Эвольвента

Кривая, очерченная строкой, отделенной от другой кривой

Две развертки (красные) параболы

В математике эвольвента (также известная как эвольвента ) — это особый тип кривой , который зависит от другой формы или кривой. Эвольвента кривой — это геометрическое положение точки на куске натянутой струны, когда струна либо разматывается, либо оборачивается вокруг кривой. ^[1]

Эволюта эвольвенты - это исходная кривая.

Оно обобщается семейством кривых рулетки . То есть эвольвенты кривой — это рулетки кривой, порожденные прямой линией.

Понятия эвольвенты и эволюты кривой были введены Христианом Гюйгенсом в его работе под названием « Horologium oscillatorium sive de motu pendulorum ad horologia aptatoдемонстрировать геометрические» (1673), где он показал, что эвольвента циклоиды все еще является циклоидой, что обеспечивает метод построения циклоидального маятника , который обладает тем полезным свойством, что его период не зависит от амплитуды колебаний. ^[2]

Развертка параметризованной кривой

Пусть – регулярная кривая на плоскости с кривизной нигде 0 и , тогда кривая с параметрическим представлением ${\displaystyle {\vec {c}}(t),\;t\in [t_{1},t_{2}]}$ ${\displaystyle a\in (t_{1},t_{2})}$

${\displaystyle {\vec {C}}_{a}(t)={\vec {c}}(t)-{\frac {{\vec {c}}'(t)}{|{\vec {c}}'(t)|}}\;\int _{a}^{t}|{\vec {c}}'(w)|\;dw}$

является эвольвентой данной кривой.

Добавление произвольного, но фиксированного числа к интегралу приводит к получению эвольвенты, соответствующей натянутой на него веревке (например, клубку шерстяной пряжи , у которого уже висит некоторая длина нити до того, как ее размотают). Следовательно, эвольвенту можно варьировать, изменяя константу и/или добавляя к интегралу число (см. Эвольвенты полукубической параболы). ${\displaystyle l_{0}}$ ${\displaystyle {\Bigl (}\int _{a}^{t}|{\vec {c}}'(w)|\;dw{\Bigr )}}$ ${\displaystyle l_{0}}$ ${\displaystyle a}$

Если кто-то получит ${\displaystyle {\vec {c}}(t)=(x(t),y(t))^{T}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}X(t)&=x(t)-{\frac {x'(t)}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}\int _{a}^{t}{\sqrt {x'(w)^{2}+y'(w)^{2}}}\,dw\\Y(t)&=y(t)-{\frac {y'(t)}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}\int _{a}^{t}{\sqrt {x'(w)^{2}+y'(w)^{2}}}\,dw\;.\end{aligned}}}$

Свойства эвольвент

Эвольвента: свойства. Изображенные углы равны 90 градусов.

Для вывода свойств регулярной кривой выгодно считать длину дуги параметром данной кривой, что приводит к следующим упрощениям: и , с кривизной и единичной нормалью. За эвольвенту получаем: ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \;|{\vec {c}}'(s)|=1\;}$ ${\displaystyle \;{\vec {c}}''(s)=\kappa (s){\vec {n}}(s)\;}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle {\vec {n}}}$

${\displaystyle {\vec {C}}_{a}(s)={\vec {c}}(s)-{\vec {c}}'(s)(s-a)\ }$и

${\displaystyle {\vec {C}}_{a}'(s)=-{\vec {c}}''(s)(s-a)=-\kappa (s){\vec {n}}(s)(s-a)\;}$

и заявление:

• В точке эвольвента не является правильной (потому что ), ${\displaystyle {\vec {C}}_{a}(a)}$ ${\displaystyle |{\vec {C}}_{a}'(a)|=0}$

и из следующего: ${\displaystyle \;{\vec {C}}_{a}'(s)\cdot {\vec {c}}'(s)=0\;}$

• Нормалью эвольвенты в точке является касательная данной кривой в точке . ${\displaystyle {\vec {C}}_{a}(s)}$ ${\displaystyle {\vec {c}}(s)}$
• Эвольвенты представляют собой параллельные кривые из-за того , что это нормальная единица измерения при . ${\displaystyle {\vec {C}}_{a}(s)={\vec {C}}_{0}(s)+a{\vec {c}}'(s)}$ ${\displaystyle {\vec {c}}'(s)}$ ${\displaystyle {\vec {C}}_{0}(s)}$

Семейство эвольвент и семейство касательных к исходной кривой составляют ортогональную систему координат . Следовательно, можно построить эвольвенты графически. Сначала нарисуйте семейство касательных линий. Тогда можно построить эвольвенту, всегда оставаясь ортогональной касательной, проходящей через точку.

