Инволюция (математика)

Инволюция — это функция $f : X \to X$ , которая при двойном применении возвращает нас в исходную точку.

В математике инволюция , инволютивная функция или самообратная функция ^[1] — это функция $f$ , которая является сама себе обратной ,

ф (ф (х)) = х

для всех $x$ в области определения f $.$ [ ^2] Эквивалентно, применение $f$ дважды дает исходное значение.

Общие свойства

Любая инволюция является биекцией .

Тождественное отображение является тривиальным примером инволюции. Примерами нетривиальных инволюций являются отрицание ( $x \mapsto - x$ ), взаимное движение ( $x \mapsto 1/ x$ ) и комплексное сопряжение ( $z \mapsto z$ ) в арифметике ; отражение , поворот на пол-оборота и инверсия окружности в геометрии ; дополнение в теории множеств ; и взаимные шифры , такие как преобразование ROT13 и полиалфавитный шифр Бофорта .

Композиция $g$ $\circ$ $f$ двух инволюций $f$ и $g$ является инволюцией тогда и только тогда, когда они коммутируют : g $\circ$ $f$ $=$ $f$ $\circ$ $g$ $.$ [ ^3]

Инволюции на конечных множествах

Число инволюций, включая тождественную инволюцию, на множестве с $n = 0, 1, 2, ...$ элементами задается рекуррентным соотношением, найденным Генрихом Августом Роте в 1800 году:

а_{0}=а_{1}=1

и для

a_{n}=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}

n>1.

Первые несколько членов этой последовательности — 1 , 1, 2 , 4 , 10 , 26 , 76 , 232 (последовательность A000085 в OEIS ); эти числа называются телефонными номерами , и они также подсчитывают количество таблиц Юнга с заданным количеством ячеек. ^[4] Число $a n$ также может быть выражено нерекурсивными формулами, такими как сумма $a_{n}=\sum _{m=0}^{\lfloor {\frac {n}{2}}\rfloor }{\frac {n!}{2^{m}m!(n-2m)!}}.$

Число неподвижных точек инволюции на конечном множестве и число ее элементов имеют одинаковую четность . Таким образом, число неподвижных точек всех инволюций на данном конечном множестве имеет одинаковую четность. В частности, каждая инволюция на нечетном числе элементов имеет по крайней мере одну неподвижную точку . Это можно использовать для доказательства теоремы Ферма о двух квадратах . ^[5]

Инволюция в областях математики

Действительные функции

График инволюции (действительных чисел) симметричен относительно прямой $y$ $=$ $x$ . Это связано с тем, что обратная функция любой общей функции будет ее отражением относительно прямой $y$ $=$ $x$ . Это можно увидеть, «поменяв местами» $x$ и $y$ . Если, в частности, функция является инволюцией , то ее график является ее собственным отражением. Некоторые основные примеры инволюций включают функции Они могут быть составлены различными способами для получения дополнительных инволюций. Например, если $a$ $= 0$ и $b$ $= 1 ,$ то является инволюцией, и в более общем случае функция является инволюцией для констант $b$ и $c$ , которые удовлетворяют $bc$ $\neq -1$ . (Это самообратное подмножество преобразований Мёбиуса с $a$ $= -$ $d$ , затем нормализованное к $a$ $= 1$ .) ${\begin{alignedat}{1}f_{1}(x)&=ax,\\f_{2}(x)&={\frac {b}{x}},\\f_{3}(x)&={\frac {x}{cx-1}},\\\end{alignedat}}$ $f_{4}(x):=(f_{1}\circ f_{2})(x)=(f_{2}\circ f_{1})(x)=-{\frac {1}{x}}$ $g(x)={\frac {x+b}{cx-1}}$

Другие нелинейные примеры можно построить, обернув инволюцию $g$ в произвольную функцию $h$ и ее обратную, получив , например: $f:=h^{-1}\circ g\circ h$ ${\begin{alignedat}{3}f(x)&={\sqrt {1-x^{2}}}&g(x)&=1-x&h(x)&=x^{2},\\f(x)&=\ln \left({\frac {e^{x}+1}{e^{x}-1}}\right)&g(x)&={\frac {x+1}{x-1}}&h(x)&=e^{x},\\f(x)&=\exp \left({\frac {1}{\ln x}}\right)&g(x)&={\frac {1}{x}}&h(x)&=\ln x,\\f(x)&={\frac {x}{\sqrt {x^{2}-1}}}&\qquad g(x)&={\frac {x}{x-1}}&\quad h(x)&=x^{2}.\end{alignedat}}$

Другие элементарные инволюции полезны при решении функциональных уравнений .

Евклидова геометрия

Простым примером инволюции трехмерного евклидова пространства является отражение относительно плоскости . Выполнение отражения дважды возвращает точку к ее исходным координатам.

Другая инволюция — это отражение через начало ; это не отражение в указанном выше смысле, а, следовательно, особый пример.

Эти преобразования являются примерами аффинных инволюций .

