Гомотопическая связность

В алгебраической топологии гомотопическая связность — это свойство, описывающее топологическое пространство на основе размерности его дыр. В общем случае низкая гомотопическая связность указывает на то, что пространство имеет по крайней мере одну низкоразмерную дыру. Понятие n- связности обобщает понятия путевой связности и простой связности .

Эквивалентное определение гомотопической связности основано на гомотопических группах пространства. Пространство является n -связным (или n -простосвязным ), если его первые n гомотопических групп тривиальны.

Гомотопическая связность определена и для карт. Карта является n -связной, если она является изоморфизмом "до размерности n, в гомотопии ".

Определение с помощью отверстий

Все приведенные ниже определения рассматривают топологическое пространство X.

Дырка в X — это, неформально, вещь, которая не позволяет некоторой подходящим образом расположенной сфере непрерывно сжиматься в точку. ^{[1] : 78} Эквивалентно, это сфера , которая не может быть непрерывно расширена до шара . Формально,

• D -мерная сфера в X является непрерывной функцией . ${\displaystyle f_{d}:S^{d}\to X}$
• D -мерный шар в X является непрерывной функцией . ${\displaystyle g_{d}:B^{d}\to X}$
• Дыра с d-мерной границей в X — это d- мерная сфера, которая не является гомотопной нулю (- не может быть непрерывно сжата в точку). Эквивалентно, это d -мерная сфера, которая не может быть непрерывно расширена до ( d +1)-мерного шара. Иногда ее называют ( d +1)-мерной дырой ( d +1 — размерность «пропавшего шара»).
• X называется n -связным , если он не содержит дыр с граничной размерностью d ≤ n . ^{[1] : 78, Sec.4.3}
• Гомотопическая связность X , обозначаемая , представляет собой наибольшее целое число n , для которого X является n -связным. ${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)}$
• Немного иное определение связности, которое упрощает некоторые вычисления, таково: наименьшее целое число d, такое, что X содержит d -мерную дыру. Этот параметр связности обозначается как , и он отличается от предыдущего параметра на 2, то есть . ^[2] ${\displaystyle \eta _{\pi }(X)}$ ${\displaystyle \eta _{\pi }(X):={\text{conn}}_{\pi }(X)+2}$

Примеры

Двумерная дыра (дыра с одномерной границей).

• Двумерная дыра (дыра с одномерной границей) — это окружность (S ¹ ) в X , которую нельзя непрерывно сжать до точки в X . Пример показан на рисунке справа. Желтая область — это топологическое пространство X ; это пятиугольник с удаленным треугольником. Синий круг — это одномерная сфера в X . Ее нельзя непрерывно сжать до точки в X ; следовательно; X имеет двумерную дыру. Другой пример — проколотая плоскость — евклидова плоскость с удаленной одной точкой, . Чтобы сделать двумерную дыру в трехмерном шаре, проделайте через него туннель . ^[1] В общем случае пространство содержит дыру с одномерной границей тогда и только тогда, когда оно не является односвязным . Следовательно, односвязность эквивалентна односвязности. X является 0-связным, но не 1-связным, поэтому . Наименьшая размерность дыры равна 2, поэтому . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}$ ${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)=0}$ ${\displaystyle \eta _{\pi }(X)=2}$

  

  Трехмерная дыра.

• На рисунке справа изображена 3-мерная дыра (дыра с 2-мерной границей). Здесь X — куб (желтый) с удаленным шаром (белый). 2-мерная сфера (синяя) не может быть непрерывно сжата в одну точку. X односвязен, но не 2-связен, поэтому . Наименьшее измерение дыры — 3, поэтому . ${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)=1}$ ${\displaystyle \eta _{\pi }(X)=3}$

Одномерная дыра.

• Для 1-мерной дыры (дыры с 0-мерной границей) нам нужно рассмотреть - нульмерную сферу. Что такое нульмерная сфера? - Для каждого целого числа d сфера является границей ( d +1)-мерного шара . Такова же и граница , которая является отрезком [0,1]. Следовательно, - это множество из двух непересекающихся точек {0, 1}. Нульмерная сфера в X - это просто множество из двух точек в X . Если существует такое множество, которое нельзя непрерывно сжать до одной точки в X (или непрерывно расширить до отрезка в X ), это означает, что между двумя точками нет пути, то есть X не является путево-связным ; см. рисунок справа. Следовательно, путево-связный эквивалентен 0-связному. X не является 0-связным, поэтому . Наименьшая размерность дыры равна 1, поэтому . ${\displaystyle S^{0}}$ ${\displaystyle S^{d}}$ ${\displaystyle B^{d+1}}$ ${\displaystyle S^{0}}$ ${\displaystyle B^{1}}$ ${\displaystyle S^{0}}$ ${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)=-1}$ ${\displaystyle \eta _{\pi }(X)=1}$
• 0-мерная дыра — это отсутствующий 0-мерный шар. 0-мерный шар — это одна точка; его граница — пустое множество. Следовательно, существование 0-мерной дыры эквивалентно тому, что пространство пусто. Следовательно, непустота эквивалентна (-1)-связности. Для пустого пространства X , и , что является его наименьшим возможным значением. ${\displaystyle S^{-1}}$ ${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)=-2}$ ${\displaystyle \eta _{\pi }(X)=0}$
• Шар не имеет отверстий любого размера. Поэтому его связность бесконечна: . ${\displaystyle \eta _{\pi }(X)={\text{conn}}_{\pi }(X)=\infty }$

