цикл Карно

Идеализированный термодинамический цикл

Цикл Карно — идеальный термодинамический цикл, предложенный французским физиком Сади Карно в 1824 году и расширенный другими в 1830-х и 1840-х годах. По теореме Карно он устанавливает верхний предел эффективности любого классического термодинамического двигателя при преобразовании тепла в работу или, наоборот, эффективности холодильной системы при создании разницы температур посредством приложения работы к системе.

В цикле Карно система или двигатель переносит энергию в форме тепла между двумя тепловыми резервуарами при температурах и (называемых горячим и холодным резервуарами соответственно), и часть этой переданной энергии преобразуется в работу, выполняемую системой. Цикл обратим , и энтропия сохраняется , просто передается между тепловыми резервуарами и системой без выигрыша или потери. Когда работа применяется к системе, тепло перемещается из холодного в горячий резервуар ( тепловой насос или охлаждение ). Когда тепло перемещается из горячего в холодный резервуар, система применяет работу к окружающей среде. Работа, выполняемая системой или двигателем в окружающую среду за цикл Карно, зависит от температур тепловых резервуаров и энтропии, передаваемой из горячего резервуара в систему за цикл, например , , где — тепло, передаваемое из горячего резервуара в систему за цикл. ${\displaystyle T_{H}}$ ${\displaystyle T_{C}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \Delta S}$ ${\displaystyle W=(T_{H}-T_{C})\Delta S=(T_{H}-T_{C}){\frac {Q_{H}}{T_{H}}}}$ ${\displaystyle Q_{H}}$

Этапы

Цикл Карно как идеализированный термодинамический цикл, выполняемый тепловой машиной Карно , состоящий из следующих этапов:

1. 

   Изотермическое расширение. Тепло (как энергия) обратимо передается из резервуара с высокой температурой при постоянной температуре T _H в газ при температуре, бесконечно меньшей T _H . (Бесконечно малая разница температур позволяет теплу передаваться в газ без существенного изменения температуры газа. Это называется изотермическим подводом или поглощением тепла .) На этом этапе (1 к 2 на рисунке 1 , A к B на рисунке 2 ) газ находится в тепловом контакте с резервуаром с высокой температурой и термически изолирован от резервуара с холодной температурой. Газу позволяют расширяться, совершая работу над окружающей средой, толкая поршень вверх (рисунок первой стадии, справа). Хотя давление падает от точек 1 к 2 (рисунок 1), температура газа не изменяется во время процесса, поскольку тепло, переданное из резервуара с высокой температурой в газ, используется именно для совершения работы над окружающей средой газом. Внутренняя энергия газа не изменяется, и температура газа не изменяется, если это идеальный газ. Тепло Q _H > 0 поглощается из резервуара с высокой температурой, что приводит к увеличению энтропиигаза на величину. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \Delta S_{H}=Q_{H}/T_{H}}$

2. 

   Изоэнтропическое ( обратимое адиабатическое ) расширение газа (изоэнтропическая выходная работа). Для этого шага (2–3 на рисунке 1 , B–C на рисунке 2 ) газ в двигателе теплоизолирован как от горячего, так и от холодного резервуаров, поэтому они не получают и не теряют тепло. Это адиабатический процесс . Газ продолжает расширяться с уменьшением своего давления, выполняя работу над окружающей средой (поднимая поршень; рисунок второй стадии, справа) и теряя количество внутренней энергии, равное проделанной работе. Потеря внутренней энергии заставляет газ охлаждаться. На этом шаге он охлаждается до температуры, которая бесконечно выше температуры холодного резервуара T _C . Энтропия остается неизменной, поскольку тепло Q не передается ( Q = 0) между системой (газом) и ее окружающей средой. Это изоэнтропический процесс .

3. 

   Изотермическое сжатие. Тепло передается обратимо в низкотемпературный резервуар при постоянной температуре T _C (изотермический отвод тепла). На этом этапе (3–4 на рисунке 1 , C–D на рисунке 2 ) газ в двигателе находится в тепловом контакте с холодным резервуаром при температуре T _C и термически изолирован от горячего резервуара. Температура газа бесконечно выше T _C , что позволяет передавать тепло от газа к холодному резервуару. Изменение температуры отсутствует, это изотермический процесс . Окружающая среда совершает работу над газом, толкая поршень вниз (рисунок третьего этапа, справа). Количество энергии, полученное газом от этой работы, точно передается в виде тепловой энергии Q _C < 0 (отрицательной, поскольку выходит из системы, согласно универсальному соглашению в термодинамике ) в холодный резервуар, поэтому энтропия системы уменьшается на величину . ^[1] поскольку изотермическое сжатие уменьшает кратность газа. ${\displaystyle \Delta S_{C}=Q_{C}/T_{C}}$ ${\displaystyle \Delta S_{C}<0}$

4. 

