Граница (топология)

Все точки, не являющиеся частью внутренней части подмножества топологического пространства.

Множество (светло-голубого цвета) и его граница (темно-синего цвета).

В топологии и математике в целом граница подмножества S топологического пространства X — это множество точек в замыкании S , не принадлежащих внутренней части S. Элемент границы S называется граничной точкой S. Термин граничная операция относится к нахождению или взятию границы множества. Обозначения, используемые для границы множества S, включают и . ${\displaystyle \operatorname {bd} (S),\operatorname {fr} (S),}$ ${\displaystyle \partial S}$

Некоторые авторы (например, Уиллард в «Общей топологии» ) используют термин «граница» вместо «граница», пытаясь избежать путаницы с другим определением, используемым в алгебраической топологии и теории многообразий . Несмотря на широкое признание значения терминов «граница» и «граница», они иногда использовались для обозначения других множеств. Например, «Метрические пространства » Э. Т. Копсона использует термин « граница » для обозначения границы Хаусдорфа , которая определяется как пересечение множества с его границей. ^[1] Хаусдорф также ввел термин «вычет» , который определяется как пересечение множества с замыканием границы его дополнения. ^[2]

Определения

Существует несколько эквивалентных определений границы подмножества топологического пространства , которая будет обозначаться как или просто, если подразумевается: ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \partial _{X}S,}$ ${\displaystyle \operatorname {Bd} _{X}S,}$ ${\displaystyle \partial S}$ ${\displaystyle X}$

1. Это замыкание минус внутренность в : где обозначает замыкание в , а обозначает топологическую внутренность в​​​ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \partial S~:=~{\overline {S}}\setminus \operatorname {int} _{X}S}$$ ${\displaystyle {\overline {S}}=\operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$
2. Это пересечение замыкания с замыканием его дополнения : ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle \partial S~:=~{\overline {S}}\cap {\overline {(X\setminus S)}}}$$
3. Это множество точек , такое что каждая окрестность содержит по крайней мере одну точку из и по крайней мере одну точку не из : ${\displaystyle p\in X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle \partial S~:=~\{p\in X:{\text{ for every neighborhood }}O{\text{ of }}p,\ O\cap S\neq \varnothing \,{\text{ and }}\,O\cap (X\setminus S)\neq \varnothing \}.}$$

Граничная точка множества — это любой элемент границы этого множества. Граница, определенная выше, иногда называется топологической границей множества , чтобы отличить ее от других схожих по названию понятий, таких как граница многообразия с границей или граница многообразия с углами , и это лишь несколько примеров. ${\displaystyle \partial _{X}S}$

Связный компонент границы S называется граничным компонентом S.​

Характеристики

Замыкание множества равно объединению множества с его границей: где обозначает замыкание в Множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит свою границу, и открыто тогда и только тогда, когда оно не пересекается со своей границей. Граница множества замкнута ; [ ^3] это следует из формулы , которая выражает как пересечение двух замкнутых подмножеств ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle {\overline {S}}=S\cup \partial _{X}S}$$ ${\displaystyle {\overline {S}}=\operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \partial _{X}S~:=~{\overline {S}}\cap {\overline {(X\setminus S)}},}$ ${\displaystyle \partial _{X}S}$ ${\displaystyle X.}$

(«Трихотомия»)При наличии любого подмножества каждая точка лежит ровно в одном из трех множеств и Сказано иначе, и эти три множества попарно не пересекаются . Следовательно, если эти множества не пусты [ ^{примечание 1],} то они образуют разбиение ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S,\partial _{X}S,}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}(X\setminus S).}$ $${\displaystyle X~=~\left(\operatorname {int} _{X}S\right)\;\cup \;\left(\partial _{X}S\right)\;\cup \;\left(\operatorname {int} _{X}(X\setminus S)\right)}$$ ${\displaystyle X.}$

Точка является граничной точкой множества тогда и только тогда, когда каждая окрестность содержит по крайней мере одну точку множества и по крайней мере одну точку не множества. Граница внутренней части множества, а также граница замыкания множества содержатся в границе множества. ${\displaystyle p\in X}$ ${\displaystyle p}$

Концептуальная диаграмма Венна , показывающая отношения между различными точками подмножества = множество точек накопления (также называемых предельными точками), множество граничных точек области , закрашенной зеленым = множество внутренних точек области , закрашенной желтым = множество изолированных точек областей , закрашенных черным = пустые множества. Каждая точка является либо внутренней точкой, либо граничной точкой. Кроме того, каждая точка является либо точкой накопления, либо изолированной точкой. Аналогично, каждая граничная точка является либо точкой накопления, либо изолированной точкой. Изолированные точки всегда являются граничными точками. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle B=}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Примеры

