Пересечение (теория множеств)

Набор элементов, общий для всех некоторых множеств

В теории множеств пересечение двух множеств и обозначается ^[1] — это набор, содержащий все элементы, которые также принадлежат или, что то же самое, все элементы этого также принадлежат ^[2] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle A\cap B,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A.}$

Обозначения и терминология

Пересечение записывается с использованием символа « » между терминами; то есть в инфиксной записи . Например: ${\displaystyle \cap }$

$${\displaystyle \{1,2,3\}\cap \{2,3,4\}=\{2,3\}}$$

$${\displaystyle \{1,2,3\}\cap \{4,5,6\}=\varnothing }$$

$${\displaystyle \mathbb {Z} \cap \mathbb {N} =\mathbb {N} }$$

$${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :x^{2}=1\}\cap \mathbb {N} =\{1\}}$$

$${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{n}A_{i}}$$

обозначение заглавной сигмы

Пояснения к символам, используемым в этой статье, можно найти в таблице математических символов .

Определение

Пересечение трёх множеств:
${\displaystyle ~A\cap B\cap C}$

Пересечения безударных современных греческого , латинского и кириллического алфавитов с учетом только формы букв и игнорирования их произношения.

Пример пересечения с множествами

Пересечение двух множеств и обозначается , ^[3] — это множество всех объектов, которые являются членами как множеств, так и символов In: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle A\cap B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B.}$

$${\displaystyle A\cap B=\{x:x\in A{\text{ and }}x\in B\}.}$$

То есть является элементом пересечения тогда и только тогда, когда является одновременно элементом и элементом ^[3] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A\cap B}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B.}$

Например:

• Пересечение множеств {1, 2, 3} и {2, 3, 4} равно {2, 3}.
• Число 9 не находится на пересечении множества простых чисел {2, 3, 5, 7, 11, ...} и множества нечетных чисел {1, 3, 5, 7, 9, 11, .. .}, поскольку 9 не является простым числом.

Пересекающиеся и непересекающиеся множества

Мы говорим, что ${\displaystyle A}$пересекается (встречается), ${\displaystyle B}$ если существует элемент, являющийся элементом обоих, ив этом случае мы также говорим, чтопересекается (встречается) в точке . Эквивалентно,пересекается, если их пересечениеявляется обитаемым множеством , а это означает, что существуюттакие, что ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\cap B}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\in A\cap B.}$

Мы говорим, что и не пересекаются , если не пересекаются. Говоря простым языком, у них нет общих элементов. и не пересекаются, если их пересечение пусто , обозначаемое ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\cap B=\varnothing .}$

Например, множества и не пересекаются, а множество четных чисел пересекает множество кратных 3 в точках, кратных 6. ${\displaystyle \{1,2\}}$ ${\displaystyle \{3,4\}}$

Алгебраические свойства

Бинарное пересечение — это ассоциативная операция; то есть для любых множеств и одного ${\displaystyle A,B,}$ ${\displaystyle C,}$

$${\displaystyle A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C.}$$

коммутативно ${\displaystyle A\cap B\cap C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B,}$

$${\displaystyle A\cap B=B\cap A.}$$

пустым набором ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle A\cap \varnothing =\varnothing }$$

идемпотентналогической конъюнкции ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\cap A=A}$

Пересечение распределяется по объединению , а объединение распределяется по пересечению. То есть для любых множеств и одного ${\displaystyle A,B,}$ ${\displaystyle C,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\\A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\end{aligned}}}$$

дополнениеихзаконов Де Моргана ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle A^{c}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

$${\displaystyle A\cap B=\left(A^{c}\cup B^{c}\right)^{c}}$$

Произвольные перекрестки

Наиболее общее понятие — пересечение произвольного непустого набора множеств. Если — непустое множество, элементы которого сами являются множествами, то оно является элементом пересечения тогда и только тогда, когда для каждого элемента из есть элемент символов In: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A.}$

$${\displaystyle \left(x\in \bigcap _{A\in M}A\right)\Leftrightarrow \left(\forall A\in M,\ x\in A\right).}$$

Обозначения этого последнего понятия могут значительно различаться. Теоретики множеств иногда пишут " ", а другие вместо этого пишут " ". Последнее обозначение можно обобщить до " ", которое относится к пересечению коллекции. Здесь непустое множество и множество для каждого ${\displaystyle \bigcap M}$ ${\displaystyle {\bigcap }_{A\in M}A}$ ${\displaystyle {\bigcap }_{i\in I}A_{i}}$ ${\displaystyle \left\{A_{i}:i\in I\right\}.}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle i\in I.}$

В случае, если набор индексов представляет собой набор натуральных чисел , можно увидеть обозначения, аналогичные обозначениям бесконечного произведения : ${\displaystyle I}$

$${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i}.}$$

Если форматирование затруднительно, это также можно написать " ". Последний пример — пересечение счетного числа множеств — на самом деле очень распространен; пример см. в статье об σ-алгебрах . ${\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap \cdots }$

Нулевое пересечение

Союзы аргументов в скобках.