   Изоэнтропическое сжатие. (4 к 1 на рисунке 1 , D к A на рисунке 2 ) И снова газ в двигателе термически изолирован от горячих и холодных резервуаров, и двигатель предполагается без трения, а процесс достаточно медленный, следовательно, обратимый. На этом этапе окружающая среда выполняет работу над газом, толкая поршень дальше вниз (рисунок четвертого этапа, справа), увеличивая его внутреннюю энергию, сжимая его и заставляя его температуру повышаться обратно до температуры бесконечно меньшей, чем T _H, исключительно за счет работы, добавленной к системе, но энтропия остается неизменной. В этот момент газ находится в том же состоянии, что и в начале шага 1.

Рисунок 1 : Цикл Карно, изображенный на диаграмме PV для иллюстрации проделанной работы. 1-в-2 (изотермическое расширение), 2-в-3 (изоэнтропическое расширение), 3-в-4 (изотермическое сжатие), 4-в-1 (изоэнтропическое сжатие).

В этом случае, поскольку это обратимый термодинамический цикл (нет чистых изменений в системе и ее окружении за цикл) ^{[2] [1]} или, $${\displaystyle \Delta S_{H}+\Delta S_{C}=\Delta S_{\text{cycle}}=0,}$$ $${\displaystyle {\frac {Q_{H}}{T_{H}}}=-{\frac {Q_{C}}{T_{C}}}.}$$

Это верно, так как и оба меньше по величине и фактически находятся в том же соотношении, что и . ${\displaystyle Q_{C}}$ ${\displaystyle T_{C}}$ ${\displaystyle Q_{H}/T_{H}}$

График зависимости давления от объема

Если цикл Карно изобразить на диаграмме давление-объем ( рисунок 1 ), то изотермические стадии следуют линиям изотерм для рабочего тела, адиабатические стадии перемещаются между изотермами, а область, ограниченная полным циклом, представляет собой общую работу, которая может быть выполнена за один цикл. От точки 1 до 2 и от точки 3 до 4 температура постоянна (изотермический процесс). Теплопередача от точки 4 до 1 и от точки 2 до 3 равна нулю (адиабатический процесс).

Свойства и значение

Диаграмма температура-энтропия

Рисунок 2 : Цикл Карно как идеализированный термодинамический цикл , выполняемый тепловой машиной Карно ), проиллюстрированный на диаграмме TS (температура T–энтропия S). Цикл происходит между горячим резервуаром при температуре T _H и холодным резервуаром при температуре T _C . Вертикальная ось — температура системы, горизонтальная ось — энтропия системы. A-to-B (изотермическое расширение), B-to-C (изоэнтропическое расширение), C-to-D (изотермическое сжатие), D-to-A (изоэнтропическое сжатие).

Рисунок 3 : Обобщенный термодинамический цикл, происходящий между горячим резервуаром при температуре T _H и холодным резервуаром при температуре T _C . По второму закону термодинамики цикл не может выходить за пределы температурного диапазона от T _C до T _H . Площадь красного цвета, | Q _C |, представляет собой количество энергии, которой обменивается система с холодным резервуаром. Площадь белого цвета, W , представляет собой количество рабочей энергии, которой обменивается система с окружающей средой. Количество тепла, которым обменивается горячий резервуар, является суммой этих двух. Если система ведет себя как двигатель, процесс движется по часовой стрелке по петле, и движется против часовой стрелки, если она ведет себя как холодильник. Эффективность цикла представляет собой отношение белой площади (работа), деленной на сумму белой и красной областей (тепло, поглощенное из горячего резервуара).
Q _C (энергия, потерянная в холодном резервуаре) можно рассматривать как прямое вычитание или выражать как сумму отрицательной величины, что может привести к различным соглашениям.

