В математике и логике операция называется финитной, если она имеет конечную арность , т. е. если она имеет конечное число входных значений. Аналогично, бесконечная операция — это операция с бесконечным числом входных значений.
В стандартной математике операция по определению финитна. Поэтому эти термины обычно используются только в контексте бесконечной логики .
Финитарный аргумент — это аргумент, который можно перевести в конечный набор символических утверждений, начиная с конечного [1] набора аксиом . Другими словами, это доказательство (включая все предположения), которое можно записать на достаточно большом листе бумаги.
Напротив, бесконечная логика изучает логику, допускающую бесконечно длинные утверждения и доказательства . В такой логике можно рассматривать, например, квантор существования как производный от бесконечной дизъюнкции .
Логики начала 20 века стремились решить проблему оснований , например: «Какова истинная основа математики?» Программа должна была иметь возможность переписать всю математику, используя полностью синтаксический язык без семантики . По словам Дэвида Гильберта (имея в виду геометрию ), «не имеет значения, называем ли мы эти вещи стульями , столами и пивными кружками или точками , линиями и плоскостями ».
Акцент на конечности возник из идеи, что человеческое математическое мышление основано на конечном числе принципов и все рассуждения следуют, по сути, одному правилу : modus ponens . Проект заключался в том, чтобы зафиксировать конечное количество символов (по сути, цифры 1, 2, 3,... буквы алфавита и некоторые специальные символы, такие как «+», «⇒», «(», «)» и т. д. ), дать конечное число предложений, выраженных в этих символах, которые должны были быть приняты в качестве «оснований» (аксиом), и некоторые правила вывода , которые моделировали бы то, как люди делают выводы. Из них, независимо от семантической интерпретации символов, остальные теоремы должны следовать формально, используя только сформулированные правила (которые делают математику похожей скорее на игру с символами , чем на науку ) без необходимости полагаться на изобретательность. Надеялись доказать, что из этих аксиом и правил можно вывести все математические теоремы. Эта цель известна как логицизм .
