Последовательные и непоследовательные уравнения

Существует ли набор значений, удовлетворяющий данной системе уравнений

В математике и, в частности, в алгебре , система уравнений ( линейная или нелинейная ) называется согласованной, если существует по крайней мере один набор значений для неизвестных, который удовлетворяет каждому уравнению в системе, то есть, когда они подставлены в каждое из уравнений, они делают каждое уравнение истинным как тождество . Напротив, линейная или нелинейная система уравнений называется несогласованной, если не существует набора значений для неизвестных, который удовлетворяет всем уравнениям. ^{[1] [2]}

Если система уравнений противоречива, то уравнения не могут быть истинными вместе, что приводит к противоречивой информации, например, ложным утверждениям 2 = 1 или и (что подразумевает 5 = 6 ). ${\displaystyle x^{3}+y^{3}=5}$ ${\displaystyle x^{3}+y^{3}=6}$

Оба типа систем уравнений, противоречивые и последовательные, могут быть переопределенными ( имеющими больше уравнений, чем неизвестных), недоопределенными (имеющими меньше уравнений, чем неизвестных) или точно определенными.

Простые примеры

Недоопределенный и последовательный

Система

${\displaystyle {\begin{aligned}x+y+z&=3,\\x+y+2z&=4\end{aligned}}}$

имеет бесконечное число решений, все из которых имеют z = 1 (как можно увидеть, вычитая первое уравнение из второго), и все они, следовательно, имеют x + y = 2 для любых значений x и y .

Нелинейная система

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+y^{2}+z^{2}&=10,\\x^{2}+y^{2}&=5\end{aligned}}}$

имеет бесконечное множество решений, все из которых включают ${\displaystyle z=\pm {\sqrt {5}}.}$

Поскольку каждая из этих систем имеет более одного решения, она является неопределенной системой .

Недоопределенный и непоследовательный

Система

${\displaystyle {\begin{aligned}x+y+z&=3,\\x+y+z&=4\end{aligned}}}$

не имеет решений, как можно увидеть, вычитая первое уравнение из второго и получая невозможное 0 = 1 .

Нелинейная система

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+y^{2}+z^{2}&=17,\\x^{2}+y^{2}+z^{2}&=14\end{aligned}}}$

не имеет решений, потому что если одно уравнение вычесть из другого, то получим невозможное 0 = 3 .

Точно определенный и последовательный

Система

${\displaystyle {\begin{aligned}x+y&=3,\\x+2y&=5\end{aligned}}}$

имеет ровно одно решение: x = 1, y = 2

Нелинейная система

${\displaystyle {\begin{aligned}x+y&=1,\\x^{2}+y^{2}&=1\end{aligned}}}$

имеет два решения ( x, y ) = (1, 0) и ( x, y ) = (0, 1) , тогда как

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{3}+y^{3}+z^{3}&=10,\\x^{3}+2y^{3}+z^{3}&=12,\\3x^{3}+5y^{3}+3z^{3}&=34\end{aligned}}}$

имеет бесконечное число решений, поскольку третье уравнение представляет собой первое уравнение плюс удвоенное второе и, следовательно, не содержит независимой информации; таким образом, можно выбрать любое значение z и найти значения x и y , удовлетворяющие первым двум (и, следовательно, третьему) уравнениям.

Точно определенный и непоследовательный

Система

${\displaystyle {\begin{aligned}x+y&=3,\\4x+4y&=10\end{aligned}}}$

не имеет решений; несоответствие можно увидеть, умножив первое уравнение на 4 и вычтя второе уравнение, чтобы получить невозможное 0 = 2 .

Так же,

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{3}+y^{3}+z^{3}&=10,\\x^{3}+2y^{3}+z^{3}&=12,\\3x^{3}+5y^{3}+3z^{3}&=32\end{aligned}}}$

является противоречивой системой, поскольку первое уравнение плюс удвоенное второе минус третье содержит противоречие 0 = 2 .

Сверхопределенный и последовательный

Система

${\displaystyle {\begin{aligned}x+y&=3,\\x+2y&=7,\\4x+6y&=20\end{aligned}}}$

имеет решение x = –1, y = 4 , поскольку первые два уравнения не противоречат друг другу, а третье уравнение избыточно (поскольку оно содержит ту же информацию, которую можно получить из первых двух уравнений, умножив каждое на 2 и суммировав их).

Система

${\displaystyle {\begin{aligned}x+2y&=7,\\3x+6y&=21,\\7x+14y&=49\end{aligned}}}$

имеет бесконечное множество решений, поскольку все три уравнения дают одинаковую информацию (как можно увидеть, умножив первое уравнение на 3 или 7). Любое значение y является частью решения, при этом соответствующее значение x равно 7 – 2 y .

Нелинейная система

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}-1&=0,\\y^{2}-1&=0,\\(x-1)(y-1)&=0\end{aligned}}}$

имеет три решения ( x, y ) = (1, –1), (–1, 1), (1, 1) .

Сверхопределенный и непоследовательный

Система

${\displaystyle {\begin{aligned}x+y&=3,\\x+2y&=7,\\4x+6y&=21\end{aligned}}}$

является непоследовательным, поскольку последнее уравнение противоречит информации, заложенной в первых двух, что видно при умножении каждого из первых двух на 2 и их суммировании.

Система

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+y^{2}&=1,\\x^{2}+2y^{2}&=2,\\2x^{2}+3y^{2}&=4\end{aligned}}}$

является противоречивым, поскольку сумма первых двух уравнений противоречит третьему.

Критерии согласованности

Как видно из приведенных выше примеров, согласованность и непоследовательность — это вопрос, отличный от сравнения количества уравнений и неизвестных.

Линейные системы

Линейная система является согласованной тогда и только тогда, когда ее матрица коэффициентов имеет тот же ранг , что и ее расширенная матрица (матрица коэффициентов с добавленным дополнительным столбцом, причем этот столбец является вектором-столбцом констант).

Нелинейные системы

Ссылки

1. "Определение НЕСОВМЕСТНЫХ УРАВНЕНИЙ". www.merriam-webster.com . Получено 2021-06-10 .
2. "Определение согласованных уравнений | Dictionary.com". www.dictionary.com . Получено 2021-06-10 .