Проективная геометрия

Инволюция — это проективность периода 2, то есть проективность, которая меняет местами пары точек. ^[6]^{: 24}

Любая проективность, меняющая местами две точки, является инволюцией.
Три пары противоположных сторон полного четырехугольника пересекают любую линию (не проходящую через вершину) в трех парах инволюции. Эта теорема была названа теоремой Дезарга об инволюции. ^[7] Ее истоки можно увидеть в Лемме IV лемм к Поризмам Евклида в томе VII Собрания Паппа Александрийского . [ ^8]
Если инволюция имеет одну неподвижную точку , она имеет и другую, и состоит из соответствия между гармоническими сопряжениями относительно этих двух точек. В этом случае инволюция называется «гиперболической», а если неподвижных точек нет, то она «эллиптической». В контексте проективностей неподвижные точки называются двойными точками . ^[6]^{: 53}

Другой тип инволюции, встречающийся в проективной геометрии, — это полярность , которая является корреляцией периода 2. ^[9]

Линейная алгебра

В линейной алгебре инволюция — это линейный оператор $T$ в векторном пространстве, такой, что $T 2 = I$ . За исключением характеристики 2, такие операторы диагонализируемы для заданного базиса с всего лишь $1$ s и $-1$ s на диагонали соответствующей матрицы. Если оператор ортогонален ( ортогональная инволюция ), он ортонормально диагонализуем.

Например, предположим, что выбран базис для векторного пространства $V , и что$ $e 1$ и $e 2$ являются базисными элементами. Существует линейное преобразование $f,$ которое переводит $e 1$ в $e 2$ , а $e 2$ в $e 1$ , и это тождественно для всех других базисных векторов. Можно проверить, что $f (f (x)) = x$ для всех $x$ в $V$ . То есть, $f$ является инволюцией $V$ .

Для определенного базиса любой линейный оператор может быть представлен матрицей T $.$ Каждая матрица имеет транспонирование , полученное путем замены строк на столбцы. Это транспонирование является инволюцией на множестве матриц. Поскольку поэлементное комплексное сопряжение является независимой инволюцией, сопряженное транспонирование или эрмитово сопряжение также является инволюцией.

Определение инволюции легко распространяется на модули . Для данного модуля $M$ над кольцом $R$ эндоморфизм $f$ $кольца$ M называется инволюцией, если f $2$ $является$ $тождественным$ гомоморфизмом на $M.$

Инволюции связаны с идемпотентами : если $2$ обратим, то они соответствуют друг другу.

В функциональном анализе банаховы *-алгебры и C*-алгебры являются специальными типами банаховых алгебр с инволюциями.

Кватернионная алгебра, группы, полугруппы

В кватернионной алгебре (анти)инволюция определяется следующими аксиомами: если мы рассматриваем преобразование , то оно является инволюцией, если $x\mapsto f(x)$

$f(f(x))=x$ (это его собственная инверсия)
$f(x_{1}+x_{2})=f(x_{1})+f(x_{2})$ и (он линейный) $f(\лямбда x)=\лямбда f(x)$
$f(x_{1}x_{2})=f(x_{1})f(x_{2})$

Антиинволюция не подчиняется последней аксиоме, а вместо этого

$f(x_{1}x_{2})=f(x_{2})f(x_{1})$

Этот первый закон иногда называют антидистрибутивным . Он также появляется в группах как $(xy) -1 = (y) -1 (x) -1$ . Взятый как аксиома, он приводит к понятию полугруппы с инволюцией , для которой существуют естественные примеры, не являющиеся группами, например, умножение квадратных матриц (т. е. полный линейный моноид ) с транспонированием в качестве инволюции.

Теория колец

В теории колец слово инволюция обычно используется для обозначения антигомоморфизма , который является своей собственной обратной функцией. Примеры инволюций в обычных кольцах:

комплексное сопряжение на комплексной плоскости и его эквивалент в расщепленно-комплексных числах
выполнение транспонирования в кольце матриц.

Теория групп

В теории групп элемент группы является инволюцией, если он имеет порядок 2; то есть инволюция — это элемент $a$ такой, что $a \neq e$ и $a 2 = e$ , где $e$ — единичный элемент . ^[10] Первоначально это определение согласовывалось с первым определением выше, поскольку члены групп всегда были биекциями из множества в себя; то есть под группой понималось группа перестановок . К концу 19-го века группа была определена более широко, и соответственно инволюция тоже .

Перестановка является инволюцией тогда и только тогда, когда ее можно записать в виде конечного произведения непересекающихся транспозиций .

Инволюции группы оказывают большое влияние на структуру группы. Изучение инволюций сыграло важную роль в классификации конечных простых групп .

Элемент $x$ группы $G$ называется строго вещественным , если существует инволюция $t$ с $x t = x -1$ (где $x t = x -1 = t -1 \cdot x \cdot t$ ).

Группы Кокстера — это группы, порожденные множеством $S$ инволюций, подчиняющихся только соотношениям, включающим степени пар элементов $S.$ Группы Кокстера могут использоваться, среди прочего, для описания возможных правильных многогранников и их обобщений на более высокие размерности .

Математическая логика

Операция дополнения в булевых алгебрах является инволюцией. Соответственно, отрицание в классической логике удовлетворяет закону двойного отрицания : $\neg\neg A$ эквивалентно $A$ .

