Тензорное произведение модулей

Операция, которая соединяет левый и правый 𝑅-модули в абелеву группу

В математике тензорное произведение модулей — это конструкция, которая позволяет проводить рассуждения о билинейных отображениях (например, умножение) в терминах линейных отображений . Конструкция модуля аналогична конструкции тензорного произведения векторных пространств , но может быть выполнена для пары модулей над коммутативным кольцом, приводя к третьему модулю, а также для пары правого модуля и левого модуля над любым кольцом , приводя к абелевой группе . Тензорные произведения важны в областях абстрактной алгебры , гомологической алгебры , алгебраической топологии , алгебраической геометрии , операторных алгебр и некоммутативной геометрии . Универсальное свойство тензорного произведения векторных пространств распространяется на более общие ситуации в абстрактной алгебре. Тензорное произведение алгебры и модуля может быть использовано для расширения скаляров . Для коммутативного кольца тензорное произведение модулей можно итерировать для формирования тензорной алгебры модуля, что позволяет определить умножение в модуле универсальным способом.

Сбалансированный продукт

Для кольца R , правого R -модуля M , левого R -модуля N и абелевой группы G отображение φ : M × N → G называется R -уравновешенным , R -среднелинейным или R -уравновешенным произведением , если для всех m , m ′ из M , n , n ′ из N и r из R выполняются следующие соотношения: ^{[1] : 126} $${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (m,n+n')&=\varphi (m,n)+\varphi (m,n')&&{\text{Dl}}_{\varphi }\\\varphi (m+m',n)&=\varphi (m,n)+\varphi (m',n)&&{\text{Dr}}_{\varphi }\\\varphi (m\cdot r,n)&=\varphi (m,r\cdot n)&&{\text{A}}_{\varphi }\\\end{aligned}}}$$

Множество всех таких сбалансированных произведений над R от M × N до G обозначается _как LR ( M , N ; G ) .

Если φ , ψ являются сбалансированными произведениями, то каждая из операций φ + ψ и − φ , определенная поточечно, является сбалансированным произведением. Это превращает множество L _R ( M , N ; G ) в абелеву группу.

При фиксированных M и N отображение G ↦ _LR ( M , N ; G ) является функтором из категории абелевых групп в себя. Морфологическая часть задается отображением гомоморфизма групп g  : G → G ′ в функцию φ ↦ g ∘ φ , которая идет из LR ( M , N ; G ) в LR ₍ M , _N ; G ′ ) .

Замечания

1. Свойства (Dl) и (Dr) выражают биаддитивность φ , которую можно рассматривать как дистрибутивность φ по сложению .
2. Свойство (A) напоминает некоторое ассоциативное свойство φ .
3. Каждое кольцо R является R - бимодулем . Поэтому кольцевое умножение ( r , r ′) ↦ r ⋅ r ′ в R является R - сбалансированным произведением R × R → R.

Определение

Для кольца R , правого R -модуля M , левого R -модуля N тензорное произведение над R является абелевой группой вместе со сбалансированным произведением (как определено выше), которое универсально в следующем смысле: ^[2] $${\displaystyle M\otimes _{R}N}$$ $${\displaystyle \otimes :M\times N\to M\otimes _{R}N}$$

Для каждой абелевой группы G и каждого сбалансированного произведения существует единственный гомоморфизм групп, такой что $${\displaystyle f:M\times N\to G}$$ $${\displaystyle {\tilde {f}}:M\otimes _{R}N\to G}$$ $${\displaystyle {\tilde {f}}\circ \otimes =f.}$$

Как и все универсальные свойства , указанное выше свойство определяет тензорное произведение однозначно с точностью до единственного изоморфизма: любая другая абелева группа и сбалансированное произведение с теми же свойствами будут изоморфны M ⊗ _RN и ⊗. Действительно, отображение ⊗ называется каноническим или, более явно: каноническим отображением (или сбалансированным произведением) тензорного произведения. ^[3]

Определение не доказывает существование M ⊗ _RN ; конструкцию см. ниже .

Тензорное произведение также можно определить как представляющий объект для функтора G → LR ₍ M , N ; G ) ; явно это означает, что существует естественный изоморфизм : $${\displaystyle {\begin{cases}\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(M\otimes _{R}N,G)\simeq \operatorname {L} _{R}(M,N;G)\\g\mapsto g\circ \otimes \end{cases}}}$$

Это краткий способ сформулировать свойство универсального отображения, приведенное выше. (Если априори задан этот естественный изоморфизм, то его можно восстановить, взяв и затем отобразив тождественное отображение.) ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle G=M\otimes _{R}N}$

Аналогично, учитывая естественную идентификацию ⁠ ⁠ ${\displaystyle \operatorname {L} _{R}(M,N;G)=\operatorname {Hom} _{R}(M,\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(N,G))}$ , ^[4] можно также определить M ⊗ RN _по формуле $${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(M\otimes _{R}N,G)\simeq \operatorname {Hom} _{R}(M,\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(N,G)).}$$

Это известно как тензорно-гомовое присоединение ; см. также § Свойства.

Для каждого x в M , y в N , записывается

х ⊗ у

для образа ( x , y ) при каноническом отображении ⁠ ⁠ ${\displaystyle \otimes :M\times N\to M\otimes _{R}N}$ . Его часто называют чистым тензором . Строго говоря, правильное обозначение было бы x ⊗ _R y , но здесь принято опускать R . Тогда, сразу из определения, есть соотношения:

Универсальное свойство тензорного произведения имеет следующее важное следствие:

