Квантовый канал

Фундаментальный объект в теории квантовой связи

В квантовой теории информации квантовый канал — это канал связи, который может передавать как квантовую , так и классическую информацию. Примером квантовой информации является общая динамика кубита . Примером классической информации является текстовый документ, передаваемый через Интернет .

Терминологически квантовые каналы являются полностью положительными (CP) сохраняющими след отображениями между пространствами операторов. Другими словами, квантовый канал — это просто квантовая операция, рассматриваемая не просто как редуцированная динамика системы, а как конвейер, предназначенный для передачи квантовой информации. (Некоторые авторы используют термин «квантовая операция» для включения карт, уменьшающих след, в то время как «квантовый канал» резервируется для строго сохраняющих след отображений ^[1] )

Квантовый канал без памяти

Предположим на данный момент, что все пространства состояний рассматриваемых систем, классических или квантовых, являются конечномерными.

Слово «memoryless» в названии раздела имеет то же значение, что и в классической теории информации : выход канала в данный момент времени зависит только от соответствующего входа, а не от предыдущих.

Картина Шредингера

Рассмотрим квантовые каналы, которые передают только квантовую информацию. Это как раз и есть квантовая операция , свойства которой мы сейчас суммируем.

Пусть и будут пространствами состояний (конечномерными гильбертовыми пространствами ) отправляющего и принимающего концов канала соответственно. будем обозначать семейство операторов на В картине Шредингера чисто квантовый канал представляет собой отображение между матрицами плотности, действующими на и со следующими свойствами: ${\displaystyle H_{A}}$ ${\displaystyle H_{B}}$ ${\displaystyle L(H_{A})}$ ${\displaystyle H_{A}.}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle H_{A}}$ ${\displaystyle H_{B}}$

1. Согласно постулатам квантовой механики, должно быть линейным. ${\displaystyle \Phi }$
2. Поскольку матрицы плотности положительны, необходимо сохранять конус положительных элементов. Другими словами, является положительным отображением . ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$
3. Если вспомогательное отображение произвольной конечной размерности n связано с системой, то индуцированное отображение , где I _n — тождественное отображение на вспомогательном отображении, также должно быть положительным. Поэтому требуется, чтобы было положительным для всех n . Такие отображения называются полностью положительными . ${\displaystyle I_{n}\otimes \Phi ,}$ ${\displaystyle I_{n}\otimes \Phi }$
4. Матрицы плотности имеют след 1, поэтому необходимо сохранить след. ${\displaystyle \Phi }$

Прилагательные полностью положительный и сохраняющий след, используемые для описания карты, иногда сокращаются до CPTP . В литературе иногда четвертое свойство ослабляется, так что требуется только не увеличивать след. В этой статье будет предполагаться, что все каналы являются CPTP. ${\displaystyle \Phi }$

Гейзенберг фотография

Матрицы плотности, действующие на H _A, составляют только собственное подмножество операторов на H _A, и то же самое можно сказать о системе B . Однако, как только определено линейное отображение между матрицами плотности, стандартный аргумент линейности вместе с предположением о конечной размерности позволяют нам однозначно расшириться на все пространство операторов. Это приводит к сопряженному отображению , которое описывает действие в картине Гейзенберга : ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi ^{*}}$ ${\displaystyle \Phi }$

Пространства операторов L ( H _A ) и L ( H _B ) являются гильбертовыми пространствами со скалярным произведением Гильберта–Шмидта . Поэтому, рассматривая как отображение между гильбертовыми пространствами, мы получаем его сопряженное ^*, заданное как ${\displaystyle \Phi :L(H_{A})\rightarrow L(H_{B})}$ ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle \langle A,\Phi (\rho )\rangle =\langle \Phi ^{*}(A),\rho \rangle .}$

В то время как переводит состояния на A в состояния на B , отображает наблюдаемые в системе B в наблюдаемые на A . Это соотношение такое же, как между описаниями динамики Шредингера и Гейзенберга. Статистика измерений остается неизменной, считаются ли наблюдаемые фиксированными, в то время как состояния подвергаются операции или наоборот. ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi ^{*}}$