Поведение двигателя Карно или холодильника лучше всего понять с помощью диаграммы температура-энтропия ( диаграмма T – S ), в которой термодинамическое состояние определяется точкой на графике с энтропией ( S ) в качестве горизонтальной оси и температурой ( T ) в качестве вертикальной оси ( рисунок 2 ). Для простой замкнутой системы (анализ контрольной массы) любая точка на графике представляет определенное состояние системы. Термодинамический процесс представлен кривой, соединяющей начальное состояние (A) и конечное состояние (B). Площадь под кривой равна:

что является количеством тепла, переданного в процессе. Если процесс перемещает систему к большей энтропии, площадь под кривой является количеством тепла, поглощенного системой в этом процессе; в противном случае это количество тепла, удаленного или покидающего систему. Для любого циклического процесса есть верхняя часть цикла и нижняя часть. В диаграммах T - S для цикла по часовой стрелке площадь под верхней частью будет энергией, поглощенной системой во время цикла, в то время как площадь под нижней частью будет энергией, удаленной из системы во время цикла. Площадь внутри цикла тогда является разницей между ними двумя (поглощенная чистая тепловая энергия), но поскольку внутренняя энергия системы должна вернуться к своему исходному значению, эта разница должна быть количеством работы, выполненной системой за цикл. Ссылаясь на рисунок 1 , математически, для обратимого процесса, мы можем записать количество работы, выполненной за циклический процесс, как:

Поскольку dU является точным дифференциалом , его интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю, и отсюда следует, что площадь внутри контура на диаграмме T – S (а) равна полной работе, совершаемой системой над окружающей средой, если контур проходится по часовой стрелке, и (б) равна полной работе, совершаемой над системой окружающей средой, если контур проходится против часовой стрелки.

Рисунок 4 : Цикл Карно, происходящий между горячим резервуаром при температуре T _H и холодным резервуаром при температуре T _C .

Цикл Карно

Рисунок 5 : Визуализация цикла Карно.

Оценка вышеуказанного интеграла особенно проста для цикла Карно. Количество энергии, переданной в качестве работы, равно

$${\displaystyle W=\oint PdV=\oint TdS=(T_{H}-T_{C})(S_{B}-S_{A})}$$

Общее количество тепла, переданного от горячего резервуара к системе (при изотермическом расширении), составит , а общее количество тепла, переданного от системы к холодному резервуару (при изотермическом сжатии), составит $${\displaystyle Q_{H}=T_{H}(S_{B}-S_{A})=T_{H}\Delta S_{H}}$$ $${\displaystyle Q_{C}=T_{C}(S_{A}-S_{B})=T_{C}\Delta S_{C}<0}$$

Из-за сохранения энергии чистое переданное тепло равно выполненной работе ^[1] ${\displaystyle Q}$ $${\displaystyle W=Q=Q_{H}-Q_{C}}$$

Эффективность определяется как: ${\displaystyle \eta }$

где

• W — работа, совершаемая системой (энергия, выходящая из системы в виде работы),
• ${\displaystyle Q_{C}}$< 0 – тепло, отбираемое из системы (тепловая энергия, покидающая систему),
• ${\displaystyle Q_{H}}$> 0 — тепло, поступающее в систему (тепловая энергия, поступающая в систему),
• ${\displaystyle T_{C}}$ - абсолютная температура холодного резервуара, а
• ${\displaystyle T_{H}}$— абсолютная температура горячего резервуара.
• ${\displaystyle S_{B}}$максимальная энтропия системы
• ${\displaystyle S_{A}}$минимальная энтропия системы

Выражение с температурой можно вывести из приведенных выше выражений с энтропией: и . Поскольку , в окончательном выражении для появляется знак минус . ${\displaystyle \eta =1-{\frac {T_{C}}{T_{H}}}}$ ${\displaystyle Q_{H}=T_{H}(S_{B}-S_{A})=T_{H}\Delta S_{H}}$ ${\displaystyle Q_{C}=T_{C}(S_{A}-S_{B})=T_{C}\Delta S_{C}<0}$ ${\displaystyle \Delta S_{C}=S_{A}-S_{B}=-\Delta S_{H}}$ ${\displaystyle \eta }$

Это определение КПД тепловой машины Карно как отношение работы, выполненной системой, к тепловой энергии, полученной системой от горячего резервуара за цикл. Эта тепловая энергия является инициатором цикла.

Обратный цикл Карно

Описанный цикл тепловой машины Карно является полностью обратимым циклом. То есть все процессы, которые его составляют, могут быть обращены, и в этом случае он становится тепловым насосом Карно и холодильным циклом . На этот раз цикл остается точно таким же, за исключением того, что направления любых взаимодействий тепла и работы меняются на противоположные. Тепло поглощается из низкотемпературного резервуара, тепло отводится в высокотемпературный резервуар, и для выполнения всего этого требуется ввод работы. Диаграмма P – V обращенного цикла Карно такая же, как и для цикла тепловой машины Карно, за исключением того, что направления процессов меняются на противоположные. ^[3]

Теорема Карно

Из приведенной выше диаграммы видно, что для любого цикла, работающего в диапазоне температур от до , ни один из них не может превзойти эффективность цикла Карно. ${\displaystyle T_{H}}$ ${\displaystyle T_{C}}$

Рисунок 6 : Реальный двигатель (слева) по сравнению с циклом Карно (справа). Энтропия реального материала изменяется с температурой. Это изменение обозначено кривой на диаграмме T – S. Для этого рисунка кривая указывает на равновесие пара и жидкости ( см. цикл Ренкина ). Необратимые системы и потери энергии (например, работа из-за трения и тепловые потери) не позволяют идеалу происходить на каждом этапе.