Характеристики и общие примеры

Множество и его дополнение имеют одну и ту же границу: $${\displaystyle \partial _{X}S=\partial _{X}(X\setminus S).}$$

Множество является плотным открытым подмножеством тогда и только тогда, когда ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \partial _{X}U=X\setminus U.}$

Внутренность границы замкнутого множества пуста. ^{[доказательство 1]} Следовательно, внутренность границы замыкания множества пуста. Внутренность границы открытого множества также пуста. ^{[доказательство 2]} Следовательно, внутренность границы внутренности множества пуста. В частности, если является замкнутым или открытым подмножеством , то не существует непустого подмножества такого, что является открытым в Этот факт важен для определения и использования нигде не плотных подмножеств , тощих подмножеств , и пространств Бэра . ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subseteq \partial _{X}S}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X.}$

Множество является границей некоторого открытого множества тогда и только тогда, когда оно замкнуто и нигде не плотно . Граница множества пуста тогда и только тогда, когда множество одновременно замкнуто и открыто (то есть открыто- замкнутое множество ).

Конкретные примеры

Граница гиперболических компонент множества Мандельброта

Рассмотрим действительную прямую с обычной топологией (то есть топологией, базисные множества которой являются открытыми интервалами ) и подмножество рациональных чисел ( топологическая внутренность которых пуста). Тогда ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle \partial (0,5)=\partial [0,5)=\partial (0,5]=\partial [0,5]=\{0,5\}}$
• ${\displaystyle \partial \varnothing =\varnothing }$
• ${\displaystyle \partial \mathbb {Q} =\mathbb {R} }$
• ${\displaystyle \partial (\mathbb {Q} \cap [0,1])=[0,1]}$

Последние два примера иллюстрируют тот факт, что граница плотного множества с пустой внутренней частью является его замыканием. Они также показывают, что граница подмножества может содержать непустое открытое подмножество ; то есть внутренняя часть в может быть непустой. Однако граница замкнутого подмножества всегда имеет пустую внутреннюю часть. ${\displaystyle \partial S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X:=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \partial S}$ ${\displaystyle X}$

В пространстве рациональных чисел с обычной топологией ( топология подпространства ), граница которого иррациональна, пуста. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (-\infty ,a),}$ ${\displaystyle a}$

Граница множества — это топологическое понятие, и она может измениться, если изменить топологию. Например, если обычная топология на границе замкнутого диска — это окружность, окружающая диск: Если диск рассматривать как множество в с его собственной обычной топологией, то границей диска является сам диск: Если диск рассматривать как его собственное топологическое пространство (с топологией подпространства ), то граница диска пуста. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle \Omega =\left\{(x,y):x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}}$ ${\displaystyle \partial \Omega =\left\{(x,y):x^{2}+y^{2}=1\right\}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \Omega =\left\{(x,y,0):x^{2}+y^{2}\leq 1\right\},}$ ${\displaystyle \partial \Omega =\Omega .}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Граница открытого шара и окружающая его сфера

Этот пример демонстрирует, что топологическая граница открытого шара радиуса не обязательно равна соответствующей сфере радиуса (с центром в той же точке); он также показывает, что замыкание открытого шара радиуса не обязательно равно замкнутому шару радиуса (снова с центром в той же точке). Обозначим обычную евклидову метрику на с помощью , которая индуцирует на обычную евклидову топологию . Пусть обозначим объединение оси - с единичной окружностью с центром в начале координат ; то есть которая является топологическим подпространством , топология которого равна индуцированной (ограничением) метрики В частности, множества и все являются замкнутыми подмножествами и, таким образом, также замкнутыми подмножествами своего подпространства Впредь, если явно не указано иное, каждый открытый шар, замкнутый шар и сфера должны предполагаться центрированными в начале координат и, более того, будет рассматриваться только метрическое пространство (а не его суперпространство ); это будет линейно связное и локально линейно связное полное метрическое пространство . ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ $${\displaystyle d((a,b),(x,y)):={\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}}}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y:=\{0\}\times \mathbb {R} }$ $${\displaystyle S^{1}:=\left\{p\in \mathbb {R} ^{2}:d(p,\mathbf {0} )=1\right\}=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}=1\right\}}$$ ${\displaystyle \mathbf {0} :=(0,0)\in \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle X:=Y\cup S^{1},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle d.}$ ${\displaystyle Y,S^{1},Y\cap S^{1}=\{(0,\pm 1)\},}$ ${\displaystyle \{0\}\times [-1,1]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \mathbf {0} =(0,0)}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},d)}$