Можно непосредственно проверить, что если предполагается сохранение следа, то является единичным , то есть . Физически говоря, это означает, что в картине Гейзенберга тривиальная наблюдаемая остается тривиальной после применения канала. ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi ^{*}}$ ${\displaystyle \Phi ^{*}(I)=I}$

Классическая информация

До сих пор мы определили только квантовый канал, который передает только квантовую информацию. Как было сказано во введении, вход и выход канала могут включать также классическую информацию. Чтобы описать это, формулировку, данную до сих пор, необходимо несколько обобщить. Чисто квантовый канал в представлении Гейзенберга представляет собой линейное отображение Ψ между пространствами операторов:

${\displaystyle \Psi :L(H_{B})\rightarrow L(H_{A})}$

которая является унитальной и полностью положительной ( CP ). Пространства операторов можно рассматривать как конечномерные C*-алгебры . Поэтому можно сказать, что канал — это унитальное CP-отображение между C*-алгебрами:

${\displaystyle \Psi :{\mathcal {B}}\rightarrow {\mathcal {A}}.}$

Классическая информация может быть включена в эту формулировку. Наблюдаемые классической системы можно считать коммутативной C*-алгеброй, т.е. пространством непрерывных функций на некотором множестве . Мы предполагаем, что является конечным, поэтому может быть идентифицировано с n -мерным евклидовым пространством с умножением по элементам. ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Поэтому в картине Гейзенберга, если классическая информация является частью, скажем, ввода, мы бы определили включение соответствующих классических наблюдаемых. Примером этого может быть канал ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

${\displaystyle \Psi :L(H_{B})\otimes C(X)\rightarrow L(H_{A}).}$

Notice по-прежнему является C*-алгеброй. Элемент C*-алгебры называется положительным, если для некоторого . Положительность отображения определяется соответствующим образом. Эта характеристика не является общепринятой; квантовый инструмент иногда дается как обобщенная математическая структура для передачи как квантовой, так и классической информации. В аксиоматизациях квантовой механики классическая информация переносится в алгебре Фробениуса или категории Фробениуса . ${\displaystyle L(H_{B})\otimes C(X)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a=x^{*}x}$ ${\displaystyle x}$

Примеры

Эволюция времени

Для чисто квантовой системы временная эволюция в определенный момент времени t определяется выражением

${\displaystyle \rho \rightarrow U\rho \;U^{*},}$

где и H — гамильтониан , а t — время. Очевидно, что это дает карту CPTP в картине Шредингера и, следовательно, является каналом. Двойственная карта в картине Гейзенберга — это ${\displaystyle U=e^{-iHt/\hbar }}$

${\displaystyle A\rightarrow U^{*}AU.}$

Ограничение

Рассмотрим составную квантовую систему с пространством состояний. Для состояния ${\displaystyle H_{A}\otimes H_{B}.}$

${\displaystyle \rho \in H_{A}\otimes H_{B},}$

восстановленное состояние ρ в системе A , ρ ^A , получается путем взятия частичного следа ρ относительно системы B :

${\displaystyle \rho ^{A}=\operatorname {Tr} _{B}\;\rho .}$

Частичная операция трассировки — это карта CPTP, следовательно, квантовый канал в картине Шредингера. В картине Гейзенберга дуальная карта этого канала —

${\displaystyle A\rightarrow A\otimes I_{B},}$

где A — наблюдаемая величина системы A.

