Начальное состояние

Параметр в дифференциальных уравнениях и динамических системах

В математике и особенно в динамических системах начальное условие , в некоторых контекстах называемое начальным значением , ^{[1] : стр. 160,} — это значение развивающейся переменной в некоторый момент времени, обозначаемый как начальный момент (обычно обозначаемый t  = 0) . ). Для системы порядка k (количество задержек в дискретном времени или порядка наибольшей производной в непрерывном времени ) и размерности n (то есть с n различными развивающимися переменными, которые вместе можно обозначить n -мерной координатный вектор ), обычно требуется nk начальных условий, чтобы отслеживать переменные системы во времени.

Как в дифференциальных уравнениях в непрерывном времени, так и в разностных уравнениях в дискретном времени начальные условия влияют на значение динамических переменных ( переменных состояния ) в любой момент в будущем. В непрерывном времени задача нахождения решения в замкнутой форме для переменных состояния как функции времени и начальных условий называется проблемой начальных значений . Соответствующая проблема существует для ситуаций с дискретным временем. Хотя решение в замкнутой форме не всегда возможно получить, будущие значения системы дискретного времени можно найти путем итерации вперед на один период времени за итерацию, хотя ошибка округления может сделать это непрактичным в долгосрочной перспективе.

Линейная система

Дискретное время

Линейное матричное разностное уравнение однородного (не имеющего постоянного члена) вида имеет решение замкнутой формы , основанное на векторе начальных условий на отдельных переменных, уложенных в вектор; называется вектором начальных условий или просто начальным условием и содержит nk порций информации, где n — размерность вектора X , а k  = 1 — количество временных задержек в системе. Начальные условия в этой линейной системе не влияют на качественный характер будущего поведения переменной состояния X ; это поведение стабильно или нестабильно в зависимости от собственных значений матрицы A , но не от начальных условий. ${\displaystyle X_{t+1}=AX_{t}}$ ${\displaystyle X_{t}=A^{t}X_{0}}$ ${\displaystyle X_{0}}$ ${\displaystyle X_{0}}$

Альтернативно, динамический процесс с одной переменной x , имеющий несколько временных задержек, представляет собой

${\displaystyle x_{t}=a_{1}x_{t-1}+a_{2}x_{t-2}+\cdots +a_{k}x_{t-k}.}$

Здесь размерность равна n  = 1, а порядок равен k , поэтому необходимое количество начальных условий для отслеживания системы во времени, итеративно или с помощью решения в замкнутой форме, равно nk  =  k . Опять же, начальные условия не влияют на качественный характер долгосрочной эволюции переменной. Решение этого уравнения находится с помощью его характеристического уравнения для получения k решений последнего , которые являются характеристическими значениями для использования в уравнении решения. ${\displaystyle \lambda ^{k}-a_{1}\lambda ^{k-1}-a_{2}\lambda ^{k-2}-\cdots -a_{k-1}\lambda -a_{k}=0}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{k},}$

${\displaystyle x_{t}=c_{1}\lambda _{1}^{t}+\cdots +c_{k}\lambda _{k}^{t}.}$

Здесь константы находятся путем решения системы k различных уравнений на основе этого уравнения, каждое из которых использует одно из k различных значений t , для которых известно конкретное начальное условие . ${\displaystyle c_{1},\dots ,c_{k}}$ ${\displaystyle x_{t}}$

Непрерывное время

Система дифференциальных уравнений первого порядка с n переменными, уложенными в вектор X, имеет вид

${\displaystyle {\frac {dX}{dt}}=AX.}$

Его поведение во времени можно проследить с помощью решения в замкнутой форме, зависящего от вектора начального состояния . Количество требуемых исходных фрагментов информации равно размерности n системы, умноженной на порядок k  = 1 системы, или n . Начальные условия не влияют на качественное поведение (устойчивое или неустойчивое) системы. ${\displaystyle X_{0}}$

Единственное линейное уравнение k- ^го порядка с одной переменной x :

