{5}-x-1}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{5}}$ ${\displaystyle q{\bmod {2}}}$ ${\displaystyle (x^{2}+x+1)(x^{3}+x^{2}+1)}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}[x]}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g^{3}}$ ${\displaystyle q{\bmod {3}}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{3}[x]}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{5}}$ ${\displaystyle G={\mathcal {S}}_{5}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{5}}$ ${\displaystyle x^{5}-x-1=0}$

Растворитель Кейли

Проверка того, разрешима ли конкретная квинтика в радикалах, может быть выполнена с помощью резольвенты Кэли . Это одномерный многочлен шестой степени, коэффициенты которого являются многочленами от коэффициентов общей квинтики. Конкретная неприводимая квинтика разрешима в радикалах тогда и только тогда, когда ее коэффициенты подставляются в резольвенту Кэли, полученный секстический многочлен имеет рациональный корень.

История

Около 1770 года Жозеф Луи Лагранж начал работу, которая объединила множество различных методов, которые использовались до этого момента для решения уравнений, связав их с теорией групп перестановок в форме резольвент Лагранжа . ^[10] Эта новаторская работа Лагранжа была предшественником теории Галуа, и ее неспособность разработать решения для уравнений пятой и более высоких степеней намекала на то, что такие решения могут быть невозможны, но она не давала убедительных доказательств. Первым человеком, который предположил, что проблема решения квинтик радикалами может быть неразрешимой, был Карл Фридрих Гаусс , который в 1798 году в разделе 359 своей книги Disquisitiones Arithmeticae (которая была опубликована только в 1801 году) написал, что «нет никаких сомнений в том, что эта проблема не столько бросает вызов современным методам анализа, сколько предлагает невозможное». В следующем году в своей диссертации он написал: «После того, как труды многих геометров оставили мало надежды когда-либо прийти к решению общего уравнения алгебраическим путем, становится все более и более вероятным, что это решение невозможно и противоречиво». И он добавил: «Возможно, не так уж трудно будет доказать со всей строгостью невозможность для пятой степени. Я изложу свои исследования по этому вопросу более подробно в другом месте». На самом деле Гаусс больше ничего не публиковал по этой теме. ^[1]

Паоло Руффини , Общая теория уравнений , 1799 г.

Теорема была впервые почти доказана Паоло Руффини в 1799 году. ^[11] Он послал свое доказательство нескольким математикам, чтобы добиться его признания, среди них Лагранж (который не ответил) и Огюстен-Луи Коши , который отправил ему письмо, в котором говорилось: «Ваш мемуар об общем решении уравнений — это работа, которую, как я всегда считал, математики должны иметь в виду и которая, по моему мнению, окончательно доказывает алгебраическую неразрешимость общих уравнений выше четвертой степени». ^[12] Однако в целом доказательство Руффини не было признано убедительным. Абель писал: «Первым и, если я не ошибаюсь, единственным, кто до меня пытался доказать невозможность алгебраического решения общих уравнений, был математик Руффини. Но его мемуар настолько сложен, что очень трудно определить обоснованность его аргумента. Мне кажется, что его аргумент не полностью удовлетворяет». ^{[12] [13]}

Доказательство также, как выяснилось позже, было неполным. Руффини предположил, что все радикалы, с которыми он имел дело, можно выразить из корней многочлена, используя только полевые операции; выражаясь современным языком, он предположил, что радикалы принадлежат полю расщепления многочлена. Чтобы понять, почему это действительно дополнительное предположение, рассмотрим, например, многочлен . Согласно формуле Кардано , один из его корней (на самом деле все они) можно выразить как сумму кубического корня из с кубическим корнем из . С другой стороны, поскольку , , , и , корни , , и из все действительны, и, следовательно, поле является подполем . Но тогда числа не могут принадлежать . Хотя Коши либо не заметил предположения Руффини, либо посчитал его второстепенным, большинство историков полагают, что доказательство не было полным, пока Абель не доказал теорему о естественных иррациональностях, которая утверждает, что предположение справедливо в случае общих многочленов. ^{[8] [14]} Таким образом, теорема Абеля–Руффини обычно приписывается Абелю, который опубликовал доказательство, сжатое всего до шести страниц, в 1824 году. ^[3] (Абель придерживался очень лаконичного стиля, чтобы сэкономить бумагу и деньги: доказательство было напечатано за его счет. ^[9] ) Более подробная версия доказательства была опубликована в 1826 году. ^[4] ${\displaystyle P(x)=x^{3}-15x-20}$ ${\displaystyle 10+5i}$ ${\displaystyle 10-5i}$ ${\displaystyle P(-3)<0}$ ${\displaystyle P(-2)>0}$ ${\displaystyle P(-1)<0}$ ${\displaystyle P(5)>0}$ ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle r_{3}}$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} (r_{1},r_{2},r_{3})}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle 10\pm 5i}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} (r_{1},r_{2},r_{3})}$