Наблюдаемый

Наблюдаемая величина связывает численное значение с квантово-механическим эффектом . Предполагается, что это положительные операторы, действующие на соответствующее пространство состояний и . (Такой набор называется POVM .) В картине Гейзенберга соответствующая наблюдаемая карта отображает классическую наблюдаемую ${\displaystyle f_{i}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle F_{i}}$ ${\textstyle \sum _{i}F_{i}=I}$ ${\displaystyle \Psi }$

${\displaystyle f={\begin{bmatrix}f_{1}\\\vdots \\f_{n}\end{bmatrix}}\in C(X)}$

к квантово-механическому

${\displaystyle \;\Psi (f)=\sum _{i}f_{i}F_{i}.}$

Другими словами, интегрируем f против POVM , чтобы получить квантово-механическую наблюдаемую. Можно легко проверить, что она CP и унитальна. ${\displaystyle \Psi }$

Соответствующее отображение Шредингера переводит матрицы плотности в классические состояния: ${\displaystyle \Psi ^{*}}$

${\displaystyle \Psi (\rho )={\begin{bmatrix}\langle F_{1},\rho \rangle \\\vdots \\\langle F_{n},\rho \rangle \end{bmatrix}},}$

где скалярное произведение — скалярное произведение Гильберта–Шмидта. Кроме того, рассматривая состояния как нормализованные функционалы и ссылаясь на теорему о представлении Рисса , мы можем положить

${\displaystyle \Psi (\rho )={\begin{bmatrix}\rho (F_{1})\\\vdots \\\rho (F_{n})\end{bmatrix}}.}$

Инструмент

Наблюдаемая карта в картине Шредингера имеет чисто классическую выходную алгебру и поэтому описывает только статистику измерений. Чтобы также учесть изменение состояния, мы определяем то, что называется квантовым инструментом . Пусть будут эффекты (POVM), связанные с наблюдаемой. В картине Шредингера инструмент — это карта с чисто квантовым входом и с выходным пространством : ${\displaystyle \{F_{1},\dots ,F_{n}\}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \rho \in L(H)}$ ${\displaystyle C(X)\otimes L(H)}$

${\displaystyle \Phi (\rho )={\begin{bmatrix}\rho (F_{1})\cdot F_{1}\\\vdots \\\rho (F_{n})\cdot F_{n}\end{bmatrix}}.}$

Позволять

${\displaystyle f={\begin{bmatrix}f_{1}\\\vdots \\f_{n}\end{bmatrix}}\in C(X).}$

Двойственная карта на картинке Гейзенберга — это

${\displaystyle \Psi (f\otimes A)={\begin{bmatrix}f_{1}\Psi _{1}(A)\\\vdots \\f_{n}\Psi _{n}(A)\end{bmatrix}}}$

где определяется следующим образом: Фактор (это всегда можно сделать, поскольку элементы POVM положительны), то . Мы видим, что является CP и единичным. ${\displaystyle \Psi _{i}}$ ${\displaystyle F_{i}=M_{i}^{2}}$ ${\displaystyle \;\Psi _{i}(A)=M_{i}AM_{i}}$ ${\displaystyle \Psi }$

Обратите внимание, что это дает именно наблюдаемую карту. Карта ${\displaystyle \Psi (f\otimes I)}$

${\displaystyle {\tilde {\Psi }}(A)=\sum _{i}\Psi _{i}(A)=\sum _{i}M_{i}AM_{i}}$

описывает общее изменение состояния.

Канал измерения и подготовки

Предположим, что две стороны A и B хотят общаться следующим образом: A выполняет измерение наблюдаемой и сообщает результат измерения B классическим способом. Согласно полученному сообщению, B подготавливает свою (квантовую) систему к определенному состоянию. В картине Шредингера первая часть канала ₁ просто состоит из A, выполняющего измерение, т.е. это наблюдаемая карта: ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle \;\Phi _{1}(\rho )={\begin{bmatrix}\rho (F_{1})\\\vdots \\\rho (F_{n})\end{bmatrix}}.}$

Если в случае i -го результата измерения B подготавливает свою систему в состоянии R _i , то вторая часть канала ₂ переводит указанное выше классическое состояние в матрицу плотности ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle \Phi _{2}\left({\begin{bmatrix}\rho (F_{1})\\\vdots \\\rho (F_{n})\end{bmatrix}}\right)=\sum _{i}\rho (F_{i})R_{i}.}$

Общая операция представляет собой композицию

${\displaystyle \Phi (\rho )=\Phi _{2}\circ \Phi _{1}(\rho )=\sum _{i}\rho (F_{i})R_{i}.}$

Каналы такой формы называются мерно-подготовительными или в форме Холево .