выступы

Этот раздел основан на. ^[3]

В эвольвентах обычно есть два типа выступов. Первый тип – в точке соприкосновения эвольвенты с самой кривой. Это точка порядка 3/2. Второй тип находится в точке, где кривая имеет точку перегиба. Это точка порядка 5/2.

Визуально это можно увидеть, построив карту, определяемую ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}}$

$${\displaystyle (s,t)\mapsto (x(s)+t\cos(\theta ),y(s)+t\sin(\theta ),t)}$$

гиперболоид из одного листа ${\displaystyle (x(s),y(s))}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle (x(s),y(s))}$

С помощью этой карты эвольвенты получаются в трехэтапном процессе: сопоставляются с , затем с поверхностью в , затем проецируются вниз до путем удаления оси z: ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

$${\displaystyle s\mapsto (s,l-s)\mapsto f(s,l-s)\mapsto (f(s,l-s)_{x},f(s,l-s)_{y})}$$

${\displaystyle l}$

Поскольку отображение вообще имеет ненулевую производную , точки возврата эвольвенты могут возникать только там, где производная вертикальна (параллельна оси z), что может происходить только там, где поверхность имеет вертикальную касательную плоскость. ${\displaystyle s\mapsto f(s,l-s)}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle s\mapsto f(s,l-s)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Как правило, поверхность имеет вертикальные касательные плоскости только в двух случаях: когда поверхность касается кривой и когда кривая имеет точку перегиба.

острие порядка 3/2

Для первого типа можно начать с развертки окружности с уравнения

$${\displaystyle {\begin{aligned}X(t)&=r(\cos t+(t-a)\sin t)\\Y(t)&=r(\sin t-(t-a)\cos t)\end{aligned}}}$$

${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}X(t)&=r+rt^{2}/2+O(t^{4})\\Y(t)&=rt^{3}/3+O(t^{5})\end{aligned}}}$$

полукубическую параболу ${\displaystyle Y^{2}-{\frac {8}{9r}}(X-r)^{3}+O(Y^{8/3})=0}$

острие порядка 5/2

Касательные и развертки кубической кривой . Пункты возврата порядка 3/2 находятся на кубической кривой, а точки возврата порядка 5/2 — на оси x (касательной линии в точке перегиба). ${\displaystyle y=x^{3}}$

Для второго типа рассмотрим кривую . Дуга от до имеет длину , а касательная при имеет угол . Таким образом, эвольвента, начинающаяся с расстояния, имеет параметрическую формулу ${\displaystyle y=x^{3}}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=s}$ ${\displaystyle \int _{0}^{s}{\sqrt {1+(3t^{2})^{2}}}dt=s+{\frac {9}{10}}s^{5}-{\frac {9}{8}}s^{9}+O(s^{13})}$ ${\displaystyle x=s}$ ${\displaystyle \theta =\arctan(3s^{2})}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle L}$

$${\displaystyle {\begin{cases}x(s)=s+(L-s-{\frac {9}{10}}s^{5}+\cdots )\cos \theta \\y(s)=s^{3}+(L-s-{\frac {9}{10}}s^{5}+\cdots )\sin \theta \end{cases}}}$$

${\displaystyle s^{5}}$

$${\displaystyle {\begin{cases}x(s)=L-{\frac {9}{2}}Ls^{4}+({\frac {9}{2}}L-{\frac {9}{10}})s^{5}+O(s^{6})\\y(s)=3Ls^{2}-2s^{3}+O(s^{6})\end{cases}}}$$

${\displaystyle x,y}$

$${\displaystyle \left(x-L+{\frac {y^{2}}{2L}}\right)^{2}-\left({\frac {9}{2}}L+{\frac {51}{10}}\right)^{2}\left({\frac {y}{3L}}\right)^{5}+O(s^{11})=0}$$

$${\displaystyle x=L-{\frac {y^{2}}{2L}}\pm \left({\frac {9}{2}}L+{\frac {51}{10}}\right)\left({\frac {y}{3L}}\right)^{2.5}+O(y^{2.75}),\quad \quad y\geq 0}$$