Обычно в неклассических логиках отрицание, удовлетворяющее закону двойного отрицания, называется инволютивным . В алгебраической семантике такое отрицание реализуется как инволюция на алгебре истинностных значений . Примерами логик, имеющих инволютивное отрицание, являются трехзначные логики Клини и Бохвара , многозначная логика Лукасевича , нечеткая логика « инволютивная моноидальная t-нормальная логика » (IMTL) и т. д. Инволютивное отрицание иногда добавляется как дополнительная связка к логикам с неинволютивным отрицанием; это обычно, например, в нечетких логиках t-нормы .

Инволютивность отрицания является важным свойством характеризации для логик и соответствующих разновидностей алгебр . Например, инволютивное отрицание характеризует булевы алгебры среди алгебр Гейтинга . Соответственно, классическая булева логика возникает путем добавления закона двойного отрицания к интуиционистской логике . Та же самая связь сохраняется также между MV-алгебрами и BL-алгебрами (и, соответственно, между логикой Лукасевича и нечеткой логикой BL ), IMTL и MTL , и другими парами важных разновидностей алгебр (соответственно, соответствующих логик).

При изучении бинарных отношений каждое отношение имеет обратное отношение . Поскольку обратное обратному является исходное отношение, операция преобразования является инволюцией в категории отношений . Бинарные отношения упорядочиваются посредством включения . Хотя этот порядок меняется на противоположный с помощью инволюции дополнения , он сохраняется при преобразовании.

Информатика

Побитовая операция XOR с заданным значением для одного параметра является инволюцией по другому параметру. Маски XOR в некоторых случаях использовались для рисования графики на изображениях таким образом, что рисование их дважды на фоне возвращало фон в исходное состояние.

Два особых случая этого, которые также являются инволюциями, — это побитовая операция НЕ , которая является XOR со значением, состоящим из всех единиц, и потоковое шифрование , которое является XOR с секретным потоком ключей .

Это предшествовало двоичным компьютерам; практически все механические шифровальные машины реализуют обратный шифр , инволюцию на каждой набранной букве. Вместо того, чтобы разрабатывать два типа машин, одну для шифрования и одну для дешифрования, все машины могут быть идентичны и могут быть настроены (ключированы) одинаково. ^[11]

Другая инволюция, используемая в компьютерах, — это побитовая перестановка порядка 2. Например, значение цвета, хранящееся в виде целых чисел в форме $(R, G, B)$ , может поменять местами $R$ и $B$ , что приведет к форме $(B, G, R)$ : $f (f (RGB)) = RGB, f (f (BGR)) = BGR$ .

Смотрите также

Ссылки

^ Роберт Александр Адамс, Исчисление: одна переменная , 2006, ISBN 0321307143 , стр. 165
^ Рассел, Бертран (1903), Принципы математики (2-е изд.), WW Norton & Company, Inc., стр. 426, ISBN 9781440054167
^ Кубрусли, Карлос С. (2011), Элементы теории операторов, Springer Science & Business Media, Задача 1.11(a), стр. 27, ISBN 9780817649982.
^ Кнут, Дональд Э. (1973), Искусство программирования , Том 3: Сортировка и поиск , Рединг, Массачусетс: Addison-Wesley, стр. 48, 65, MR 0445948
^ Загир, Д. (1990), «Доказательство одним предложением того, что каждое простое число p ≡ 1 (mod 4) является суммой двух квадратов», American Mathematical Monthly , 97 (2): 144, doi :10.2307/2323918, JSTOR 2323918, MR 1041893.
^ ab AG Pickford (1909) Elementary Projective Geometry, Cambridge University Press через Интернет-архив
^ Дж. В. Филд и Дж. Дж. Грей (1987) Геометрические работы Жирара Дезарга , (Нью-Йорк: Springer), стр. 54
↑ Айвор Томас (редактор) (1980) Избранные работы, иллюстрирующие историю греческой математики , том II, номер 362 в Классической библиотеке Лёба (Кембридж и Лондон: Гарвард и Хайнеманн), стр. 610–613
^ HSM Coxeter (1969) Введение в геометрию , стр. 244–248, John Wiley & Sons
^ Джон С. Роуз. «Курс теории групп». стр. 10, раздел 1.13.
^ Гебель, Грег (2018). «Механизация шифров». Классическая криптология .

Дальнейшее чтение

Элл, Тодд А.; Сангвин, Стивен Дж. (2007). «Инволюции и антиинволюции кватернионов». Компьютеры и математика с приложениями . 53 (1): 137–143. arXiv : math/0506034 . doi :10.1016/j.camwa.2006.10.029. S2CID 45639619.
Кнус, Макс-Альберт; Меркурьев, Александр ; Рост, Маркус ; Тиньоль, Жан-Пьер (1998), Книга инволюций , Colloquium Publications, т. 44, с предисловием Дж. Титса, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 0-8218-0904-0, ЗБЛ 0955.16001
«Инволюция», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]

Внешние ссылки

Медиа, связанные с инволюцией на Wikimedia Commons