Предложение  —  Каждый элемент из может быть записан неоднозначно как Другими словами, образ из порождает . Более того, если f — функция, определенная на элементах со значениями в абелевой группе G , то f однозначно продолжается до гомоморфизма, определенного в целом , тогда и только тогда, когда является -билинейным по x и y . ${\displaystyle M\otimes _{R}N}$ $${\displaystyle \sum _{i}x_{i}\otimes y_{i},\,x_{i}\in M,y_{i}\in N.}$$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle M\otimes _{R}N}$ ${\displaystyle x\otimes y}$ ${\displaystyle M\otimes _{R}N}$ ${\displaystyle f(x\otimes y)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Доказательство: Для первого утверждения пусть L будет подгруппой , порожденной элементами рассматриваемой формы, а q — фактор-отображением в Q . Имеем: а также ⁠ ⁠ . Следовательно, по части уникальности универсального свойства q = 0. Второе утверждение заключается в том, что для определения гомоморфизма модуля достаточно определить его на порождающем множестве модуля. ${\displaystyle M\otimes _{R}N}$ ${\displaystyle Q=(M\otimes _{R}N)/L}$ ${\displaystyle 0=q\circ \otimes }$ ${\displaystyle 0=0\circ \otimes }$ ${\displaystyle \square }$

Применение универсального свойства тензорных произведений

Определение того, равно ли нулю тензорное произведение модулей

На практике иногда сложнее показать, что тензорное произведение R -модулей отлично от нуля, чем показать, что оно равно 0. Универсальное свойство дает удобный способ проверки этого. ${\displaystyle M\otimes _{R}N}$

Чтобы проверить, что тензорное произведение не равно нулю, можно построить R -билинейную карту в абелеву группу, такую, что ⁠ ⁠ . Это работает, потому что если ⁠ ⁠ , то ⁠ ⁠ . ${\displaystyle M\otimes _{R}N}$ ${\displaystyle f:M\times N\rightarrow G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f(m,n)\neq 0}$ ${\displaystyle m\otimes n=0}$ ${\displaystyle f(m,n)={\bar {f}}(m\otimes n)={\bar {(f)}}(0)=0}$

Например, чтобы увидеть, что ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \otimes _{Z}\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ , не равно нулю, возьмем и ⁠ ⁠ . Это говорит о том, что чистые тензоры до тех пор, пока не равно нулю в ⁠ ⁠ . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (m,n)\mapsto mn}$ ${\displaystyle m\otimes n\neq 0}$ ${\displaystyle mn}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$

Для эквивалентных модулей

Предложение гласит, что можно работать с явными элементами тензорных произведений вместо того, чтобы каждый раз напрямую ссылаться на универсальное свойство. Это очень удобно на практике. Например, если R коммутативно, а левое и правое действия R на модулях считаются эквивалентными, то может быть естественным образом снабжено R -скалярным умножением, расширяясь на целое с помощью предыдущего предложения (строго говоря, нужна бимодульная структура, а не коммутативность; см. абзац ниже). Оснащенный этой R -модульной структурой, удовлетворяет универсальному свойству, аналогичному приведенному выше: для любого R -модуля G существует естественный изоморфизм: ${\displaystyle M\otimes _{R}N}$ $${\displaystyle r\cdot (x\otimes y):=(r\cdot x)\otimes y=x\otimes (r\cdot y)}$$ ${\displaystyle M\otimes _{R}N}$ ${\displaystyle M\otimes _{R}N}$ $${\displaystyle {\begin{cases}\operatorname {Hom} _{R}(M\otimes _{R}N,G)\simeq \{R{\text{-bilinear maps }}M\times N\to G\},\\g\mapsto g\circ \otimes \end{cases}}}$$

Если R не обязательно коммутативно, но если M имеет левое действие кольцом S (например, R ), то можно задать структуру левого S -модуля, как выше, по формуле ${\displaystyle M\otimes _{R}N}$ $${\displaystyle s\cdot (x\otimes y):=(s\cdot x)\otimes y.}$$

Аналогично, если N имеет правое действие кольцом S , то становится правым S -модулем. ${\displaystyle M\otimes _{R}N}$

Тензорное произведение линейных отображений и изменение базового кольца

Для данных линейных отображений правых модулей над кольцом R и левых модулей существует единственный групповой гомоморфизм ${\displaystyle f:M\to M'}$ ${\displaystyle g:N\to N'}$ $${\displaystyle {\begin{cases}f\otimes g:M\otimes _{R}N\to M'\otimes _{R}N'\\x\otimes y\mapsto f(x)\otimes g(y)\end{cases}}}$$

Следствием этой конструкции является то, что тензорное умножение является функтором: каждый правый R -модуль M определяет функтор из категории левых модулей в категорию абелевых групп, который переводит N в M ⊗ N , а гомоморфизм модулей f в гомоморфизм групп 1 ⊗ f . $${\displaystyle M\otimes _{R}-:R{\text{-Mod}}\longrightarrow {\text{Ab}}}$$

Если — кольцевой гомоморфизм и если M — правый S -модуль, а N — левый S -модуль, то существует канонический сюръективный гомоморфизм: индуцированный ^[5] ${\displaystyle f:R\to S}$ $${\displaystyle M\otimes _{R}N\to M\otimes _{S}N}$$ $${\displaystyle M\times N{\overset {\otimes _{S}}{\longrightarrow }}M\otimes _{S}N.}$$

Полученное отображение сюръективно, поскольку чистые тензоры x ⊗ y порождают весь модуль. В частности, если взять R как это, то каждое тензорное произведение модулей является частным тензорного произведения абелевых групп. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Несколько модулей

(Этот раздел необходимо обновить. На данный момент см. § Свойства для более общего обсуждения.)

Можно расширить определение до тензорного произведения любого числа модулей над тем же коммутативным кольцом. Например, универсальное свойство

М ₁ ⊗ М ₂ ⊗ М ₃

заключается в том, что каждая трилинейная карта на

М1 × М2 × М3 → Я_​​​

соответствует уникальному линейному отображению

М ₁ ⊗ М ₂ ⊗ М ₃ → Z .

Бинарное тензорное произведение ассоциативно: ( M ₁ ⊗ M ₂ ) ⊗ M ₃ естественно изоморфно M ₁ ⊗ ( M ₂ ⊗ M ₃ ). Тензорное произведение трех модулей, определенное универсальным свойством трилинейных отображений, изоморфно обоим этим итерированным тензорным произведениям.

Характеристики

Модули над общими кольцами

Пусть R ₁ , R ₂ , R ₃ , R — кольца, не обязательно коммутативные.