Положив , получим эвольвенту, проходящую начало координат. Он особенный, поскольку не содержит точки возврата. При последовательном разложении он имеет параметрическое уравнение ${\displaystyle L=0}$

$${\displaystyle {\begin{cases}x(s)={\frac {18}{5}}s^{5}-{\frac {126}{5}}s^{9}+O(s^{13})\\y(s)=-2s^{3}+{\frac {54}{5}}s^{7}-{\frac {318}{5}}s^{11}+O(s^{15})\end{cases}}}$$

${\displaystyle x=-{\frac {18}{5\cdot 2^{1/3}}}y^{5/3}+O(y^{3})}$

Примеры

Эвольвенты круга

Эвольвенты круга

Для круга с параметрическим представлением имеем . Следовательно , и длина пути равна . ${\displaystyle (r\cos(t),r\sin(t))}$ ${\displaystyle {\vec {c}}'(t)=(-r\sin t,r\cos t)}$ ${\displaystyle |{\vec {c}}'(t)|=r}$ ${\displaystyle r(t-a)}$

Оценивая приведенное выше уравнение эвольвенты, получаем

${\displaystyle {\begin{aligned}X(t)&=r(\cos(t+a)+t\sin(t+a))\\Y(t)&=r(\sin(t+a)-t\cos(t+a))\end{aligned}}}$

для параметрического уравнения развертки окружности.

Этот термин не является обязательным; он служит для установки начального положения кривой на окружности. На рисунке показаны эвольвенты (зеленый), (красный), (фиолетовый) и (голубой). Эвольвенты выглядят как спирали Архимеда , но на самом деле это не так. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a=-0.5}$ ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle a=0.5}$ ${\displaystyle a=1}$

Длина дуги для и эвольвенты равна ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle 0\leq t\leq t_{2}}$

${\displaystyle L={\frac {r}{2}}t_{2}^{2}.}$

Развертки полукубической параболы (синие). Только красная кривая является параболой. Обратите внимание, как эвольвенты и касательные составляют ортогональную систему координат. Это общий факт.

Эвольвенты полукубической параболы

Параметрическое уравнение описывает полукубическую параболу . Из одного попадает и . Расширение строки значительно упрощает дальнейшие вычисления, и можно получить ${\displaystyle {\vec {c}}(t)=({\tfrac {t^{3}}{3}},{\tfrac {t^{2}}{2}})}$ ${\displaystyle {\vec {c}}'(t)=(t^{2},t)}$ ${\displaystyle |{\vec {c}}'(t)|=t{\sqrt {t^{2}+1}}}$ ${\displaystyle \int _{0}^{t}w{\sqrt {w^{2}+1}}\,dw={\frac {1}{3}}{\sqrt {t^{2}+1}}^{3}-{\frac {1}{3}}}$ ${\displaystyle l_{0}={1 \over 3}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}X(t)&=-{\frac {t}{3}}\\Y(t)&={\frac {t^{2}}{6}}-{\frac {1}{3}}.\end{aligned}}}$

Исключение t дает понять, что эта эвольвента является параболой . ${\displaystyle Y={\frac {3}{2}}X^{2}-{\frac {1}{3}},}$

Таким образом, остальные эвольвенты представляют собой параллельные кривые параболы, а не параболы, поскольку они являются кривыми шестой степени (см. § Дополнительные примеры «Параллельная кривая »).

Красный разворот цепной линии (синий) - это трактриса.

Развертки контактной сети

Для цепной линии касательный вектор равен , а его длина равна . Таким образом, длина дуги из точки (0, 1) равна ${\displaystyle (t,\cosh t)}$ ${\displaystyle {\vec {c}}'(t)=(1,\sinh t)}$ ${\displaystyle 1+\sinh ^{2}t=\cosh ^{2}t,}$ ${\displaystyle |{\vec {c}}'(t)|=\cosh t}$ ${\displaystyle \textstyle \int _{0}^{t}\cosh w\,dw=\sinh t.}$

Следовательно, эвольвента, начиная с (0, 1), параметризуется выражением

${\displaystyle (t-\tanh t,1/\cosh t),}$

и, таким образом, является трактрисом .