Теорема Карно является формальным утверждением этого факта: Ни один двигатель, работающий между двумя тепловыми резервуарами, не может быть более эффективным, чем двигатель Карно, работающий между этими же резервуарами. Таким образом, Уравнение 3 дает максимально возможную эффективность для любого двигателя, использующего соответствующие температуры. Следствие из теоремы Карно гласит, что: Все обратимые двигатели, работающие между одними и теми же тепловыми резервуарами, одинаково эффективны. Перестановка правой части уравнения дает то, что может быть более понятной формой уравнения, а именно, что теоретический максимальный КПД теплового двигателя равен разнице температур между горячим и холодным резервуарами, деленной на абсолютную температуру горячего резервуара. Рассматривая эту формулу, становится очевидным интересный факт: снижение температуры холодного резервуара будет иметь большее влияние на предельную эффективность теплового двигателя, чем повышение температуры горячего резервуара на ту же величину. В реальном мире этого может быть трудно достичь, поскольку холодный резервуар часто представляет собой существующую температуру окружающей среды.

Другими словами, максимальная эффективность достигается тогда и только тогда, когда энтропия не изменяется за цикл. Изменение энтропии за цикл происходит, например, если есть трение, приводящее к рассеиванию работы в тепло. В этом случае цикл необратим, и теорема Клаузиуса становится неравенством, а не равенством. В противном случае, поскольку энтропия является функцией состояния , требуемый сброс тепла в окружающую среду для утилизации избыточной энтропии приводит к (минимальному) снижению эффективности. Таким образом, уравнение 3 дает эффективность любой обратимой тепловой машины .

В мезоскопических тепловых двигателях работа за цикл работы в целом колеблется из-за теплового шума. Если цикл выполняется квазистатически, то флуктуации исчезают даже на мезоскопическом уровне. ^[4] Однако, если цикл выполняется быстрее времени релаксации рабочего тела, то флуктуации работы неизбежны. Тем не менее, когда подсчитываются флуктуации работы и тепла, точное равенство связывает экспоненциальное среднее значение работы, выполненной любым тепловым двигателем, с теплопередачей от более горячей тепловой ванны. ^[5]

Эффективность реальных тепловых двигателей

Карно понял, что в действительности невозможно построить термодинамически обратимый двигатель. Таким образом, реальные тепловые двигатели еще менее эффективны, чем указано в уравнении 3. Кроме того, реальные двигатели, работающие по циклу Карно (изотермическое расширение / изоэнтропическое расширение / изотермическое сжатие / изоэнтропическое сжатие), редки. Тем не менее, уравнение 3 чрезвычайно полезно для определения максимальной эффективности, которую можно было бы ожидать для данного набора тепловых резервуаров.

Хотя цикл Карно является идеализацией, уравнение 3 как выражение эффективности Карно все еще полезно. Рассмотрим средние температуры, при которых первый интеграл относится к части цикла, где тепло поступает в систему, а второй интеграл относится к части цикла, где тепло уходит из системы. Затем замените T _H и T _C в уравнении 3 на ⟨ T _H ⟩ и ⟨ T _C ⟩ соответственно, чтобы оценить эффективность тепловой машины. $${\displaystyle \langle T_{H}\rangle ={\frac {1}{\Delta S}}\int _{Q_{\text{in}}}TdS}$$ $${\displaystyle \langle T_{C}\rangle ={\frac {1}{\Delta S}}\int _{Q_{\text{out}}}TdS}$$

Для цикла Карно или его эквивалента среднее значение ⟨ T _H ⟩ будет равно наивысшей доступной температуре, а именно T _H , а ⟨ T _C ⟩ наименьшей, а именно T _C . Для других менее эффективных термодинамических циклов ⟨ T _H ⟩ будет ниже, чем T _H , а ⟨ T _C ⟩ будет выше, чем T _C . Это может помочь проиллюстрировать, например, почему подогреватель или регенератор могут повысить тепловую эффективность паровых электростанций и почему тепловая эффективность парогазовых электростанций (которые включают газовые турбины, работающие при еще более высоких температурах) превышает таковую у обычных паровых установок. Первый прототип дизельного двигателя был основан на принципах цикла Карно.

