Квазикатегория

Обобщение категории

В математике, а точнее в теории категорий , квазикатегория (также называемая квазикатегорией , слабым комплексом Кана , внутренним комплексом Кана , категорией бесконечности , ∞-категорией , комплексом Бордмана , кватегорией ) является обобщением понятия категории . Изучение таких обобщений известно как теория высших категорий .

Квазикатегории были введены Бордманом и Фогтом (1973). Андре Джойал значительно продвинул изучение квазикатегорий, показав, что большая часть обычной базовой теории категорий и некоторые из продвинутых понятий и теорем имеют свои аналоги для квазикатегорий. Подробный трактат по теории квазикатегорий был изложен Якобом Лури  (2009).

Квазикатегории — это определенные симплициальные множества . Как и обычные категории, они содержат объекты (0-симплексы симплициального множества) и морфизмы между этими объектами (1-симплексы). Но в отличие от категорий, композиция двух морфизмов не обязательно должна быть определена однозначно. Все морфизмы, которые могут служить композицией двух данных морфизмов, связаны друг с другом обратимыми морфизмами более высокого порядка (2-симплексы, рассматриваемые как «гомотопии»). Эти морфизмы более высокого порядка также могут быть составлены, но снова композиция хорошо определена только до обратимых морфизмов еще более высокого порядка и т. д.

Идея теории высших категорий (по крайней мере, теории высших категорий, когда высшие морфизмы обратимы) заключается в том, что, в отличие от стандартного понятия категории, должно быть пространство отображения (а не множество отображения) между двумя объектами. Это предполагает, что высшая категория должна быть просто топологически обогащенной категорией . Однако модель квазикатегорий лучше подходит для приложений, чем модель топологически обогащенных категорий, хотя Лурье доказал, что обе имеют естественные модельные структуры, которые эквивалентны по Квиллену .

Определение

По определению, квазикатегория C является симплициальным множеством, удовлетворяющим внутренним условиям Кана (также называемым слабым условием Кана): каждый внутренний рог в C , а именно карта симплициальных множеств , где , имеет заполнитель, то есть расширение до карты . (См. Kan fibration#Definitions для определения симплициальных множеств и .) ${\displaystyle \Lambda ^{k}[n]\to C}$ ${\displaystyle 0<k<n}$ ${\displaystyle \Delta [n]\to C}$ ${\displaystyle \Delta [n]}$ ${\displaystyle \Lambda ^{k}[n]}$

Идея состоит в том, что 2-симплексы должны представлять коммутативные треугольники (по крайней мере, с точностью до гомотопии). Карта представляет собой компонуемую пару. Таким образом, в квазикатегории нельзя определить закон композиции для морфизмов, поскольку можно выбрать много способов компоновки карт. ${\displaystyle \Delta [2]\to C}$ ${\displaystyle \Lambda ^{1}[2]\to C}$

Одним из следствий определения является то, что является тривиальным расслоением Кана. Другими словами, хотя закон композиции не определен однозначно, он уникален с точностью до сжимаемого выбора. ${\displaystyle C^{\Delta [2]}\to C^{\Lambda ^{1}[2]}}$

Гомотопическая категория

Если задана квазикатегория C, то с ней можно связать обычную категорию hC , называемую гомотопической категорией C. Гомотопическая категория имеет в качестве объектов вершины C. Морфизмы задаются гомотопическими классами ребер между вершинами. Композиция задается с использованием условия рогового наполнителя для n  = 2.

Для общего симплициального множества существует функтор из sSet в Cat , известный как функтор фундаментальной категории , а для квазикатегории C фундаментальная категория совпадает с гомотопической категорией, т. е . . ${\displaystyle \tau _{1}}$ ${\displaystyle \tau _{1}(C)=hC}$