• Для R ₁ - R ₂ - бимодуля M ₁₂ и левого R ₂ -модуля M ₂₀ является левым R ₁ -модулем . ${\displaystyle M_{12}\otimes _{R_{2}}M_{20}}$
• Для правого R ₂ -модуля M ₀₂ и R ₂ - R ₃ -бимодуля M ₂₃ , является правым R ₃ -модулем. ${\displaystyle M_{02}\otimes _{R_{2}}M_{23}}$
• (ассоциативность) Для правого R ₁ -модуля M ₀₁ , R ₁ - R ₂ -бимодуля M ₁₂ и левого R ₂ -модуля M ₂₀ имеем: ^[6] $${\displaystyle \left(M_{01}\otimes _{R_{1}}M_{12}\right)\otimes _{R_{2}}M_{20}=M_{01}\otimes _{R_{1}}\left(M_{12}\otimes _{R_{2}}M_{20}\right).}$$
• Так как R является R - R -бимодулем, то в качестве его канонического сбалансированного произведения мы имеем кольцевое умножение . ${\displaystyle R\otimes _{R}R=R}$ ${\displaystyle mn=:m\otimes _{R}n}$

Модули над коммутативными кольцами

Пусть R — коммутативное кольцо, а M , N и P — R -модули. Тогда

Личность

$${\displaystyle R\otimes _{R}M=M.}$$

Ассоциативность

$${\displaystyle (M\otimes _{R}N)\otimes _{R}P=M\otimes _{R}(N\otimes _{R}P).}$$ Первые три свойства (плюс тождества на морфизмах) говорят, что категория R -модулей, с R коммутативным, образует симметричную моноидальную категорию . Таким образом, это корректно определено. ${\displaystyle M\otimes _{R}N\otimes _{R}P}$

Симметрия

$${\displaystyle M\otimes _{R}N=N\otimes _{R}M.}$$На самом деле, для любой перестановки σ множества {1, ..., n } существует единственный изоморфизм: $${\displaystyle {\begin{cases}M_{1}\otimes _{R}\cdots \otimes _{R}M_{n}\longrightarrow M_{\sigma (1)}\otimes _{R}\cdots \otimes _{R}M_{\sigma (n)}\\x_{1}\otimes \cdots \otimes x_{n}\longmapsto x_{\sigma (1)}\otimes \cdots \otimes x_{\sigma (n)}\end{cases}}}$$

Распределение по прямым суммам

$${\displaystyle M\otimes _{R}(N\oplus P)=(M\otimes _{R}N)\oplus (M\otimes _{R}P).}$$Фактически, для индексного множества I произвольной мощности . Поскольку конечные произведения совпадают с конечными прямыми суммами, это подразумевает: $${\displaystyle M\otimes _{R}\left(\bigoplus \nolimits _{i\in I}N_{i}\right)=\bigoplus \nolimits _{i\in I}\left(M\otimes _{R}N_{i}\right),}$$

• Распределение по конечным продуктам

  Для любого конечного числа , ${\displaystyle N_{i}}$ $${\displaystyle M\otimes _{R}\prod _{i=1}^{n}N_{i}=\prod _{i=1}^{n}M\otimes _{R}N_{i}.}$$

Расширение базы

Если S является R -алгеброй, то запись , ^[7] см. § Расширение скаляров. Следствие: ${\displaystyle -_{S}=S\otimes _{R}-}$ $${\displaystyle (M\otimes _{R}N)_{S}=M_{S}\otimes _{S}N_{S};}$$

• Распределение по локализации

  Для любого мультипликативно замкнутого подмножества S из R , как -модуля. Поскольку является R -алгеброй и , это частный случай: $${\displaystyle S^{-1}(M\otimes _{R}N)=S^{-1}M\otimes _{S^{-1}R}S^{-1}N}$$ ${\displaystyle S^{-1}R}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$ ${\displaystyle S^{-1}-=S^{-1}R\otimes _{R}-}$

Коммутация с прямыми пределами

Для любой прямой системы R -модулей M _i , $${\displaystyle (\varinjlim M_{i})\otimes _{R}N=\varinjlim (M_{i}\otimes _{R}N).}$$

Присоединение

$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M\otimes _{R}N,P)=\operatorname {Hom} _{R}(M,\operatorname {Hom} _{R}(N,P)){\text{.}}}$$ Следствием этого является:

• Право-вымогательство

  Если — точная последовательность R -модулей, то — точная последовательность R -модулей, где $${\displaystyle 0\to N'{\overset {f}{\to }}N{\overset {g}{\to }}N''\to 0}$$ $${\displaystyle M\otimes _{R}N'{\overset {1\otimes f}{\to }}M\otimes _{R}N{\overset {1\otimes g}{\to }}M\otimes _{R}N''\to 0}$$ ${\displaystyle (1\otimes f)(x\otimes y)=x\otimes f(y).}$

Тензорно-гомовая связь

Существует каноническое R -линейное отображение: , которое является изоморфизмом, если M или P является конечно порождённым проективным модулем (см. § Как отображения, сохраняющие линейность, для некоммутативного случая); ^[8] в более общем случае существует каноническое R -линейное отображение: , которое является изоморфизмом, если M или P является парой конечно порождённых проективных модулей. $${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)\otimes P\to \operatorname {Hom} _{R}(M,N\otimes P),}$$ $${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)\otimes \operatorname {Hom} _{R}(M',N')\to \operatorname {Hom} _{R}(M\otimes M',N\otimes N')}$$ ${\displaystyle (M,N)}$ ${\displaystyle (M,M')}$

Чтобы привести практический пример, предположим, что M , N — свободные модули с базисами и . Тогда M — прямая сумма и то же самое для N . По свойству дистрибутивности имеем: т.е. являются R -базисом . Даже если M не является свободным, свободное представление M может быть использовано для вычисления тензорных произведений. ${\displaystyle e_{i},i\in I}$ ${\displaystyle f_{j},j\in J}$ ${\displaystyle M=\bigoplus _{i\in I}Re_{i}}$ $${\displaystyle M\otimes _{R}N=\bigoplus _{i,j}R(e_{i}\otimes f_{j});}$$ ${\displaystyle e_{i}\otimes f_{j},\,i\in I,j\in J}$ ${\displaystyle M\otimes _{R}N}$