В картине Гейзенберга двойственное отображение определяется как ${\displaystyle \Phi ^{*}=\Phi _{1}^{*}\circ \Phi _{2}^{*}}$

${\displaystyle \;\Phi ^{*}(A)=\sum _{i}R_{i}(A)F_{i}.}$

Канал измерения и подготовки не может быть картой идентичности. Это как раз утверждение теоремы о нетелепортации , которая гласит, что классическая телепортация (не путать с телепортацией с помощью запутывания ) невозможна. Другими словами, квантовое состояние не может быть надежно измерено.

В дуальности канал-состояние канал является измеряемым и подготавливаемым тогда и только тогда, когда соответствующее состояние является разделимым . На самом деле, все состояния, которые возникают в результате частичного действия канала измерения и подготовки, являются разделимыми, и по этой причине каналы измерения и подготовки также известны как каналы, разрушающие запутанность.

Чистый канал

Рассмотрим случай чисто квантового канала в картине Гейзенберга. При условии, что все конечномерно, есть единичное CP-отображение между пространствами матриц ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Psi }$

${\displaystyle \Psi :\mathbb {C} ^{n\times n}\rightarrow \mathbb {C} ^{m\times m}.}$

По теореме Чоя о вполне положительных отображениях , должно иметь вид ${\displaystyle \Psi }$

${\displaystyle \Psi (A)=\sum _{i=1}^{N}K_{i}AK_{i}^{*}}$

где N ≤ nm . Матрицы K _i называются операторами Крауса (в честь немецкого физика Карла Крауса , который их ввел). Минимальное число операторов Крауса называется рангом Крауса . Канал с рангом Крауса 1 называется чистым . Эволюция во времени является одним из примеров чистого канала. Эта терминология снова происходит из дуальности канала и состояния. Канал является чистым тогда и только тогда, когда его дуальное состояние является чистым состоянием. ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Psi }$

Телепортация

В квантовой телепортации отправитель хочет передать произвольное квантовое состояние частицы возможно удаленному получателю. Следовательно, процесс телепортации представляет собой квантовый канал. Аппарат для самого процесса требует квантового канала для передачи одной частицы запутанного состояния получателю. Телепортация происходит путем совместного измерения отправленной частицы и оставшейся запутанной частицы. Это измерение приводит к классической информации, которая должна быть отправлена ​​получателю для завершения телепортации. Важно, что классическая информация может быть отправлена ​​после того, как квантовый канал прекратил свое существование.

В экспериментальной обстановке

Экспериментально простая реализация квантового канала — это передача отдельных фотонов по оптоволокну (или в свободном пространстве, если на то пошло) . Отдельные фотоны могут передаваться на расстояние до 100 км по стандартному оптоволокну, прежде чем потери станут преобладающими. Время прибытия фотона ( запутывание по времени ) или поляризация используются в качестве основы для кодирования квантовой информации для таких целей, как квантовая криптография . Канал способен передавать не только базисные состояния (например , ), но и их суперпозиции (например, ). Когерентность состояния сохраняется во время передачи по каналу. Сравните это с передачей электрических импульсов по проводам (классический канал), где может быть отправлена ​​только классическая информация (например, 0 и 1). ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle +|1\rangle }$

Пропускная способность канала

Норма cb канала

Прежде чем дать определение пропускной способности канала, необходимо обсудить предварительное понятие нормы полной ограниченности , или cb-нормы канала. При рассмотрении пропускной способности канала нам нужно сравнить его с «идеальным каналом» . Например, когда входная и выходная алгебры идентичны, мы можем выбрать в качестве тождественного отображения. Такое сравнение требует метрики между каналами. Поскольку канал можно рассматривать как линейный оператор, возникает соблазн использовать естественную операторную норму . Другими словами, близость к идеальному каналу можно определить как ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle \|\Phi -\Lambda \|=\sup\{\|(\Phi -\Lambda )(A)\|\;|\;\|A\|\leq 1\}.}$