${\displaystyle {\frac {d^{k}x}{dt^{k}}}+a_{k-1}{\frac {d^{k-1}x}{dt^{k-1}}}+\cdots +a_{1}{\frac {dx}{dt}}+a_{0}x=0.}$

Здесь количество начальных условий, необходимых для получения решения в замкнутой форме, равно размерности n  = 1, умноженной на порядок k , или просто k . В этом случае k исходных фрагментов информации обычно не будут разными значениями переменной x в разные моменты времени, а скорее значениями x и ее первых k  – 1 производных, все в какой-то момент времени, например, в нулевой момент времени. Начальные условия не влияют на качественный характер поведения системы. Характеристическое уравнение этого динамического уравнения состоит в том, решениями которого являются характеристические значения , которые используются в уравнении решения. ${\displaystyle \lambda ^{k}+a_{k-1}\lambda ^{k-1}+\cdots +a_{1}\lambda +a_{0}=0,}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{k};}$

${\displaystyle x(t)=c_{1}e^{\lambda _{1}t}+\cdots +c_{k}e^{\lambda _{k}t}.}$

Это уравнение и его первые k – 1 производные образуют систему k уравнений, которые можно решить для k параметров с учетом известных начальных условий по x и значений его k – 1 производных в некоторый момент времени t . ${\displaystyle c_{1},\dots ,c_{k},}$

Нелинейные системы

Нелинейные системы могут демонстрировать существенно более богатое разнообразие поведения, чем линейные. В частности, начальные условия могут влиять на то, расходится ли система к бесконечности или сходится к тому или иному аттрактору системы. Каждый аттрактор, (возможно, несвязная) область значений, к которой некоторые динамические пути приближаются, но никогда не покидают ее, имеет (возможно, несвязную) область притяжения , так что переменные состояния с начальными условиями в этой области (и нигде больше) будут развиваться в направлении этого аттрактора. Даже близкие начальные условия могут находиться в бассейнах притяжения разных аттракторов (см., например, метод Ньютона #Бассейны притяжения ).

Более того, в тех нелинейных системах, которые демонстрируют хаотическое поведение , эволюция переменных демонстрирует чувствительную зависимость от начальных условий : повторяющиеся значения любых двух очень близких точек на одном и том же странном аттракторе , хотя каждая из них остается на аттракторе, будут расходиться друг от друга с течением времени. время. Таким образом, даже на одном аттракторе точные значения начальных условий существенно влияют на будущие положения итераций. Эта особенность делает точное моделирование будущих значений трудным и невозможным на длительных горизонтах, поскольку определение начальных условий с точной точностью редко возможно и поскольку ошибка округления неизбежна даже после нескольких итераций от точного начального условия.

Эмпирические законы и начальные условия

Каждый эмпирический закон обладает тревожащим свойством, заключающимся в незнании его ограничений. Мы видели, что в событиях окружающего нас мира существуют закономерности, которые можно с поразительной точностью сформулировать в терминах математических понятий. С другой стороны, существуют аспекты мира, относительно которых мы не верим в существование каких-либо точных закономерностей. Мы называем это начальными условиями. ^[2]

Смотрите также

• Граничное условие
• Вектор инициализации в криптографии

Рекомендации

1. Баумол, Уильям Дж. (1970). Экономическая динамика: Введение (3-е изд.). Лондон: Кольер-Макмиллан. ISBN 0-02-306660-1.
2. Вигнер, Юджин П. (1960). «Необоснованная эффективность математики в естественных науках. Лекция Ричарда Куранта по математическим наукам, прочитанная в Нью-Йоркском университете, 11 мая 1959 года». Сообщения по чистой и прикладной математике . 13 (1): 1–14. Бибкод : 1960CPAM...13....1W. дои : 10.1002/cpa.3160130102. Архивировано из оригинала (PDF) 12 февраля 2021 г.

Внешние ссылки

• Цитаты, связанные с исходным состоянием, на Wikiquote