Как макроскопическая конструкция

Тепловая машина Карно , в конечном счете, является теоретической конструкцией, основанной на идеализированной термодинамической системе . На практическом уровне человеческого масштаба цикл Карно оказался ценной моделью, как в продвижении разработки дизельного двигателя . Однако в макроскопическом масштабе ограничения, накладываемые предположениями модели, доказывают ее непрактичность и, в конечном счете, неспособность выполнять какую-либо работу . ^[6] Таким образом, согласно теореме Карно , двигатель Карно можно рассматривать как теоретический предел макроскопических масштабов тепловых машин, а не как любое практическое устройство, которое когда-либо могло быть построено. ^[7]

Смотрите также

• Тепловая машина Карно
• Обратимый процесс (термодинамика)

Ссылки

Примечания

1. Planck, M. (1945). "уравнения 39, 40 и 65 в разделах §90 и §137". Трактат по термодинамике. Dover Publications. стр. 75, 135.
2. Ферми, Э. (1956). "уравнение 64". Термодинамика (PDF) . Dover Publications. стр. 48.
3. Çengel, Yunus A., and Michael A. Boles. Термодинамика: инженерный подход . 7-е изд. Нью-Йорк: McGraw-Hill, 2011. стр. 299. Печать.
4. Голубец Виктор и Рябов Артем (2018). «Велоспорт укрощает колебания мощности вблизи оптимальной эффективности». Phys. Rev. Lett . 121 (12): 120601. arXiv : 1805.00848 . Bibcode :2018PhRvL.121l0601H. doi :10.1103/PhysRevLett.121.120601. PMID  30296120. S2CID  52943273.
5. NA Sinitsyn (2011). "Fluctuation Relation for Heat Engines". J. Phys. A: Math. Theor . 44 (40): 405001. arXiv : 1111.7014 . Bibcode :2011JPhA...44N5001S. doi :10.1088/1751-8113/44/40/405001. S2CID  119261929.
6. Лю, Ханг; Мэн, Синь-Хэ (18 августа 2017 г.). «Влияние темной энергии на эффективность заряженных черных дыр AdS как тепловых двигателей». The European Physical Journal C . 77 (8): 556. arXiv : 1704.04363 . doi :10.1140/epjc/s10052-017-5134-9. ISSN  1434-6052. ...так как тепловая машина Карно, установление верхней границы эффективности тепловой машины является идеальным, обратимым двигателем, один цикл которого должен быть выполнен за бесконечное время, что непрактично, и поэтому двигатель Карно имеет нулевую мощность.
7. Бененти, Джулиано; Казати, Джулио; Ван, Цзяо (2020). "Мощность, эффективность и колебания в стационарных тепловых двигателях" (PDF) . Physical Review E. 102 ( 4). Однако колебания [температуры резервуара] делают такие двигатели непрактичными.

Источники

• Карно, Сади, Размышления о движущей силе огня
• Эвинг, Дж. А. (1910) Паровая машина и другие двигатели, издание 3, стр. 62, через интернет-архив
• Фейнман, Ричард П.; Лейтон, Роберт Б.; Сэндс, Мэтью (1963). Лекции Фейнмана по физике . Addison-Wesley Publishing Company. стр. Глава 44. ISBN 978-0-201-02116-5.
• Холлидей, Дэвид; Резник, Роберт (1978). Физика (3-е изд.). John Wiley & Sons. стр. 541–548. ISBN 978-0-471-02456-9.
• Киттель, Чарльз ; Кремер, Герберт (1980). Теплофизика (2-е изд.). WH Freeman Company. ISBN 978-0-7167-1088-2.
• Костич, М (2011). «Возвращаясь ко второму закону деградации энергии и генерации энтропии: от гениальных рассуждений Сади Карно к целостному обобщению». AIP Conf. Proc . Труды конференции AIP. 1411 (1): 327–350. Bibcode : 2011AIPC.1411..327K. CiteSeerX  10.1.1.405.1945 . doi : 10.1063/1.3665247.Американский институт физики, 2011. ISBN 978-0-7354-0985-9 . Аннотация на: [1]. Полная статья (24 страницы [2]), также на [3]. 

Внешние ссылки

• Статья в журнале Hyperphysics о цикле Карно.
• Цикл Карно SM Blinder на идеальном газе с использованием Wolfram Mathematica