Тензорное произведение, в общем случае, не коммутирует с обратным пределом : с одной стороны, (ср. "примеры"). С другой стороны, где — кольцо целых p-адических чисел и поле целых p-адических чисел . См. также " проконечное целое число " для примера в похожем духе. $${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /p^{n}=0}$$ $${\displaystyle \left(\varprojlim \mathbb {Z} /p^{n}\right)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} =\mathbb {Z} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} =\mathbb {Z} _{p}\left[p^{-1}\right]=\mathbb {Q} _{p}}$$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p},\mathbb {Q} _{p}}$

Если R не коммутативен, порядок тензорных произведений может иметь значение следующим образом: мы «используем» правое действие M и левое действие N для формирования тензорного произведения ⁠ ⁠ ${\displaystyle M\otimes _{R}N}$ ; в частности, даже не будет определено. Если M , N являются бимодулями, то имеет левое действие, исходящее из левого действия M , и правое действие, исходящее из правого действия N ; эти действия не обязательно должны быть такими же, как левое и правое действия ⁠ ⁠ . ${\displaystyle N\otimes _{R}M}$ ${\displaystyle M\otimes _{R}N}$ ${\displaystyle N\otimes _{R}M}$

Ассоциативность имеет место в более общем случае для некоммутативных колец: если M — правый R -модуль, N — ( R , S ) -модуль, а P — левый S -модуль, то как абелева группа. $${\displaystyle (M\otimes _{R}N)\otimes _{S}P=M\otimes _{R}(N\otimes _{S}P)}$$

Общая форма сопряженного отношения тензорных произведений гласит: если R не обязательно коммутативно, M — правый R -модуль, N — ( R , S )-модуль, P — правый S -модуль, то как абелева группа ^[9] где задается соотношением ⁠ ⁠ . $${\displaystyle \operatorname {Hom} _{S}(M\otimes _{R}N,P)=\operatorname {Hom} _{R}(M,\operatorname {Hom} _{S}(N,P)),\,f\mapsto f'}$$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle f'(x)(y)=f(x\otimes y)}$

Тензорное произведениеР-модуль с полем дроби

Пусть R — область целостности с полем дробей K.

• Для любого R -модуля M , как R -модуля, где — подмодуль кручения M . ${\displaystyle K\otimes _{R}M\cong K\otimes _{R}(M/M_{\operatorname {tor} })}$ ${\displaystyle M_{\operatorname {tor} }}$
• Если M является торсионным R -модулем, то , а если M не является торсионным модулем, то ⁠ ⁠ . ${\displaystyle K\otimes _{R}M=0}$ ${\displaystyle K\otimes _{R}M\neq 0}$
• Если N — подмодуль M , такой что — модуль кручения, то в качестве R -модулей будем использовать ⁠ ⁠ . ${\displaystyle M/N}$ ${\displaystyle K\otimes _{R}N\cong K\otimes _{R}M}$ ${\displaystyle x\otimes n\mapsto x\otimes n}$
• В ⁠ ⁠ ${\displaystyle K\otimes _{R}M}$ , тогда и только тогда, когда или ⁠ ⁠ . В частности, где ⁠ ⁠ . ${\displaystyle x\otimes m=0}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle m\in M_{\operatorname {tor} }}$ ${\displaystyle M_{\operatorname {tor} }=\operatorname {ker} (M\to K\otimes _{R}M)}$ ${\displaystyle m\mapsto 1\otimes m}$
• ${\displaystyle K\otimes _{R}M\cong M_{(0)}}$где — локализация модуля в простом идеале (т.е. локализация относительно ненулевых элементов). ${\displaystyle M_{(0)}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (0)}$

Расширение скаляров

Сопряженное отношение в общем виде имеет важный частный случай: для любой R -алгебры S , M - правого R -модуля, P - правого S -модуля, используя ⁠ ⁠ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{S}(S,-)=-}$ , мы имеем естественный изоморфизм: $${\displaystyle \operatorname {Hom} _{S}(M\otimes _{R}S,P)=\operatorname {Hom} _{R}(M,\operatorname {Res} _{R}(P)).}$$

Это говорит о том, что функтор является левым сопряженным к забывающему функтору ⁠ ⁠ , который ограничивает S -действие до R -действия. Из-за этого часто называется расширением скаляров с R на S . В теории представлений , когда R , S являются групповыми алгебрами, указанное выше отношение становится взаимностью Фробениуса . ${\displaystyle -\otimes _{R}S}$ ${\displaystyle \operatorname {Res} _{R}}$ ${\displaystyle -\otimes _{R}S}$

Примеры

• ⁠ ⁠ ${\displaystyle R^{n}\otimes _{R}S=S^{n}}$ , для любой R -алгебры S (т.е. свободный модуль остается свободным после расширения скаляров.)
• Для коммутативного кольца и коммутативной R -алгебры S имеем: фактически, в более общем случае, где — идеал. ${\displaystyle R}$ $${\displaystyle S\otimes _{R}R[x_{1},\dots ,x_{n}]=S[x_{1},\dots ,x_{n}];}$$ $${\displaystyle S\otimes _{R}(R[x_{1},\dots ,x_{n}]/I)=S[x_{1},\dots ,x_{n}]/IS[x_{1},\dots ,x_{n}],}$$ ${\displaystyle I}$
• Используя предыдущий пример ${\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)}$ и китайскую теорему об остатках , мы имеем кольца Это дает пример, когда тензорное произведение является прямым произведением . $${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} =\mathbb {C} [x]/(x^{2}+1)=\mathbb {C} [x]/(x+i)\times \mathbb {C} [x]/(x-i)=\mathbb {C} ^{2}.}$$
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} [i]=\mathbb {R} [i]=\mathbb {C} }$ .

Примеры

Структура тензорного произведения вполне обычных модулей может быть непредсказуемой.