Обозначим открытый шар радиусом в через так, что когда тогда открытый подынтервал оси - находится строго между и Единичная сфера в (единица означает, что ее радиус равен ) равна , а замкнутый единичный шар в является объединением открытого единичного шара и единичной сферы с центром в этой же точке: ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle B_{r}:=\left\{p\in X:d(p,\mathbf {0} )<r\right\}}$ ${\displaystyle r=1}$ $${\displaystyle B_{1}=\{0\}\times (-1,1)}$$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y=-1}$ ${\displaystyle y=1.}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle r=1}$ $${\displaystyle \left\{p\in X:d(p,\mathbf {0} )=1\right\}=S^{1}}$$ ${\displaystyle (X,d)}$ $${\displaystyle \left\{p\in X:d(p,\mathbf {0} )\leq 1\right\}=S^{1}\cup \left(\{0\}\times [-1,1]\right).}$$

Однако топологическая граница и топологическое замыкание в открытого единичного шара таковы: В частности, топологическая граница открытого единичного шара является собственным подмножеством единичной сферы в И топологическое замыкание открытого единичного шара является собственным подмножеством замкнутого единичного шара в Точка , например, не может принадлежать , поскольку не существует последовательности в , которая сходится к ней; то же самое рассуждение обобщается и для объяснения того, почему ни одна точка в вне замкнутого подынтервала не принадлежит Поскольку топологическая граница множества всегда является подмножеством замыкания , отсюда следует, что также должно быть подмножеством ${\displaystyle \partial _{X}B_{1}}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}B_{1}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B_{1}}$ $${\displaystyle \partial _{X}B_{1}=\{(0,1),(0,-1)\}\quad {\text{ and }}\quad \operatorname {cl} _{X}B_{1}~=~B_{1}\cup \partial _{X}B_{1}~=~B_{1}\cup \{(0,1),(0,-1)\}~=~\{0\}\times [-1,1].}$$ ${\displaystyle \partial _{X}B_{1}=\{(0,1),(0,-1)\}}$ ${\displaystyle \left\{p\in X:d(p,\mathbf {0} )=1\right\}=S^{1}}$ ${\displaystyle (X,d).}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}B_{1}=B_{1}\cup \{(0,1),(0,-1)\}}$ ${\displaystyle \left\{p\in X:d(p,\mathbf {0} )\leq 1\right\}=S^{1}\cup \left(\{0\}\times [-1,1]\right)}$ ${\displaystyle (X,d).}$ ${\displaystyle (1,0)\in X,}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}B_{1}}$ ${\displaystyle B_{1}=\{0\}\times (-1,1)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{0\}\times [-1,1]}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}B_{1}.}$ ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle \partial _{X}B_{1}}$ ${\displaystyle \{0\}\times [-1,1].}$

В любом метрическом пространстве топологическая граница открытого шара радиуса с центром в точке всегда является подмножеством сферы радиуса с центром в той же точке ; то есть всегда выполняется. ${\displaystyle (M,\rho ),}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle c\in M}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle c}$ $${\displaystyle \partial _{M}\left(\left\{m\in M:\rho (m,c)<r\right\}\right)~\subseteq ~\left\{m\in M:\rho (m,c)=r\right\}}$$

Более того, единичная сфера в содержит , которая является открытым подмножеством ^{[доказательство 3]} Это показывает, в частности, что единичная сфера в содержит непустое открытое подмножество ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle X\setminus Y=S^{1}\setminus \{(0,\pm 1)\},}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \left\{p\in X:d(p,\mathbf {0} )=1\right\}}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle X.}$

Граница границы

Для любого множества , где обозначает надмножество с равенством, имеющим место тогда и только тогда, когда граница не имеет внутренних точек, что будет иметь место, например, если либо замкнуто, либо открыто. Поскольку граница множества замкнута, для любого множества Граничный оператор, таким образом, удовлетворяет ослабленному виду идемпотентности . ${\displaystyle S,\partial S\supseteq \partial \partial S,}$ ${\displaystyle \,\supseteq \,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \partial \partial S=\partial \partial \partial S}$ ${\displaystyle S.}$

При обсуждении границ многообразий или симплексов и их симплициальных комплексов часто встречается утверждение, что граница границы всегда пуста. Действительно, построение сингулярных гомологии критически опирается на этот факт. Объяснение кажущегося несоответствия состоит в том, что топологическая граница (предмет этой статьи) является несколько иным понятием, чем граница многообразия или симплициального комплекса. Например, граница открытого диска, рассматриваемого как многообразие, пуста, как и его топологическая граница, рассматриваемая как подмножество самого себя, в то время как его топологическая граница, рассматриваемая как подмножество действительной плоскости, является окружностью, окружающей диск. И наоборот, граница замкнутого диска, рассматриваемого как многообразие, является ограничивающей окружностью, как и его топологическая граница, рассматриваемая как подмножество действительной плоскости, в то время как его топологическая граница, рассматриваемая как подмножество самого себя, является пустым. В частности, топологическая граница зависит от объемлющего пространства, в то время как граница многообразия инвариантна.