Примеры

• Нерв категории — это квазикатегория с дополнительным свойством, что заполнение любого внутреннего рога уникально. Наоборот, квазикатегория, такая что любой внутренний рог имеет уникальное заполнение, изоморфна нерву некоторой категории. Гомотопическая категория нерва C изоморфна C .
• Для топологического пространства X можно определить его сингулярное множество S ( X ), также известное как фундаментальный ∞-группоид X . S ( X ) — это квазикатегория, в которой каждый морфизм обратим. Гомотопическая категория S ( X ) — это фундаментальный группоид X .
• Более общий, чем предыдущий пример, каждый комплекс Кан является примером квазикатегории. В комплексе Кан все отображения из всех рогов — не только внутренних — могут быть заполнены, что снова имеет следствием то, что все морфизмы в комплексе Кан обратимы. Таким образом, комплексы Кан являются аналогами группоидов — нерв категории является комплексом Кан тогда и только тогда, когда категория является группоидом.

Варианты

• (∞, 1)-категория — это не обязательно квазикатегория ∞-категория, в которой все n -морфизмы для n  > 1 являются эквивалентностями. Существует несколько моделей (∞, 1)-категорий, включая категорию Сигала , симплициально обогащенную категорию , топологическую категорию , полное пространство Сигала . Квазикатегория также является (∞, 1)-категорией.
• Структура модели Существует структура модели на sSet-categories, которая представляет (∞,1)-категорию (∞,1)Cat.
• Расширение гомотопии Кана Понятие расширения гомотопии Кана и, следовательно, в частности, гомотопического предела и гомотопического копредела имеет прямую формулировку в терминах категорий, обогащенных комплексом Кана. Подробнее см. в расширении гомотопии Кана.
• Представление теории (∞,1)-топоса Вся теория (∞,1)-топоса может быть смоделирована в терминах sSet-категорий. (ToënVezzosi). Существует понятие sSet-сайта C, которое моделирует понятие (∞,1)-сайта, и модельная структура на sSet-обогащенных предпучках на sSet-сайтах, которая является представлением для ∞-стека (∞,1)-топоса на C.

Смотрите также

• Категория модели
• Стабильная бесконечная категория
• ∞-группоид
• Теория высшей категории
• Шаровидный набор

Ссылки

• Бордман, Дж. М.; Фогт, Р. М. (1973), Гомотопически инвариантные алгебраические структуры в топологических пространствах , Lecture Notes in Mathematics, т. 347, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0068547, ISBN 978-3-540-06479-4, МР  0420609
• Грот, Мориц, Краткий курс по бесконечным категориям (PDF)
• Джоял, Андре (2002), «Квазикатегории и комплексы Кана», Журнал чистой и прикладной алгебры , 175 (1): 207–222, doi :10.1016/S0022-4049(02)00135-4, MR  1935979
• Джоял, Андре ; Тирни, Майлз (2007), «Квазикатегории против пространств Сигала», Категории в алгебре, геометрии и математической физике , Contemp. Math., т. 431, Провиденс, Род-Айленд: Amer. Math. Soc., стр. 277–326, arXiv : math.AT/0607820 , MR  2342834
• Джоял, А. (2008), Теория квазикатегорий и ее приложения, лекции в CRM Barcelona (PDF) , архивировано из оригинала (PDF) 6 июля 2011 г.
• Джоял, А., Заметки о квазикатегориях (PDF)
• Лури, Якоб (2009), Теория высших топосов , Annals of Mathematics Studies, т. 170, Princeton University Press , arXiv : math.CT/0608040 , ISBN 978-0-691-14049-0, г-н  2522659
• Запись Джояла в Catlab: Теория квазикатегорий
• квазикатегория в n Lab
• бесконечность-категория в n Lab
• фундаментальный+категория в n Lab
• Бергнер, Джулия Э. (2011). «Практикум по гомотопической теории гомотопических теорий». arXiv : 1108.2001 [math.AT].
• (∞, 1)-категория в n-й лаборатории
• Хинич, Владимир (19.09.2017). «Лекции о категориях бесконечности». arXiv : 1709.06271 [math.CT].
• Toën, Bertrand; Vezzosi, Gabriele (2005), «Гомотопическая алгебраическая геометрия I: теория топосов», Advances in Mathematics , 193 (2): 257–372, arXiv : math.AG/0207028 , doi : 10.1016/j.aim.2004.05.004