Гомотопическая связность сфер

В общем случае для каждого целого числа d , (и ) ^{[1] : 79, Теор.4.3.2} Доказательство требует двух направлений: ${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(S^{d})=d-1}$ ${\displaystyle \eta _{\pi }(S^{d})=d+1}$

• Доказательство того , что , то есть, не может быть непрерывно сжато в одну точку. Это можно доказать с помощью теоремы Борсука–Улама . ${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(S^{d})<d}$ ${\displaystyle S^{d}}$
• Доказав , что , то есть, то есть, каждое непрерывное отображение для можно непрерывно сжать до одной точки. ${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(S^{d})\geq d-1}$ ${\displaystyle S^{k}\to S^{d}}$ ${\displaystyle k<d}$

Определение с использованием групп

Пространство X называется n -связным , для n ≥ 0, если оно непусто, и все его гомотопические группы порядка d ≤ n являются тривиальной группой : где обозначает i -ю гомотопическую группу , а 0 обозначает тривиальную группу. ^[3] Эти два определения эквивалентны. Требование к n -связному пространству состоит из требований для всех d ≤ n : $${\displaystyle \pi _{d}(X)\cong 0,\quad -1\leq d\leq n,}$$ ${\displaystyle \pi _{i}(X)}$

• Требование d = -1 означает, что X должно быть непустым.
• Требование d = 0 означает, что X должен быть путеводно связан.
• Требование для любого d ≥ 1 означает, что X не содержит дыр с граничной размерностью d . То есть, каждая d -мерная сфера в X гомотопна постоянному отображению. Следовательно, d -я гомотопическая группа X тривиальна. Обратное также верно: если X имеет дыру с d -мерной границей, то существует d -мерная сфера, которая не гомотопна постоянному отображению, поэтому d -я гомотопическая группа X не тривиальна. Короче говоря, X имеет дыру с d -мерной границей, тогда и только тогда, когда . Гомотопическая связность X - это наибольшее целое число n, для которого X является n -связным. ^[4] ${\displaystyle \pi _{d}(X)\not \cong 0}$

Требования непустоты и путевой связности можно интерпретировать как (−1)-связность и 0-связность соответственно, что полезно при определении 0-связных и 1-связных отображений, как показано ниже. 0-й гомотопический набор можно определить как:

${\displaystyle \pi _{0}(X,*):=\left[\left(S^{0},*\right),\left(X,*\right)\right].}$

Это всего лишь точечное множество , а не группа, если только X само не является топологической группой ; выделенная точка — это класс тривиального отображения, отправляющего S ⁰ в базовую точку X. Используя это множество, пространство является 0-связным тогда и только тогда, когда 0-е гомотопическое множество является одноточечным множеством. Определение гомотопических групп и этого гомотопического множества требует, чтобы X было точечным (имело выбранную базовую точку), что невозможно, если X пусто.

Топологическое пространство X является линейно связным тогда и только тогда, когда его 0-я гомотопическая группа тождественно равна нулю, поскольку линейно связность подразумевает, что любые две точки x ₁ и x ₂ в X могут быть соединены непрерывным путем , который начинается в x ₁ и заканчивается в x ₂ , что эквивалентно утверждению, что каждое отображение из S ⁰ ( дискретного множества из двух точек) в X может быть непрерывно деформировано до постоянного отображения. С этим определением мы можем определить X как n -связное тогда и только тогда, когда

${\displaystyle \pi _{i}(X)\simeq 0,\quad 0\leq i\leq n.}$

Примеры

• Пространство X является (−1)-связным тогда и только тогда, когда оно непусто.
• Пространство X является 0-связным тогда и только тогда, когда оно непусто и линейно связно .
• Пространство является 1-связным тогда и только тогда, когда оно односвязно .
• N - сфера является ( n  − 1)-связной.

