Законы Мерсенна

Законы, описывающие частоту колебаний натянутой струны

Струна в два раза короче (1/2), в четыре раза короче натяжения (4) или в четверть короче массы на единицу длины (1/4) — на октаву выше (2/1).
Если натяжение струны составляет десять фунтов, его нужно увеличить до 40 фунтов для высоты тона на октаву выше. ^[1]

Нить, привязанная в точке A , удерживается в натяжении с помощью W , подвешенного груза и двух мостов, B и подвижного моста C , в то время как D представляет собой свободно движущееся колесо; все это позволяет продемонстрировать законы Мерсенна относительно натяжения и длины ^[1]

Законы Мерсенна — это законы, описывающие частоту колебаний натянутой струны или монохорда [ 1 ] ^, полезные при настройке музыки и конструировании музыкальных инструментов .

Обзор

Уравнение было впервые предложено французским математиком и теоретиком музыки Мареном Мерсенном в его работе 1636 года Harmonie universelle . ^[2] Законы Мерсенна управляют конструкцией и работой струнных инструментов , таких как фортепиано и арфы , которые должны выдерживать общую силу натяжения, необходимую для поддержания струн на правильной высоте тона. Низкие струны толще, поэтому имеют большую массу на единицу длины. Они, как правило, имеют меньшее натяжение . Гитары являются известным исключением из этого: натяжение струн одинаково для удобства игры, поэтому низкая высота тона струны в значительной степени достигается за счет увеличения массы на единицу длины. ^{[примечание 1]} Струны с более высоким тоном, как правило, тоньше, имеют большее натяжение и могут быть короче. «Этот результат существенно не отличается от результата Галилея , однако он по праву известен как закон Мерсенна», потому что Мерсенн физически доказал их истинность с помощью экспериментов (в то время как Галилей считал их доказательство невозможным). ^[3] «Мерсенн исследовал и уточнил эти соотношения экспериментально, но сам не создал их». ^[4] Хотя его теории верны, его измерения не очень точны, и его вычисления были значительно улучшены Жозефом Совером (1653–1716) с помощью использования акустических ритмов и метрономов . ^[5]

Уравнения

Собственная частота составляет:

• а) Обратно пропорциональна длине струны (закон Пифагора ^[1] ) ,
• б) Пропорционально квадратному корню растягивающей силы, и
• в) Обратно пропорциональна квадратному корню из массы на длину.

${\displaystyle f_{0}\propto {\tfrac {1}{L}}.}$(уравнение 26)

${\displaystyle f_{0}\propto {\sqrt {F}}.}$(уравнение 27)

${\displaystyle f_{0}\propto {\frac {1}{\sqrt {\mu }}}.}$(уравнение 28)

Так, например, при всех равных прочих свойствах струны, чтобы поднять ноту на октаву выше (2/1), нужно было бы либо уменьшить ее длину вдвое (1/2), либо увеличить натяжение в квадрате (4), либо уменьшить ее массу на единицу длины в обратном квадрате (1/4).

Эти законы выведены из уравнения Мерсенна 22: ^[6]

${\displaystyle f_{0}={\frac {\nu }{\lambda }}={\frac {1}{2L}}{\sqrt {\frac {F}{\mu }}}.}$

Формула для основной частоты :

${\displaystyle f_{0}={\frac {1}{2L}}{\sqrt {\frac {F}{\mu }}},}$

где f — частота, L — длина, F — сила, а μ — масса на единицу длины.

Аналогичные законы не были разработаны для труб и духовых инструментов одновременно, поскольку законы Мерсенна предшествовали концепции, согласно которой высота звука духовых инструментов зависит от продольных волн, а не от «ударных» звуков. ^[3]

Смотрите также

• Циклоида
• Длиннострунный инструмент
• Обертон
• Стоячая волна

Примечания

1. Масса обычно добавляется за счет увеличения площади поперечного сечения. Это увеличивает силовую константу струны (k). Более высокий k не влияет на высоту звука как таковую , но задевание струны растягивает ее в дополнение к ее укорачиванию, и увеличение высоты звука из-за растяжения больше для более высоких значений k. Таким образом, интонация требует большей компенсации для более низких струн и (заметно) для стали по сравнению с нейлоном. Этот эффект все еще применим к струнам, где масса увеличивается с обмотками, хотя и в меньшей степени, потому что сердечник, который поддерживает натяжение струны, обычно должен быть больше, чтобы поддерживать большую массу обмотки.

Ссылки

1. Jeans, James Hopwood (1937/1968). Наука и музыка , стр. 62-4. Дувр. ISBN  0-486-61964-8 . Цитируется в "Законы Мерсенна", Wolfram.com
2. Мерсенн, Марин (1636). Harmonie Universelle ^{[ необходима страница ]} . Цитируется в «Законах Мерсенна», Wolfram.com .
3. Cohen, HF (2013). Квантификация музыки: наука о музыке на первом этапе научной революции 1580–1650 , стр. 101. Springer. ISBN 9789401576864 . 
4. Гоцца, Паоло; ред. (2013). От числа к звуку: музыкальный путь к научной революции , стр. 279. Springer. ISBN 9789401595780. Гоцца ссылается на утверждения Сигалии Достровской «Ранняя теория вибрации», стр. 185-187. 
5. Бейер, Роберт Томас (1999). Звуки нашего времени: двести лет акустики . Springer. стр. 10. ISBN 978-0-387-98435-3 . 
6. Штейнхаус, Хьюго (1999). Математические снимки ^{[ нужна страница ]} . Дувр, ISBN 9780486409146. Цитируется в «Законах Мерсенна», Wolfram.com . 

Внешние ссылки

• Медиа, связанные с законами Мерсенна на Wikimedia Commons