Пусть G — абелева группа, в которой каждый элемент имеет конечный порядок (то есть G — абелева группа кручения ; например, G может быть конечной абелевой группой или ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ ). Тогда: ^[10] $${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }G=0.}$$

Действительно, любой имеет вид ${\displaystyle x\in \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }G}$ $${\displaystyle x=\sum _{i}r_{i}\otimes g_{i},\qquad r_{i}\in \mathbb {Q} ,g_{i}\in G.}$$

Если это порядок ⁠ ⁠ , то мы вычисляем: ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle g_{i}}$ $${\displaystyle x=\sum (r_{i}/n_{i})n_{i}\otimes g_{i}=\sum r_{i}/n_{i}\otimes n_{i}g_{i}=0.}$$

Аналогично, можно увидеть $${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} /\mathbb {Z} =0.}$$

Вот некоторые тождества, полезные для вычислений: Пусть R — коммутативное кольцо, I , J — идеалы, M , N — R -модули. Тогда

1. ⁠ ⁠ ${\displaystyle R/I\otimes _{R}M=M/IM}$ . Если M плоский , ⁠ ⁠ . ^{[доказательство 1} ] ${\displaystyle IM=I\otimes _{R}M}$
2. ${\displaystyle M/IM\otimes _{R/I}N/IN=M\otimes _{R}N\otimes _{R}R/I}$(потому что тензорное преобразование коммутирует с базовыми расширениями)
3. ⁠ ⁠ ${\displaystyle R/I\otimes _{R}R/J=R/(I+J)}$ . ^{[доказательство 2]}

Пример: Если G — абелева группа, ⁠ ⁠ ${\displaystyle G\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /n=G/nG}$ ; это следует из 1.

Пример: ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /m=\mathbb {Z} /{\gcd(n,m)}}$ ; это следует из 3. В частности, для различных простых чисел p , q , $${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \otimes \mathbb {Z} /q\mathbb {Z} =0.}$$

Тензорные произведения можно применять для управления порядком элементов групп. Пусть G — абелева группа. Тогда кратные 2 в равны нулю. $${\displaystyle G\otimes \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$$

Пример: Пусть будет группой корней n-й степени из единицы. Это циклическая группа , а циклические группы классифицируются по порядкам. Таким образом, неканонически, и таким образом, когда g является наибольшим общим делителем n и m , ${\displaystyle \mu _{n}}$ ${\displaystyle \mu _{n}\approx \mathbb {Z} /n}$ $${\displaystyle \mu _{n}\otimes _{\mathbb {Z} }\mu _{m}\approx \mu _{g}.}$$

Пример: Рассмотрим ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} }$ . Так как получается из наложением -линейности на середину, то мы имеем сюръекцию , ядро ​​которой генерируется элементами вида где r , s , x , u являются целыми числами, а s не равно нулю. Так как ядро ​​фактически исчезает; следовательно, ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ $${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \to \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} }$$ ${\displaystyle {r \over s}x\otimes y-x\otimes {r \over s}y}$ $${\displaystyle {r \over s}x\otimes y={r \over s}x\otimes {s \over s}y=x\otimes {r \over s}y,}$$ ${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} =\mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} =\mathbb {Q} }$

Однако рассмотрим и ⁠ ⁠ . Как -векторное пространство, имеет размерность 4, но имеет размерность 2. ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {C} }\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {C} }\mathbb {C} }$

Таким образом, и не изоморфны. ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {C} }\mathbb {C} }$

Пример: Мы предлагаем сравнить и ⁠ ⁠ . Как и в предыдущем примере, мы имеем: как абелеву группу и, таким образом, как ⁠ ⁠ -векторное пространство (любое -линейное отображение между -векторными пространствами является -линейным). Как -векторное пространство, имеет размерность (мощность базиса) континуума . Следовательно, имеет -базис, индексированный произведением континуумов; таким образом, его -размерность равна континууму. Следовательно, по причине размерности, существует неканонический изоморфизм -векторных пространств: ${\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} =\mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ $${\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} \approx \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} .}$$

Рассмотрим модули для неприводимых многочленов, таких что ⁠ ⁠ . Тогда, ${\displaystyle M=\mathbb {C} [x,y,z]/(f),N=\mathbb {C} [x,y,z]/(g)}$ ${\displaystyle f,g\in \mathbb {C} [x,y,z]}$ ${\displaystyle \gcd(f,g)=1}$ $${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(f)}}\otimes _{\mathbb {C} [x,y,z]}{\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(g)}}\cong {\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(f,g)}}}$$

Другое полезное семейство примеров возникает из-за изменения скаляров. Обратите внимание, что $${\displaystyle {\frac {\mathbb {Z} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1},\ldots ,f_{k})}}\otimes _{\mathbb {Z} }R\cong {\frac {R[x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1},\ldots ,f_{k})}}}$$

Хорошими примерами этого явления являются случаи, когда ⁠ ⁠ ${\displaystyle R=\mathbb {Q} ,\mathbb {C} ,\mathbb {Z} /(p^{k}),\mathbb {Z} _{p},\mathbb {Q} _{p}}$ .

Строительство

Конструкция M ⊗ N берет фактор свободной абелевой группы с базисом в виде символов m ∗ n , используемых здесь для обозначения упорядоченной пары ( m , n ) , для m из M и n из N по подгруппе, порожденной всеми элементами вида

1. − м ∗ ( п + п ′) + м ∗ п + м ∗ п ′
2. −( м + м ′) ∗ н + м ∗ н + м ′ ∗ н
3. ( м · р ) ∗ н − м ∗ ( р · н )

где m , m ′ в M , n , n ′ в N , и r в R . Фактор-отображение, которое переводит m ∗ n = ( m , n ) в смежный класс, содержащий m ∗ n ; то есть является сбалансированным, и подгруппа была выбрана минимально, так что это отображение является сбалансированным. Универсальное свойство ⊗ следует из универсальных свойств свободной абелевой группы и фактора. $${\displaystyle \otimes :M\times N\to M\otimes _{R}N,\,(m,n)\mapsto [m*n]}$$