Союз без аргумента является тавтологией (ср.: пустой продукт ); соответственно, пересечение какого-либо множества и есть Вселенная .

В предыдущем разделе мы исключили случай, когда множество было пустым ( ). Причина в следующем: пересечение коллекции определяется как множество (см. обозначение set-builder ). ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle M}$

$${\displaystyle \bigcap _{A\in M}A=\{x:{\text{ for all }}A\in M,x\in A\}.}$$

всевозможнымпустой истиныуниверсальным множествомединичным элементом^[4]ZF ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$

Однако, если ограничиться контекстом подмножеств данного фиксированного множества , понятие пересечения пустой коллекции подмножеств четко определено. В этом случае, если пусто, его пересечение равно . Поскольку все они формально удовлетворяют требуемому условию, пересечение пустой коллекции подмножеств - это все формулы In. Это соответствует интуитивному предположению, что по мере того, как коллекции подмножеств становятся меньше, их соответствующие пересечения становятся больше; в крайнем случае пустая коллекция имеет пересечение, равное всему базовому набору. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \bigcap M=\bigcap \varnothing =\{x\in X:x\in A{\text{ for all }}A\in \varnothing \}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \bigcap \varnothing =X.}$

Кроме того, в теории типов существует предписанный тип, поэтому считается, что пересечение имеет тип (тип множеств, элементы которых находятся в ), и мы можем определить его как универсальное множество (множество, элементы которого являются в точности всеми терминами из ). тип ). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \tau ,}$ ${\displaystyle \mathrm {set} \ \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \bigcap _{A\in \emptyset }A}$ ${\displaystyle \mathrm {set} \ \tau }$ ${\displaystyle \tau }$

Смотрите также

• Алгебра множеств  - Тождества и отношения с участием множеств.
• Кардинальность  - определение количества элементов в наборе.
• Дополнение  - набор элементов, не входящих в данное подмножество.
• Пересечение (евклидова геометрия)  - форма, образованная из точек, общих для других фигур.Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Граф пересечений  - график, представляющий пересечения между заданными множествами.
• Теория пересечений  - Раздел алгебраической геометрии.
• Список тождеств и отношений множеств  . Равенства для комбинаций множеств.
• Логический союз  – Логическая связка И
• MinHash  — техника интеллектуального анализа данных
• Наивная теория множеств  - Неформальные теории множеств
• Симметричная разница  - элементы ровно в одном из двух наборов.
• Объединение  — набор элементов в любом из нескольких наборов.

Рекомендации

1. «Пересечение множеств». web.mnstate.edu . Архивировано из оригинала 04 августа 2020 г. Проверено 4 сентября 2020 г.
2. «Статистика: правила вероятности» . People.richland.edu . Проверено 8 мая 2012 г.
3. «Операции над множествами | Союз | Пересечение | Дополнение | Разница | Взаимоисключающие | Разделы | Закон де Моргана | Распределительный закон | Декартово произведение». www.probabilitycourse.com . Проверено 4 сентября 2020 г.
4. Меггинсон, Роберт Э. (1998). "Глава 1". Введение в теорию банахового пространства . Тексты для аспирантов по математике . Том. 183. Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. хх+596. ISBN 0-387-98431-3.

дальнейшее чтение

• Девлин, К.Дж. (1993). Радость множеств: основы современной теории множеств (второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-94094-4.
• Манкрес, Джеймс Р. (2000). «Теория множеств и логика». Топология (Второе изд.). Река Аппер-Седл: Прентис-Холл. ISBN 0-13-181629-2.
• Розен, Кеннет (2007). «Базовые структуры: множества, функции, последовательности и суммы». Дискретная математика и ее приложения (Шестое изд.). Бостон: МакГроу-Хилл. ISBN 978-0-07-322972-0.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Пересечение». Математический мир .