Доказательство того, что общие уравнения пятой степени (и выше) неразрешимы радикалами, не решило вопрос полностью, поскольку теорема Абеля–Руффини не обеспечивает необходимых и достаточных условий для точного определения того, какие уравнения пятой степени (и выше) неразрешимы радикалами. Абель работал над полной характеристикой, когда он умер в 1829 году. ^[15]

По словам Натана Якобсона , «доказательства Руффини и Абеля [...] вскоре были вытеснены высшим достижением этого направления исследований: открытиями Галуа в теории уравнений». ^[16] В 1830 году Галуа (в возрасте 18 лет) представил в Парижскую академию наук мемуар о своей теории разрешимости в радикалах, который в конечном итоге был отклонен в 1831 году как слишком схематичный и дававший условие в терминах корней уравнения вместо его коэффициентов. Галуа был осведомлен о вкладе Руффини и Абеля, поскольку он писал: «Сегодня общеизвестной истиной является то, что общее уравнение степени выше 4 не может быть решено радикалами... эта истина стала общеизвестной (по слухам), несмотря на то, что геометры проигнорировали доказательства Абеля и Руффини...» ^[1] Затем Галуа умер в 1832 году, а его статья Mémoire sur les conditions de resolubilité des équations par radicaux ^[17] оставалась неопубликованной до 1846 года, когда ее опубликовал Жозеф Лиувилль, сопроводив некоторыми своими собственными объяснениями. ^[15] До этой публикации Лиувилль объявил о результате Галуа в академии в речи, произнесенной 4 июля 1843 года. ^[5] Упрощенное доказательство Абеля было опубликовано Пьером Ванцелем в 1845 году. ^[18] Когда Ванцель опубликовал его, он уже знал о вкладе Галуа и упоминает, что, в то время как доказательство Абеля справедливо только для общих многочленов, подход Галуа может быть использован для получения конкретного многочлена степени 5, корни которого не могут быть выражены в радикалах из его коэффициентов.

В 1963 году Владимир Арнольд открыл топологическое доказательство теоремы Абеля–Руффини, ^{[19] [20],} которая послужила отправной точкой для топологической теории Галуа . ^[21]