Если S — подкольцо кольца R , то — фактор-группа по подгруппе, порожденной , где — образ под ⁠ ⁠ . В частности, любое тензорное произведение R -модулей может быть построено, если это необходимо, как фактор тензорного произведения абелевых групп, налагая свойство R -сбалансированного произведения. ${\displaystyle M\otimes _{R}N}$ ${\displaystyle M\otimes _{S}N}$ ${\displaystyle xr\otimes _{S}y-x\otimes _{S}ry,\,r\in R,x\in M,y\in N}$ ${\displaystyle x\otimes _{S}y}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle \otimes :M\times N\to M\otimes _{S}N}$

Более категорно-теоретически, пусть σ будет заданным правым действием R на M ; т. е. σ( m , r ) = m · r и τ — левым действием R на N. Тогда, при условии, что тензорное произведение абелевых групп уже определено, тензорное произведение M и N над R можно определить как соуравнитель : где без нижнего индекса относится к тензорному произведению абелевых групп. $${\displaystyle M\otimes R\otimes N{{{} \atop {\overset {\sigma \times 1}{\to }}} \atop {{\underset {1\times \tau }{\to }} \atop {}}}M\otimes N\to M\otimes _{R}N}$$ ${\displaystyle \otimes }$

При построении тензорного произведения над коммутативным кольцом R структура R -модуля может быть построена с самого начала путем формирования фактора свободного R -модуля по подмодулю, порожденному элементами, указанными выше для общей конструкции, дополненными элементами r ⋅ ( m ∗ n ) − m ∗ ( r ⋅ n ) . С другой стороны, общая конструкция может быть задана структурой Z( R )-модуля, путем определения скалярного действия с помощью r ⋅ ( m ⊗ n ) = m ⊗ ( r ⋅ n ), когда это хорошо определено, что в точности соответствует r ∈ Z( R ) , центру R .

Прямое произведение M и N редко изоморфно тензорному произведению M и N. Когда R не является коммутативным, то тензорное произведение требует, чтобы M и N были модулями на противоположных сторонах, в то время как прямое произведение требует, чтобы они были модулями на одной стороне. Во всех случаях единственная функция из M × N в G , которая является как линейной, так и билинейной, — это нулевое отображение.

Как линейные карты

В общем случае не все свойства тензорного произведения векторных пространств распространяются на модули. Однако некоторые полезные свойства тензорного произведения, рассматриваемого как гомоморфизмы модулей , сохраняются.

Двойной модуль

Двойственный модуль правого R -модуля E определяется как Hom _R ( E , R ) с канонической структурой левого R -модуля и обозначается E ^∗ . ^[11] Каноническая структура - это поточечные операции сложения и скалярного умножения. Таким образом, E ^∗ - это множество всех R -линейных отображений E → R (также называемых линейными формами ), с операциями Двойственный к левому R -модулю определяется аналогично, с теми же обозначениями. $${\displaystyle (\phi +\psi )(u)=\phi (u)+\psi (u),\quad \phi ,\psi \in E^{*},u\in E}$$ $${\displaystyle (r\cdot \phi )(u)=r\cdot \phi (u),\quad \phi \in E^{*},u\in E,r\in R,}$$

Всегда существует канонический гомоморфизм E → E ^∗∗ из E во второй его дуальный модуль. Это изоморфизм, если E — свободный модуль конечного ранга. В общем случае E называется рефлексивным модулем , если канонический гомоморфизм является изоморфизмом.

Дуальность спаривания

Обозначим естественное спаривание его двойственного E ^∗ и правого R -модуля E , или левого R -модуля F и его двойственного F ^∗ как Спаривание является левым R -линейным по своему левому аргументу и правым R -линейным по своему правому аргументу: $${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :E^{*}\times E\to R:(e',e)\mapsto \langle e',e\rangle =e'(e)}$$ $${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :F\times F^{*}\to R:(f,f')\mapsto \langle f,f'\rangle =f'(f).}$$ $${\displaystyle \langle r\cdot g,h\cdot s\rangle =r\cdot \langle g,h\rangle \cdot s,\quad r,s\in R.}$$

Элемент как (би)линейное отображение

В общем случае каждый элемент тензорного произведения модулей порождает левое R -линейное отображение, правое R -линейное отображение и R -билинейную форму. В отличие от коммутативного случая, в общем случае тензорное произведение не является R -модулем и, таким образом, не поддерживает скалярное умножение.

• Для данного правого R -модуля E и правого R -модуля F существует канонический гомоморфизм θ  : F ⊗ _R E ^∗ → Hom _R ( E , F ) такой, что θ ( f ⊗ e ′) является отображением e ↦ f ⋅ ⟨ e ′, e ⟩ . ^[12]
• Для левого R -модуля E и правого R -модуля F существует канонический гомоморфизм θ  : F ⊗ _R E → Hom _R ( E ^∗ , F ) такой, что θ ( f ⊗ e ) является отображением e ′ ↦ f ⋅ ⟨ e , e ′⟩ . ^[13]

Оба случая справедливы для общих модулей и становятся изоморфизмами, если модули E и F ограничены конечно порожденными проективными модулями (в частности, свободными модулями конечных рангов). Таким образом, элемент тензорного произведения модулей над кольцом R канонически отображается на R -линейное отображение, хотя, как и в случае векторных пространств, к модулям применяются ограничения, чтобы это было эквивалентно полному пространству таких линейных отображений.

• Для данного правого R -модуля E и левого R -модуля F существует канонический гомоморфизм θ  : F ^∗ ⊗ _R E ^∗ → L _R ( F × E , R ) такой, что θ ( f ′ ⊗ e ′) является отображением ( f , e ) ↦ ⟨ f , f ′⟩ ⋅ ⟨ e ′, e ⟩ . ^{[ необходима цитата ]} Таким образом, элемент тензорного произведения ξ ∈ F ^∗ ⊗ _R E ^∗ можно рассматривать как порождающий или действующий как R -билинейное отображение F × E → R .

