Интегральный тест на сходимость

Тест бесконечного ряда монотонных членов на сходимость

Интегральный тест, примененный к гармоническому ряду . Поскольку площадь под кривой y = 1/ x для x ∈ [1, ∞) бесконечна, общая площадь прямоугольников также должна быть бесконечной.

В математике интегральный тест на сходимость — это метод, используемый для проверки бесконечных рядов монотонных членов на сходимость . Он был разработан Колином Маклореном и Огюстеном-Луи Коши и иногда известен как тест Маклорена–Коши .

Заявление об испытании

Рассмотрим целое число N и функцию f, определенную на неограниченном интервале [ N ,∞) , на котором она монотонно убывает . Тогда бесконечный ряд

${\displaystyle \sum _{n=N}^{\infty }f(n)}$

сходится к действительному числу тогда и только тогда, когда несобственный интеграл

${\displaystyle \int _{N}^{\infty }f(x)\,dx}$

конечен. В частности, если интеграл расходится, то расходится и ряд.

Замечание

Если несобственный интеграл конечен, то доказательство также дает нижнюю и верхнюю границы

для бесконечного ряда.

Обратите внимание, что если функция возрастает, то она убывает и применяется приведенная выше теорема. ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle -f(x)}$

Во многих учебниках требуется, чтобы функция была положительной, ^{[1] [2] [3]} но это условие на самом деле не является необходимым. Так как когда отрицательно и убывает, то и то и другое расходится, как обсуждалось в Mathematics Stack Exchange. ^{[4] [ нужен лучший источник ]} ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \sum _{n=N}^{\infty }f(n)}$ ${\displaystyle \int _{N}^{\infty }f(x)\,dx}$

Доказательство

Доказательство использует сравнительный тест , сравнивая член с интегралом по интервалам и соответственно. ${\displaystyle f(n)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [n-1,n)}$ ${\displaystyle [n,n+1)}$

Монотонная функция непрерывна почти всюду . Чтобы показать это, пусть ${\displaystyle f}$

${\displaystyle D=\{x\in [N,\infty )\mid f{\text{ is discontinuous at }}x\}}$

Для каждого существует плотность , такая что . ${\displaystyle x\in D}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle c(x)\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle c(x)\in \left[\lim _{y\downarrow x}f(y),\lim _{y\uparrow x}f(y)\right]}$

Обратите внимание , что это множество содержит открытый непустой интервал точно, если разрывно при . Мы можем однозначно определить как рациональное число , которое имеет наименьший индекс в перечислении и удовлетворяет указанному выше свойству. Поскольку является монотонным , это определяет инъективное отображение и, таким образом, является счетным . Отсюда следует, что непрерывно почти всюду . Этого достаточно для интегрируемости Римана . ^[5] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c(x)}$ ${\displaystyle \mathbb {N} \to \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c:D\to \mathbb {Q} ,x\mapsto c(x)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f}$

Поскольку f — монотонно убывающая функция, мы знаем, что

${\displaystyle f(x)\leq f(n)\quad {\text{for all }}x\in [n,\infty )}$

и

${\displaystyle f(n)\leq f(x)\quad {\text{for all }}x\in [N,n].}$

Следовательно, для каждого целого числа n ≥ N ,

и для каждого целого числа n ≥ N + 1 ,

Суммируя по всем n от N до некоторого большего целого числа M , получаем из ( 2 )

${\displaystyle \int _{N}^{M+1}f(x)\,dx=\sum _{n=N}^{M}\underbrace {\int _{n}^{n+1}f(x)\,dx} _{\leq \,f(n)}\leq \sum _{n=N}^{M}f(n)}$

и из ( 3 )

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=N}^{M}f(n)&=f(N)+\sum _{n=N+1}^{M}f(n)\\&\leq f(N)+\sum _{n=N+1}^{M}\underbrace {\int _{n-1}^{n}f(x)\,dx} _{\geq \,f(n)}\\&=f(N)+\int _{N}^{M}f(x)\,dx.\end{aligned}}}$

Объединение этих двух оценок дает

${\displaystyle \int _{N}^{M+1}f(x)\,dx\leq \sum _{n=N}^{M}f(n)\leq f(N)+\int _{N}^{M}f(x)\,dx.}$

Устремляя M к бесконечности, получаем границы ( 1 ) и результат.

Приложения

Гармонический ряд

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}$

расходится, потому что, используя натуральный логарифм , его первообразную и основную теорему исчисления , мы получаем

${\displaystyle \int _{1}^{M}{\frac {1}{n}}\,dn=\ln n{\Bigr |}_{1}^{M}=\ln M\to \infty \quad {\text{for }}M\to \infty .}$

С другой стороны, серия

${\displaystyle \zeta (1+\varepsilon )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{1+\varepsilon }}}}$

(ср. дзета-функция Римана ) сходится для любого ε > 0 , поскольку по правилу мощности

${\displaystyle \int _{1}^{M}{\frac {1}{n^{1+\varepsilon }}}\,dn=\left.-{\frac {1}{\varepsilon n^{\varepsilon }}}\right|_{1}^{M}={\frac {1}{\varepsilon }}\left(1-{\frac {1}{M^{\varepsilon }}}\right)\leq {\frac {1}{\varepsilon }}<\infty \quad {\text{for all }}M\geq 1.}$

Из ( 1 ) получаем верхнюю оценку

${\displaystyle \zeta (1+\varepsilon )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{1+\varepsilon }}}\leq {\frac {1+\varepsilon }{\varepsilon }},}$

которые можно сравнить с некоторыми частными значениями дзета-функции Римана .