Остальные эвольвенты не являются трактрисами, поскольку представляют собой параллельные кривые трактрисы.

Эвольвенты циклоиды

Эвольвенты циклоиды (синие): только красная кривая — еще одна циклоида.

Параметрическое представление описывает циклоиду . Из получаем (после использования некоторых тригонометрических формул) ${\displaystyle {\vec {c}}(t)=(t-\sin t,1-\cos t)}$ ${\displaystyle {\vec {c}}'(t)=(1-\cos t,\sin t)}$

${\displaystyle |{\vec {c}}'(t)|=2\sin {\frac {t}{2}},}$

и

${\displaystyle \int _{\pi }^{t}2\sin {\frac {w}{2}}\,dw=-4\cos {\frac {t}{2}}.}$

Следовательно, уравнения соответствующей эвольвенты имеют вид

${\displaystyle X(t)=t+\sin t,}$

${\displaystyle Y(t)=3+\cos t,}$

которые описывают сдвинутую красную циклоиду диаграммы. Следовательно

• Эвольвенты циклоиды представляют собой параллельные кривые циклоиды. ${\displaystyle (t-\sin t,1-\cos t)}$

${\displaystyle (t+\sin t,3+\cos t).}$

(Параллельные кривые циклоиды не являются циклоидами.)

Эволюция и эволюция

Эволюта данной кривой состоит из центров кривизны . Между эвольвентами и эволютами справедливо следующее утверждение: ^{[4] [5]} ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle c_{0}}$

Кривая — это эволюта любой из своих эвольвент.

Эволюция и эволюция

• 
  Tractrix (красный) как развертка контактной сети
• 
  Эволюта трактрисы - это цепная связь.

Приложение

Наиболее распространенными профилями современных зубьев шестерен являются развертки круга. В эвольвентной системе шестерен зубья двух зацепляющихся шестерен контактируют в одной мгновенной точке, которая следует по одной прямой линии действия. Силы, с которыми контактирующие зубы действуют друг на друга, также следуют этой линии и перпендикулярны зубам. Эвольвентная система передач, поддерживающая эти условия, следует основному закону зубчатой ​​передачи: соотношение угловых скоростей между двумя шестернями должно оставаться постоянным во всем.

При использовании зубьев другой формы относительные скорости и силы увеличиваются и уменьшаются по мере зацепления последующих зубьев, что приводит к вибрации, шуму и чрезмерному износу. По этой причине почти все современные плоские зубчатые передачи являются либо эвольвентными, либо связанными с ними циклоидальными зубчатыми передачами. ^[6]

Механизм спирального компрессора

Эвольвента круга также является важной формой при сжатии газа , поскольку на основе этой формы можно построить спиральный компрессор . Спиральные компрессоры издают меньше шума, чем обычные компрессоры, и оказались весьма эффективными .

В изотопном реакторе с высоким потоком используются топливные элементы эвольвентной формы, поскольку между ними имеется канал постоянной ширины для теплоносителя.

Смотрите также

• Конверт (математика)
• Эволюция
• Проблема выпаса коз
• Эвольвентная передача
• Рулетка (кривая)
• Спиральный компрессор

Рекомендации

1. Раттер, JW (2000). Геометрия кривых. ЦРК Пресс. стр. 204. ISBN. 9781584881667.
2. Макклири, Джон (2013). Геометрия с дифференцируемой точки зрения . Издательство Кембриджского университета. стр. 89. ISBN 9780521116077.
3. Арнольд, VI (1990). Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук: пионеры математического анализа и теории катастроф от эвольвент до квазикристаллов. Базель: Биркхаузер Верлаг. ISBN 0-8176-2383-3. ОСЛК  21873606.
4. К. Бург, Х. Хаф, Ф. Вилле, А. Мейстер: Векторный анализ: Höhere Mathematik für Ingenieure, Naturwissenschaftler und ... , Springer-Verlag, 2012, ISBN 3834883468 , S. 30. 
5. Р. Курант: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung, 1. Band , Springer-Verlag, 1955, S. 267.
6. VGA Goss (2013) «Применение аналитической геометрии к форме зубьев шестерен», Resonance 18 (9): от 817 до 31 Springerlink (требуется подписка).

Внешние ссылки

• Эвольвента в MathWorld