Смотрите также

• Более подробную информацию см. в обсуждении границы в топологическом многообразии .
• Граница многообразия  – топологическое пространство, локально напоминающее евклидово пространство.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Граница точки  – математическая концепция, связанная с подмножествами векторных пространств.
• Замыкание (топология)  – все точки и предельные точки в подмножестве топологического пространства.
• Внешняя часть (топология) – наибольшее открытое множество, не пересекающееся с некоторым заданным множеством.
• Интерьер (топология)  – наибольшее открытое подмножество некоторого заданного множества.
• Нигде не плотное множество  – Математическое множество, замыкание которого имеет пустую внутреннюю часть.
• Теорема плотности Лебега для теоретико-мерной характеристики и свойств границы
• Поверхность (топология)  – Двумерное многообразие

Примечания

1. Условие, что эти множества непустые, необходимо, поскольку множества в разбиении по определению должны быть непустыми.

1. Пусть будет замкнутым подмножеством , так что и, таким образом, также Если будет открытым подмножеством , таким что то (потому что ) так что (потому что по определению , является наибольшим открытым подмножеством , содержащимся в ). Но подразумевает, что Таким образом является одновременно подмножеством и не пересекаться с , что возможно только если QED ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {S}}=S}$ ${\displaystyle \partial _{X}S:={\overline {S}}\setminus \operatorname {int} _{X}S=S\setminus \operatorname {int} _{X}S.}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subseteq \partial _{X}S}$ ${\displaystyle U\subseteq S}$ ${\displaystyle \partial _{X}S\subseteq S}$ ${\displaystyle U\subseteq \operatorname {int} _{X}S}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle U\subseteq \partial _{X}S=S\setminus \operatorname {int} _{X}S}$ ${\displaystyle U\cap \operatorname {int} _{X}S=\varnothing .}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S,}$ ${\displaystyle U=\varnothing .}$
2. Пусть будет открытым подмножеством так что Пусть так что что подразумевает, что Если то выбрать так что Поскольку является открытой окрестностью в и определение топологического замыкания подразумевает, что что является противоречием. В качестве альтернативы, если открыто в то замкнуто в так что, используя общую формулу и тот факт, что внутренняя часть границы замкнутого множества (такого как ) пуста, следует, что ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \partial _{X}S:={\overline {S}}\setminus \operatorname {int} _{X}S={\overline {S}}\setminus S.}$ ${\displaystyle U:=\operatorname {int} _{X}\left(\partial _{X}S\right)}$ ${\displaystyle U=\operatorname {int} _{X}\left(\partial _{X}S\right)\subseteq \partial _{X}S={\overline {S}}\setminus S,}$ ${\displaystyle U\cap S=\varnothing .}$ ${\displaystyle U\neq \varnothing }$ ${\displaystyle u\in U,}$ ${\displaystyle u\in U\subseteq \partial _{X}S\subseteq {\overline {S}}.}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle u\in {\overline {S}},}$ ${\displaystyle {\overline {S}}}$ ${\displaystyle U\cap S\neq \varnothing ,}$ ${\displaystyle \blacksquare }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\setminus S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \partial _{X}S=\partial _{X}(X\setminus S)}$ ${\displaystyle X\setminus S}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}\partial _{X}S=\operatorname {int} _{X}\partial _{X}(X\setminus S)=\varnothing .}$ ${\displaystyle \blacksquare }$
3. Ось замкнута в , поскольку она является произведением двух замкнутых подмножеств Следовательно, является открытым подмножеством Поскольку топология подпространства, индуцированная пересечением , является открытым подмножеством ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y=\{0\}\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\setminus Y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle X\cap \left(\mathbb {R} ^{2}\setminus Y\right)=X\setminus Y}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Цитаты

1. Хаусдорф, Феликс (1914). Grundzüge der Mengenlehre. Лейпциг: Файт. п. 214. ИСБН 978-0-8284-0061-9.Переиздано издательством «Челси» в 1949 году.
2. Хаусдорф, Феликс (1914). Grundzüge der Mengenlehre. Лейпциг: Файт. п. 281. ИСБН 978-0-8284-0061-9.Переиздано издательством «Челси» в 1949 году.
3. Мендельсон, Берт (1990) [1975]. Введение в топологию (Третье изд.). Довер. стр. 86. ISBN 0-486-66352-3Следствие 4.15 Для каждого подмножества замкнуто. ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \operatorname {Bdry} (A)}$

Ссылки

• Манкрес, Дж. Р. (2000). Топология . Prentice-Hall. ISBN 0-13-181629-2.
• Уиллард, С. (1970). Общая топология . Эддисон-Уэсли. ISBN 0-201-08707-3.
• ван ден Дрис, Л. (1998). Прирученная топология . ISBN 978-0521598385.