Бесконечно близкая точка

Понятие в алгебраической геометрии

В алгебраической геометрии бесконечно близкая точка алгебраической поверхности S — это точка на поверхности, полученная из S путем многократного раздутия точек. Бесконечно близкие точки алгебраических поверхностей были введены Максом Нётером  (1876). ^[1]

Существуют и другие значения термина «бесконечно близкая точка». Бесконечно близкие точки также можно определить для многообразий более высокой размерности: существует несколько неэквивалентных способов сделать это, в зависимости от того, что разрешено взорвать. Вейль дал определение бесконечно близких точек гладких многообразий, ^[2] хотя это не то же самое, что бесконечно близкие точки в алгебраической геометрии. В строке гипердействительных чисел , расширении строки действительных чисел , две точки называются бесконечно близкими, если их разность бесконечно мала .

Определение

Когда раздувание применяется к точке P на поверхности S , новая поверхность S * содержит целую кривую C там, где раньше была P. Точки C имеют геометрическую интерпретацию как направления касательных в точке P к S . Их можно назвать бесконечно близкими к P для визуализации их на S , а не на S *. В более общем случае эту конструкцию можно повторить, раздув точку на новой кривой C , и так далее.

Бесконечно близкая точка (порядка n ) P _n на поверхности S ₀ задается последовательностью точек P ₀ , P ₁ ,..., P _n на поверхностях S ₀ , S ₁ ,..., S _n таких, что S _i задается раздутием S _{i –1} в точке P _{i –1} , а P _i является точкой поверхности S _i с образом P _{i –1} .

В частности, точки поверхности S являются бесконечно близкими точками на S порядка 0.

Бесконечно близкие точки соответствуют 1-мерным оценкам функционального поля S с 0-мерным центром и, в частности, соответствуют некоторым точкам поверхности Зарисского–Римана . (Одномерные оценки с 1-мерным центром соответствуют неприводимым кривым S. ) Также возможно повторять конструкцию бесконечно часто, создавая бесконечную последовательность P ₀ , P ₁ ,... бесконечно близких точек. Эти бесконечные последовательности соответствуют 0-мерным оценкам функционального поля поверхности, которые соответствуют «0-мерным» точкам поверхности Зарисского–Римана .

Приложения

Если C и D — различные неприводимые кривые на гладкой поверхности S, пересекающиеся в точке p , то кратность их пересечения в точке p определяется выражением

${\displaystyle \sum _{x{\text{ infinitely near }}p}m_{x}(C)m_{x}(D)}$

где m _x ( C ) — кратность C в точке x . В общем случае это больше, чем m _p ( C ) m _p ( D ), если C и D имеют общую касательную в точке x, так что они также пересекаются в бесконечно близких точках порядка больше 0, например, если C — это прямая y  = 0, а D — это парабола y  =  x ² и p  = (0,0).

Род C определяется как

${\displaystyle g(C)=g(N)+\sum _{{\text{infinitely near points }}x}m_{x}(m_{x}-1)/2}$

где N — нормализация C , а m _x — кратность бесконечно близкой точки x на C.

Ссылки

1. Бесконечно близкие точки на алгебраических поверхностях , Джино Туррин, American Journal of Mathematics , том 74, № 1 (январь 1952 г.), стр. 100–106
2. [4] Weil, A., Theorie des points proches sur les variétés Differentielles , Colloque de Topologie et Geometrie Diferentielle, Strasbourg, 1953, 111–117; в его Collected Papers II. Примечания к статье там указывают, что это был отвергнутый проект для группы Бурбаки . Weil ссылается на подход Пьера де Ферма к исчислению, а также на струи Шарля Эресмана . Для расширенного рассмотрения см. OO Luciano, Categories of multiplicative functors and Weil's infinitely near points , Nagoya Math. J. 109 (1988), 69–89 (онлайн здесь) для полного обсуждения.

• Нётер, М. (1876), «Ueber die Singlen Werthsysteme einer алгебраической функции и умереть сингулярной точки алгебраической кривой», Mathematische Annalen , 9 (2): 166–182, doi : 10.1007/BF01443372, S2CID  120376948