Однако норма оператора может увеличиться, если мы тензорим с тождественным отображением на некоторую вспомогательную функцию. ${\displaystyle \Phi }$

Чтобы сделать норму оператора еще более нежелательным кандидатом, количество

${\displaystyle \|\Phi \otimes I_{n}\|}$

может неограниченно возрастать как Решение состоит в том, чтобы ввести для любого линейного отображения между C*-алгебрами cb-норму ${\displaystyle n\rightarrow \infty .}$ ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle \|\Phi \|_{cb}=\sup _{n}\|\Phi \otimes I_{n}\|.}$

Определение пропускной способности канала

Математическая модель канала, используемая здесь, такая же, как и классическая .

Пусть будет каналом в картине Гейзенберга и будет выбранным идеальным каналом. Чтобы сделать сравнение возможным, нужно закодировать и декодировать Φ с помощью соответствующих устройств, т.е. мы рассматриваем композицию ${\displaystyle \Psi :{\mathcal {B}}_{1}\rightarrow {\mathcal {A}}_{1}}$ ${\displaystyle \Psi _{id}:{\mathcal {B}}_{2}\rightarrow {\mathcal {A}}_{2}}$

${\displaystyle {\hat {\Psi }}=D\circ \Phi \circ E:{\mathcal {B}}_{2}\rightarrow {\mathcal {A}}_{2}}$

где E — кодер, а D — декодер. В этом контексте E и D — единичные CP-карты с соответствующими доменами. Количество, представляющее интерес, — это наилучший сценарий :

${\displaystyle \Delta ({\hat {\Psi }},\Psi _{id})=\inf _{E,D}\|{\hat {\Psi }}-\Psi _{id}\|_{cb}}$

причем нижняя грань берется по всем возможным кодерам и декодерам.

Для передачи слов длины n идеальный канал должен быть применен n раз, поэтому рассмотрим тензорную мощность

${\displaystyle \Psi _{id}^{\otimes n}=\Psi _{id}\otimes \cdots \otimes \Psi _{id}.}$

Операция описывает n входов, подвергающихся операции независимо, и является квантово-механическим аналогом конкатенации . Аналогично, m вызовов канала соответствуют . ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \Psi _{id}}$ ${\displaystyle {\hat {\Psi }}^{\otimes m}}$

Количество

${\displaystyle \Delta ({\hat {\Psi }}^{\otimes m},\Psi _{id}^{\otimes n})}$

следовательно, является мерой способности канала точно передавать слова длины n, будучи вызванным m раз.

Это приводит к следующему определению:

Неотрицательное действительное число r является достижимой скоростью относительно ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Psi _{id}}$ , ​​если

Для всех последовательностей , где и , имеем ${\displaystyle \{n_{\alpha }\},\{m_{\alpha }\}\subset \mathbb {N} }$ ${\displaystyle m_{\alpha }\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle \lim \sup _{\alpha }(n_{\alpha }/m_{\alpha })<r}$

${\displaystyle \lim _{\alpha }\Delta ({\hat {\Psi }}^{\otimes m_{\alpha }},\Psi _{id}^{\otimes n_{\alpha }})=0.}$

Последовательность можно рассматривать как представление сообщения, состоящего из, возможно, бесконечного числа слов. Условие предельного супремума в определении гласит, что в пределе верная передача может быть достигнута путем вызова канала не более, чем в r раз больше длины слова. Можно также сказать, что r — это количество букв за вызов канала, которые могут быть отправлены без ошибок. ${\displaystyle \{n_{\alpha }\}}$

Пропускная способность канала ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Psi _{id}}$ относительно , ​​обозначаемая как , является супремумом всех достижимых скоростей. ${\displaystyle \;C(\Psi ,\Psi _{id})}$

Из определения следует, что 0 — достижимая скорость для любого канала.