Ссылки

1. Аюб, Рэймонд Г. (1980), «Вклад Паоло Руффини в квинтику», Архив истории точных наук , 22 (3): 253–277, doi :10.1007/BF00357046, JSTOR  41133596, MR  0606270, S2CID  123447349, Zbl  0471.01008
2. Руффини, Паоло (1813). Подробное решение алгебраических уравнений общего назначения. точка. Паоло Руффини... (на итальянском языке). Presso la Societa Tipografica.
3. Abel, Нильс Хенрик (1881) [1824], «Mémoire sur les équations algébriques, ou l'on démontre l'impossabilité de la résolution de l'équation générale du cinquième degree» (PDF) , в Силове, Людвиг ; Lie, Sophus (ред.), Œuvres Complètes de Niels Henrik Abel (на французском языке), vol. I (2-е изд.), Grøndahl & Søn , стр. 28–33.
4. Abel, Нильс Хенрик (1881) [1826], «Демонстрация невозможности алгебраического разрешения общих уравнений, которые проходят le quatrième degré» (PDF) , в Силове, Людвиг ; Lie, Sophus (ред.), Œuvres Complètes de Niels Henrik Abel (на французском языке), vol. I (2-е изд.), Grøndahl & Søn , стр. 66–87.
5. Стюарт, Ян (2015), «Историческое введение», Теория Галуа (4-е изд.), CRC Press , ISBN 978-1-4822-4582-0
6. Fieker, Claus; Klüners, Jürgen (2014), «Вычисление групп Галуа рациональных многочленов», LMS Journal of Computation and Mathematics , 17 (1): 141–158, arXiv : 1211.3588 , doi : 10.1112/S1461157013000302, MR  3230862
7. Розен, Майкл И. (1995), «Нильс Хендрик Абель и уравнения пятой степени», American Mathematical Monthly , 102 (6): 495–505, doi :10.2307/2974763, JSTOR  2974763, MR  1336636, Zbl  0836.01015
8. Тиньоль, Жан-Пьер (2016), «Руффини и Абель об общих уравнениях», Теория алгебраических уравнений Галуа (2-е изд.), World Scientific , ISBN 978-981-4704-69-4, ЗБЛ  1333.12001
9. Pesic, Peter (2004), Доказательство Абеля: Эссе об источниках и значении математической неразрешимости , Кембридж: MIT Press , ISBN 0-262-66182-9, Збл  1166.01010
10. Лагранж, Жозеф-Луи (1869) [1771], «Réflexions sur la resolution algébrique des équations», в Серре, Жозеф-Альфред (ред.), Œuvres de Lagrange , vol. III, Готье-Виллар, стр. 205–421.
11. Руффини, Паоло (1799), Teoria Generale delle Equazioni, in Cui Si Dimostra Impossibile La Soluzione Alphaica delle Equazioni Generali di Grado Superiore Al Quarto (на итальянском языке), Stamperia di S. Tommaso d'Aquino
12. Kiernan, B. Melvin (1971), «Развитие теории Галуа от Лагранжа до Артина», Архив истории точных наук , 8 (1/2): 40–154, doi :10.1007/BF00327219, JSTOR  41133337, MR  1554154, S2CID  121442989
13. Абель, Нильс Хенрик (1881) [1828], «Sur la Algébrique des équations» (PDF) , в Силове, Людвиг ; Lie, Sophus (ред.), Œuvres Complètes de Niels Henrik Abel (на французском языке), vol. II (2-е изд.), Grøndahl & Søn , стр. 217–243.
14. Стюарт, Ян (2015), «Идея, лежащая в основе теории Галуа», Теория Галуа (4-е изд.), CRC Press , ISBN 978-1-4822-4582-0
15. Тиньоль, Жан-Пьер (2016), «Галуа», Теория алгебраических уравнений Галуа (2-е изд.), World Scientific , ISBN 978-981-4704-69-4, ЗБЛ  1333.12001
16. Якобсон, Натан (2009), «Теория уравнений Галуа», Basic Algebra , т. 1 (2-е изд.), Довер, ISBN 978-0-486-47189-1
17. Галуа, Эварист (1846), «Mémoire sur lesconditions de resolubilité des équations par radicaux» (PDF) , Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (на французском языке), XI : 417–433
18. Ванцель, Пьер (1845), «Демонстрация невозможности решения toutes les équations algébriques avec des radicaux», Nouvelles Annales de Mathématiques (на французском языке), 4 : 57–65
19. Алексеев, Валерий Б. (2004), Теорема Абеля в задачах и решениях: по лекциям профессора В.И. Арнольда , Kluwer Academic Publishers , ISBN 1-4020-2186-0, MR  2110624, Zbl  1065.12001
20. Голдмахер, Лео, Элементарное доказательство Арнольда неразрешимости квинтики (PDF)
21. Хованский, Аскольд (2014), Топологическая теория Галуа: разрешимость и неразрешимость уравнений в конечных членах , Springer Monographs in Mathematics, Springer-Verlag , doi :10.1007/978-3-642-38871-2, ISBN 978-3-642-38870-5

Внешние ссылки

• Краткое доказательство теоремы Абеля о том, что полиномиальные уравнения 5-й степени не могут быть решены на YouTube