Граница между дивергенцией и конвергенцией

Приведенные выше примеры с гармоническими рядами поднимают вопрос о том, существуют ли монотонные последовательности, такие, что f ( n ) уменьшается до 0 быстрее, чем 1/ n , но медленнее, чем 1/ n ^{1+ ε} в том смысле, что

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{1/n}}=0\quad {\text{and}}\quad \lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{1/n^{1+\varepsilon }}}=\infty }$

для каждого ε > 0 , и расходится ли по-прежнему соответствующий ряд f ( n ) . Как только такая последовательность найдена, можно задать аналогичный вопрос, приняв роль f ( n ) как 1/ n , и так далее. Таким образом, можно исследовать границу между расходимостью и сходимостью бесконечных рядов.

Используя интегральный тест на сходимость, можно показать (см. ниже), что для каждого натурального числа k ряд

все еще расходится (ср. доказательство того, что сумма обратных величин простых чисел расходится при k = 1 ), но

сходится для любого ε > 0. Здесь ln _k обозначает k -кратную композицию натурального логарифма, определяемую рекурсивно как

${\displaystyle \ln _{k}(x)={\begin{cases}\ln(x)&{\text{for }}k=1,\\\ln(\ln _{k-1}(x))&{\text{for }}k\geq 2.\end{cases}}}$

Кроме того, N _k обозначает наименьшее натуральное число, такое что k -кратная композиция хорошо определена и ln _k ( N _k ) ≥ 1 , т.е.

${\displaystyle N_{k}\geq \underbrace {e^{e^{\cdot ^{\cdot ^{e}}}}} _{k\ e'{\text{s}}}=e\uparrow \uparrow k}$

с использованием тетрации или нотации Кнута со стрелкой вверх .

Чтобы увидеть расхождение ряда ( 4 ) с помощью интегрального теста, обратите внимание, что при повторном применении цепного правила

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln _{k+1}(x)={\frac {d}{dx}}\ln(\ln _{k}(x))={\frac {1}{\ln _{k}(x)}}{\frac {d}{dx}}\ln _{k}(x)=\cdots ={\frac {1}{x\ln(x)\cdots \ln _{k}(x)}},}$

следовательно

${\displaystyle \int _{N_{k}}^{\infty }{\frac {dx}{x\ln(x)\cdots \ln _{k}(x)}}=\ln _{k+1}(x){\bigr |}_{N_{k}}^{\infty }=\infty .}$

Чтобы увидеть сходимость ряда ( 5 ), обратите внимание, что по правилу мощности , правилу цепочки и приведенному выше результату

${\displaystyle -{\frac {d}{dx}}{\frac {1}{\varepsilon (\ln _{k}(x))^{\varepsilon }}}={\frac {1}{(\ln _{k}(x))^{1+\varepsilon }}}{\frac {d}{dx}}\ln _{k}(x)=\cdots ={\frac {1}{x\ln(x)\cdots \ln _{k-1}(x)(\ln _{k}(x))^{1+\varepsilon }}},}$

следовательно

${\displaystyle \int _{N_{k}}^{\infty }{\frac {dx}{x\ln(x)\cdots \ln _{k-1}(x)(\ln _{k}(x))^{1+\varepsilon }}}=-{\frac {1}{\varepsilon (\ln _{k}(x))^{\varepsilon }}}{\biggr |}_{N_{k}}^{\infty }<\infty }$

и ( 1 ) дает границы для бесконечного ряда в ( 5 ).

Смотрите также

• Тесты на сходимость
• Сходимость (математика)
• Прямой сравнительный тест
• Теорема о доминируемой сходимости
• Формула Эйлера-Маклорена
• Тест сравнения пределов
• Теорема о монотонной сходимости

Ссылки

• Кнопп, Конрад , «Бесконечные последовательности и ряды», Dover Publications , Inc., Нью-Йорк, 1956. (§ 3.3) ISBN  0-486-60153-6
• Уиттекер, ET, и Уотсон, GN, Курс современного анализа , четвертое издание, Cambridge University Press, 1963. (§ 4.43) ISBN 0-521-58807-3 
• Феррейра, Хайме Кампос, Эд Калуст Гюльбенкян, 1987, ISBN 972-31-0179-3 

1. Стюарт, Джеймс; Клегг, Дэниел; Уотсон, Салим (2021). Исчисление: метрическая версия (9-е изд.). Cengage. ISBN 9780357113462.
2. Уэйд, Уильям (2004). Введение в анализ (3-е изд.). Pearson Education. ISBN 9780131246836.
3. Томас, Джордж; Хасс, Джоэл; Привет, Кристофер; Вейр, Морис; Сулета, Хосе Луис (2018). Исчисление Томаса: ранние трансценденталии (14-е изд.). Пирсон Образование. ISBN 9781292253114.
4. savemycalculus. "Почему он должен быть положительным и убывающим, чтобы применить интегральный тест?". Mathematics Stack Exchange . Получено 2020-03-11 .
5. Браун, AB (сентябрь 1936 г.). «Доказательство условия Лебега для интегрируемости Римана». The American Mathematical Monthly . 43 (7): 396–398. doi :10.2307/2301737. ISSN  0002-9890. JSTOR  2301737.