Важные примеры

Как было сказано ранее, для системы с наблюдаемой алгеброй идеальный канал по определению является тождественным отображением . Таким образом, для чисто n- мерной квантовой системы идеальный канал является тождественным отображением на пространстве матриц n  ×  n . В качестве небольшого злоупотребления обозначениями этот идеальный квантовый канал будет также обозначаться как . Аналогично, классическая система с выходной алгеброй будет иметь идеальный канал, обозначаемый тем же символом. Теперь мы можем сформулировать некоторые фундаментальные пропускные способности канала. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \Psi _{id}}$ ${\displaystyle I_{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n\times n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n\times n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}$

Пропускная способность классического идеального канала по отношению к квантовому идеальному каналу равна ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n\times n}}$

${\displaystyle C(\mathbb {C} ^{m},\mathbb {C} ^{n\times n})=0.}$

Это эквивалентно теореме о невозможности телепортации: квантовую информацию невозможно передать по классическому каналу.

При этом справедливы следующие равенства:

${\displaystyle C(\mathbb {C} ^{m},\mathbb {C} ^{n})=C(\mathbb {C} ^{m\times m},\mathbb {C} ^{n\times n})=C(\mathbb {C} ^{m\times m},\mathbb {C} ^{n})={\frac {\log n}{\log m}}.}$

Вышеизложенное говорит, например, что идеальный квантовый канал не более эффективен при передаче классической информации, чем идеальный классический канал. Когда n = m , лучшее, чего можно достичь, — это один бит на кубит .

Здесь уместно отметить, что обе вышеуказанные границы пропускной способности могут быть нарушены с помощью запутанности . Схема телепортации с помощью запутанности позволяет передавать квантовую информацию с использованием классического канала. Сверхплотное кодирование . достигает двух бит на кубит . Эти результаты указывают на важную роль, которую играет запутанность в квантовой коммуникации.

Классические и квантовые пропускные способности каналов

Используя те же обозначения, что и в предыдущем подразделе, классическая пропускная способность канала Ψ равна

${\displaystyle C(\Psi ,\mathbb {C} ^{2}),}$

то есть это пропускная способность Ψ относительно идеального канала в классической однобитовой системе . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

Аналогично квантовая емкость Ψ равна

${\displaystyle C(\Psi ,\mathbb {C} ^{2\times 2}),}$

где теперь системой отсчета является система из одного кубита . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2\times 2}}$

Точность канала

Другая мера того, насколько хорошо квантовый канал сохраняет информацию, называется точностью канала , и она вытекает из точности квантовых состояний .

Бистохастический квантовый канал

Бистохастический квантовый канал — это квантовый канал , который является единичным , ^[2] т.е. . ${\displaystyle \Phi (\rho )}$ ${\displaystyle \Phi (I)=I}$

Смотрите также

• Теорема об отсутствии связи
• Канал демпфирования амплитуды
• Квантовый деполяризующий канал

Ссылки

1. Видбрук, Кристиан; Пирандола, Стефано; Гарсия-Патрон, Рауль; Серф, Николас Дж.; Ральф, Тимоти К.; Шапиро, Джеффри Х.; Ллойд, Сет (2012). «Гауссова квантовая информация». Reviews of Modern Physics . 84 (2): 621–669. arXiv : 1110.3234 . Bibcode : 2012RvMP...84..621W. doi : 10.1103/RevModPhys.84.621. S2CID  119250535.
2. Джон А. Холбрук, Дэвид В. Крибс и Рэймонд Лафламм. «Бесшумные подсистемы и структура коммутанта в квантовой коррекции ошибок». Квантовая обработка информации . Том 2, номер 5, стр. 381-419. Октябрь 2003 г.

• М. Кейл и Р. Ф. Вернер, Как исправить малые квантовые ошибки , Lecture Notes in Physics Volume 611, Springer, 2002.
• Уайлд, Марк М. (2017), Квантовая теория информации , Cambridge University Press, arXiv : 1106.1445 , Bibcode : 2011arXiv1106.1445W, doi : 10.1017/9781316809976.001, S2CID  2515538.