След

Пусть R — коммутативное кольцо, а E — R - модуль . Тогда существует каноническое R -линейное отображение: индуцированное через линейность ⁠ ⁠ ; это единственное R -линейное отображение, соответствующее естественному спариванию. $${\displaystyle E^{*}\otimes _{R}E\to R}$$ ${\displaystyle \phi \otimes x\mapsto \phi (x)}$

Если E — конечно порождённый проективный R -модуль, то его можно идентифицировать с помощью канонического гомоморфизма, упомянутого выше, и тогда вышеприведённое является отображением следа : ${\displaystyle E^{*}\otimes _{R}E=\operatorname {End} _{R}(E)}$ $${\displaystyle \operatorname {tr} :\operatorname {End} _{R}(E)\to R.}$$

Когда R — поле, это обычный след линейного преобразования.

Пример из дифференциальной геометрии: тензорное поле

Наиболее ярким примером тензорного произведения модулей в дифференциальной геометрии является тензорное произведение пространств векторных полей и дифференциальных форм. Точнее, если R — (коммутативное) кольцо гладких функций на гладком многообразии M , то следует написать , где Γ означает пространство сечений , а верхний индекс означает тензор p раз по R. По определению, элемент из — это тензорное поле типа ( p , q ). $${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{q}^{p}=\Gamma (M,TM)^{\otimes p}\otimes _{R}\Gamma (M,T^{*}M)^{\otimes q}}$$ ${\displaystyle \otimes p}$ ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{q}^{p}}$

Как R -модуль, является двойственным модулем ⁠ ⁠ . ^[14] ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{p}^{q}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{q}^{p}}$

Чтобы облегчить запись, поместим и так ⁠ ⁠ . ^[15] Когда p , q ≥ 1, для каждого ( k , l ) с 1 ≤ k ≤ p , 1 ≤ l ≤ q , существует R -мультилинейное отображение: где означает , а шляпа означает, что термин опущен. По универсальному свойству это соответствует уникальному R -линейному отображению: ${\displaystyle E=\Gamma (M,TM)}$ ${\displaystyle E^{*}=\Gamma (M,T^{*}M)}$ $${\displaystyle E^{p}\times {E^{*}}^{q}\to {\mathfrak {T}}_{q-1}^{p-1},\,(X_{1},\dots ,X_{p},\omega _{1},\dots ,\omega _{q})\mapsto \langle X_{k},\omega _{l}\rangle X_{1}\otimes \cdots \otimes {\widehat {X_{l}}}\otimes \cdots \otimes X_{p}\otimes \omega _{1}\otimes \cdots {\widehat {\omega _{l}}}\otimes \cdots \otimes \omega _{q}}$$ ${\displaystyle E^{p}}$ ${\displaystyle \prod _{1}^{p}E}$ $${\displaystyle C_{l}^{k}:{\mathfrak {T}}_{q}^{p}\to {\mathfrak {T}}_{q-1}^{p-1}.}$$

Это называется сверткой тензоров в индексе ( k , l ). Разворачивая то, что говорит универсальное свойство, видим: $${\displaystyle C_{l}^{k}(X_{1}\otimes \cdots \otimes X_{p}\otimes \omega _{1}\otimes \cdots \otimes \omega _{q})=\langle X_{k},\omega _{l}\rangle X_{1}\otimes \cdots {\widehat {X_{l}}}\cdots \otimes X_{p}\otimes \omega _{1}\otimes \cdots {\widehat {\omega _{l}}}\cdots \otimes \omega _{q}.}$$

Замечание : Предыдущее обсуждение является стандартным в учебниках по дифференциальной геометрии (например, Helgason). В некотором смысле, конструкция теории пучков (т. е. язык пучка модулей ) является более естественной и все более распространенной; для этого см. раздел § Тензорное произведение пучков модулей.

Связь с плоскими модулями

В общем случае — это бифунктор , который принимает на вход правую и левую пару R- модулей и присваивает их тензорному произведению в категории абелевых групп . $${\displaystyle -\otimes _{R}-:{\text{Mod-}}R\times R{\text{-Mod}}\longrightarrow \mathrm {Ab} }$$

При фиксации правого R- модуля M возникает функтор , и симметрично можно зафиксировать левый R- модуль N , чтобы создать функтор $${\displaystyle M\otimes _{R}-:R{\text{-Mod}}\longrightarrow \mathrm {Ab} }$$ $${\displaystyle -\otimes _{R}N:{\text{Mod-}}R\longrightarrow \mathrm {Ab} .}$$

В отличие от бифунктора Hom, тензорный функтор ковариантен по обоим входам. ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{R}(-,-),}$

Можно показать, что и всегда являются точными справа функторами , но не обязательно точными слева ( ⁠ ⁠ , где первое отображение — умножение на ⁠ ⁠ , является точным, но не после взятия тензора с ). По определению, модуль T является плоским модулем , если — точный функтор. ${\displaystyle M\otimes _{R}-}$ ${\displaystyle -\otimes _{R}N}$ ${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} _{n}\to 0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ ${\displaystyle T\otimes _{R}-}$

Если и являются порождающими множествами для M и N , соответственно, то будет порождающим множеством для Поскольку тензорный функтор иногда не может быть точным слева, это может не быть минимальным порождающим множеством, даже если исходные порождающие множества минимальны. Если M является плоским модулем , функтор является точным по самому определению плоского модуля. Если тензорные произведения берутся над полем F , мы находимся в случае векторных пространств, как указано выше. Поскольку все модули F являются плоскими, бифунктор является точным в обеих позициях, а два заданных порождающих множества являются базисами, то действительно образует базис для ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \{m_{i}\mid i\in I\}}$ ${\displaystyle \{n_{j}\mid j\in J\}}$ ${\displaystyle \{m_{i}\otimes n_{j}\mid i\in I,j\in J\}}$ ${\displaystyle M\otimes _{R}N.}$ ${\displaystyle M\otimes _{R}-}$ ${\displaystyle M\otimes _{R}-}$ ${\displaystyle -\otimes _{R}-}$ ${\displaystyle \{m_{i}\otimes n_{j}\mid i\in I,j\in J\}}$ ${\displaystyle M\otimes _{F}N}$

Дополнительная структура

Если S и T являются коммутативными R -алгебрами, то, аналогично #For эквивалентных модулей, S ⊗ _R T также будет коммутативной R -алгеброй с отображением умножения, определяемым как ( m ₁ ⊗ m ₂ ) ( n ₁ ⊗ n ₂ ) = ( m ₁ n ₁ ⊗ m ₂ n ₂ ) и расширенным по линейности. В этой настройке тензорное произведение становится расслоенным копроизведением в категории коммутативных R -алгебр. (Но оно не является копроизведением в категории R -алгебр.)