н-связанная карта

Соответствующее относительное понятие абсолютному понятию n -связного пространства есть n -связное отображение , которое определяется как отображение, гомотопический слой Ff которого является ( n  − 1)-связным пространством. В терминах гомотопических групп это означает, что отображение является n -связным тогда и только тогда, когда: ${\displaystyle f\colon X\to Y}$

• ${\displaystyle \pi _{i}(f)\colon \pi _{i}(X)\mathrel {\overset {\sim }{\to }} \pi _{i}(Y)}$является изоморфизмом для , и ${\displaystyle i<n}$
• ${\displaystyle \pi _{n}(f)\colon \pi _{n}(X)\twoheadrightarrow \pi _{n}(Y)}$является сюръекцией.

Последнее условие часто сбивает с толку; это происходит потому, что исчезновение ( n  − 1)-й гомотопической группы гомотопического слоя Ff соответствует сюръекции на n- ^е гомотопические группы в точной последовательности

${\displaystyle \pi _{n}(X)\mathrel {\overset {\pi _{n}(f)}{\to }} \pi _{n}(Y)\to \pi _{n-1}(Ff).}$

Если группа справа исчезает, то отображение слева является сюръекцией. ${\displaystyle \pi _{n-1}(Ff)}$

Примеры малой размерности:

• Связное отображение (0-связное отображение) — это отображение, которое отображается на компоненты пути (0-я гомотопическая группа); это соответствует тому, что гомотопическое волокно непусто.
• Односвязное отображение (односвязное отображение) — это отображение, которое является изоморфизмом на компонентах пути (0-я гомотопическая группа) и на фундаментальной группе (1-я гомотопическая группа).

n -связность для пространств может быть, в свою очередь, определена в терминах n -связности отображений: пространство X с базовой точкой x ₀ является n -связным пространством тогда и только тогда, когда включение базовой точки является n -связным отображением. Множество с одной точкой стягиваемо, поэтому все его гомотопические группы исчезают, и, таким образом, "изоморфизм ниже n и на в n " соответствует исчезновению первых n гомотопических групп X. ${\displaystyle x_{0}\hookrightarrow X}$

Интерпретация

Это поучительно для подмножества: n - связное включение — это такое включение, что вплоть до размерности n  − 1 гомотопии в большем пространстве X могут быть гомотопированы в гомотопии в подмножестве A. ${\displaystyle A\hookrightarrow X}$

Например, чтобы карта включения была 1-связной, она должна быть: ${\displaystyle A\hookrightarrow X}$

• на ${\displaystyle \pi _{0}(X),}$
• один на один и ${\displaystyle \pi _{0}(A)\to \pi _{0}(X),}$
• на ${\displaystyle \pi _{1}(X).}$

Взаимно-однозначное соответствие означает, что если существует путь, соединяющий две точки , проходящий через X, то существует путь в A, соединяющий их, в то время как соответствие означает, что на самом деле путь в X гомотопен пути в A. ${\displaystyle \pi _{0}(A)\to \pi _{0}(X)}$ ${\displaystyle a,b\in A}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$

Другими словами, функция, которая является изоморфизмом только на , подразумевает, что любые элементы из , гомотопные в X , абстрактно гомотопны в A , причем гомотопия в A может быть не связана с гомотопией в X , а будучи n -связной (а значит и на ), означает, что (до размерности n  − 1) гомотопии в X могут быть преобразованы в гомотопии в A . ${\displaystyle \pi _{n-1}(A)\to \pi _{n-1}(X)}$ ${\displaystyle \pi _{n-1}(A)}$ ${\displaystyle \pi _{n}(X)}$

Это дает более конкретное объяснение полезности определения n -связности: например, пространство, в котором включение k -скелета является n -связным (для n  >  k ) – например, включение точки в n -сферу – обладает тем свойством, что любые ячейки в измерениях между k и n не влияют на гомотопические типы меньшей размерности.

Нижние границы

Многие топологические доказательства требуют нижних границ гомотопической связности. Существует несколько «рецептов» для доказательства таких нижних границ.

Гомология

Теорема Гуревича связывает гомотопическую связность с гомологической связностью , обозначаемой . Это полезно для вычисления гомотопической связности, поскольку гомологические группы вычисляются проще. ${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)}$ ${\displaystyle {\text{conn}}_{H}(X)}$

Предположим сначала, что X односвязно, то есть . Пусть ; поэтому для всех , и . Теорема Гуревича ^{[5] : 366, Теор.4.32} гласит, что в этом случае для всех , и изоморфно , поэтому тоже. Следовательно: Если X не односвязно ( ), то все еще выполняется. Когда это тривиально. Когда (так что X линейно связно, но не односвязно), следует доказать, что . ^{[ необходимо разъяснение ]} ${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)\geq 1}$ ${\displaystyle n:={\text{conn}}_{\pi }(X)+1\geq 2}$ ${\displaystyle \pi _{i}(X)=0}$ ${\displaystyle i<n}$ ${\displaystyle \pi _{n}(X)\neq 0}$ ${\displaystyle {\tilde {H_{i}}}(X)=0}$ ${\displaystyle i<n}$ ${\displaystyle {\tilde {H_{n}}}(X)}$ ${\displaystyle \pi _{n}(X)}$ ${\displaystyle {\tilde {H_{n}}}(X)\neq 0}$ $${\displaystyle {\text{conn}}_{H}(X)={\text{conn}}_{\pi }(X).}$$ ${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)\leq 0}$ $${\displaystyle {\text{conn}}_{H}(X)\geq {\text{conn}}_{\pi }(X)}$$ ${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)\leq -1}$ ${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)=0}$ ${\displaystyle {\tilde {H_{0}}}(X)=0}$