Если M и N являются R -модулями над коммутативным кольцом, то их тензорное произведение снова является R -модулем. Если R - кольцо, то _R M - левый R -модуль, а коммутатор

рс − ср

из любых двух элементов r и s из R находится в аннуляторе M , то мы можем превратить M в правый модуль R, установив

г-н = рм .

Действие R на M факторизуется через действие факторкоммутативного кольца. В этом случае тензорное произведение M на себя над R снова является R -модулем. Это очень распространенный прием в коммутативной алгебре.

Обобщение

Тензорное произведение комплексов модулей

Если X , Y являются комплексами R -модулей ( R — коммутативное кольцо), то их тензорное произведение — это комплекс, заданный выражением с дифференциалом, заданным выражением: для x в X _i и y в Y _j , ^[16] $${\displaystyle (X\otimes _{R}Y)_{n}=\sum _{i+j=n}X_{i}\otimes _{R}Y_{j},}$$ $${\displaystyle d_{X\otimes Y}(x\otimes y)=d_{X}(x)\otimes y+(-1)^{i}x\otimes d_{Y}(y).}$$

Например, если C — цепной комплекс плоских абелевых групп, а G — абелева группа, то группа гомологий является группой гомологий C с коэффициентами в G (см. также: теорема об универсальных коэффициентах ). ${\displaystyle C\otimes _{\mathbb {Z} }G}$

Тензорное произведение пучков модулей

Тензорное произведение пучков модулей — это пучок, связанный с предпучком тензорных произведений модулей сечений над открытыми подмножествами.

В этой настройке, например, можно определить тензорное поле на гладком многообразии M как (глобальное или локальное) сечение тензорного произведения (называемого тензорным расслоением ), где O — пучок колец гладких функций на M , а расслоения рассматриваются как локально свободные пучки на M. ^[17 ] $${\displaystyle (TM)^{\otimes p}\otimes _{O}(T^{*}M)^{\otimes q}}$$ ${\displaystyle TM,T^{*}M}$

Внешнее расслоение на M является подрасслоением тензорного расслоения, состоящего из всех антисимметричных ковариантных тензоров. Сечения внешнего расслоения являются дифференциальными формами на M.

Один важный случай, когда образуется тензорное произведение над пучком некоммутативных колец, появляется в теории D -модулей ; то есть тензорные произведения над пучком дифференциальных операторов .

Смотрите также

• функтор Tor
• Тензорное произведение алгебр
• Тензорное произведение полей
• Производное тензорное произведение

Примечания

1. Тензорирование с помощью M дает точную последовательность , где f задается как ⁠ ⁠ . Поскольку образ f — это IM , мы получаем первую часть 1. Если M плоский, f инъективен и, следовательно, является изоморфизмом на свой образ. ${\displaystyle 0\to I\to R\to R/I\to 0}$ $${\displaystyle I\otimes _{R}M{\overset {f}{\to }}R\otimes _{R}M=M\to R/I\otimes _{R}M\to 0}$$ ${\displaystyle i\otimes x\mapsto ix}$
2. ЧТЭК $${\displaystyle R/I\otimes _{R}R/J={R/J \over I(R/J)}={R/J \over (I+J)/J}=R/(I+J).}$$

Ссылки

1. Натан Якобсон (2009), Basic Algebra II (2-е изд.), Dover Publications
2. Хазевинкель и др. (2004), с. 95, п. 4.5.1.
3. Бурбаки, гл. II §3.1
4. Во-первых, если ⁠ ⁠ ${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$ , то заявленная идентификация задается с помощью . В общем случае имеет структуру правого R -модуля по ⁠ ⁠ . Таким образом, для любого -билинейного отображения f , f ′ является R -линейным ⁠ ⁠ . ${\displaystyle f\mapsto f'}$ ${\displaystyle f'(x)(y)=f(x,y)}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(N,G)}$ ${\displaystyle (g\cdot r)(y)=g(ry)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \Leftrightarrow f'(xr)=f'(x)\cdot r\Leftrightarrow f(xr,y)=f(x,ry)}$
5. Бурбаки, гл. II §3.2.
6. Бурбаки, гл. II §3.8
7. Доказательство: (используя ассоциативность в общей форме) ${\displaystyle (M\otimes _{R}N)_{S}=(S\otimes _{R}M)\otimes _{R}N=M_{S}\otimes _{R}N=M_{S}\otimes _{S}S\otimes _{R}N=M_{S}\otimes _{S}N_{S}}$
8. Бурбаки, гл. II §4.4
9. Бурбаки, гл.II §4.1 Предложение 1
10. Пример 3.6 из http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/linmultialg/tensorprod.pdf
11. Бурбаки, гл. II §2.3
12. Бурбаки, гл. II §4.2 ур. (11)
13. Бурбаки, гл. II §4.2 ур. (15)
14. Хельгасон 1978, Лемма 2.3'
15. На самом деле это определение дифференциальных однократных форм, глобальных сечений ⁠ ⁠ ${\displaystyle T^{*}M}$ , у Хелгасона, но оно эквивалентно обычному определению, которое не использует теорию модулей.
16. Май 1999, гл. 12 §3
17. См. также Энциклопедия математики – Тензорный пучок

• Бурбаки, Алгебра
• Хельгасон, Сигурдур (1978), Дифференциальная геометрия, Группы Ли и симметричные пространства , Academic Press, ISBN 0-12-338460-5
• Норткотт, Д.Г. (1984), Полилинейная алгебра , Cambridge University Press, ISBN 613-0-04808-4.
• Хазевинкель, Михель ; Губарени Надежда Михайловна; Губарени, Надежда; Кириченко, Владимир В. (2004), Алгебры, кольца и модули , Springer, ISBN 978-1-4020-2690-4.
• Мэй, Питер (1999). Краткий курс алгебраической топологии (PDF) . Издательство Чикагского университета.