Неравенство может быть строгим: существуют пространства, в которых но . ^[6] ${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)=0}$ ${\displaystyle {\text{conn}}_{H}(X)=\infty }$

По определению, k -я группа гомологий симплициального комплекса зависит только от симплексов размерности не более k +1 (см. симплициальная гомология ). Поэтому из вышеприведенной теоремы следует, что симплициальный комплекс K является k -связным тогда и только тогда, когда его ( k +1)-мерный скелет (подмножество K , содержащее только симплексы размерности не более k +1) является k -связным. ^{[1] : 80, Prop.4.4.2}

Присоединиться

Пусть K и L — непустые клеточные комплексы . Их объединение обычно обозначается как . Тогда: ^{[1] : 81, Prop.4.4.3} ${\displaystyle K*L}$ $${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(K*L)\geq {\text{conn}}_{\pi }(K)+{\text{conn}}_{\pi }(L)+2.}$$

Тождество упрощается с обозначением эта: В качестве примера, пусть есть набор из двух несвязных точек. Между точками есть одномерное отверстие, поэтому эта равна 1. Объединение представляет собой квадрат, который гомеоморфен кругу, поэтому его эта равна 2. Объединение этого квадрата с третьей копией K представляет собой октаэдр , который гомеоморфен , и его эта равна 3. В общем случае, объединение n копий гомеоморфно , и его эта равна n . $${\displaystyle \eta _{\pi }(K*L)\geq \eta _{\pi }(K)+\eta _{\pi }(L).}$$ ${\displaystyle K=L=S^{0}=}$ ${\displaystyle K*L}$ ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle S^{0}}$ ${\displaystyle S^{n-1}}$

Общее доказательство основано на аналогичной формуле для гомологической связности.

нерв

Пусть K ₁ ,..., K _n — абстрактные симплициальные комплексы , и обозначим их объединение через K .

Обозначим нервный комплекс { K ₁ , ... , K _n } (абстрактный комплекс, регистрирующий схему пересечения K _i ) через N .

Если для каждого непустого пересечение либо пусто, либо ( k − | J |+1)-связно, то для каждого j ≤ k j -я гомотопическая группа N изоморфна j -й гомотопической группе K . ${\displaystyle J\subset I}$ ${\textstyle \bigcap _{i\in J}U_{i}}$

В частности, N является k -связным тогда и только тогда, когда K является k -связным. ^{[7] : Теор.6}

Принцип гомотопии

В геометрической топологии случаи, когда включение геометрически определенного пространства, такого как пространство погружений , в более общее топологическое пространство, такое как пространство всех непрерывных отображений между двумя ассоциированными пространствами, являются n -связными, считаются удовлетворяющими принципу гомотопии или "h-принципу". Существует ряд мощных общих методов доказательства h-принципов. ${\displaystyle M\to N,}$ ${\displaystyle X(M)\to X(N),}$

Смотрите также

• Связанное пространство
• Спектр соединительных связей
• Путь-связанный
• Просто подключено

Ссылки

1. Матоушек, Йиржи (2007). Использование теоремы Борсука-Улама : Лекции по топологическим методам в комбинаторике и геометрии (2-е изд.). Берлин-Гейдельберг: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-00362-5. Написано в сотрудничестве с Андерсом Бьёрнером и Гюнтером М. Циглером., Раздел 4.3
2. Ахарони, Рон; Бергер, Эли (2006). «Пересечение матроида и симплициального комплекса». Труды Американского математического общества . 358 (11): 4895–4917. doi : 10.1090/S0002-9947-06-03833-5 . ISSN  0002-9947.
3. "n-связное пространство в nLab". ncatlab.org . Получено 2017-09-18 .
4. Фрик, Флориан; Соберон, Пабло (2020-05-11). «Топологическая проблема Тверберга за пределами простых степеней». arXiv : 2005.05251 [math.CO].
5. Хэтчер, Аллен (2001), Алгебраическая топология , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-79160-1
6. См. пример 2.38 в книге Хэтчера. См. также этот ответ.
7. Бьёрнер, Андерс (2003-04-01). «Нервы, волокна и гомотопические группы». Журнал комбинаторной теории . Серия A. 102 (1): 88–93. doi : 10.1016/S0097-3165(03)00015-3 . ISSN  0097-3165.