Джья , коти-джья и уткрама-джья — три тригонометрические функции , введенные индийскими математиками и астрономами. Самый ранний известный индийский трактат, содержащий упоминания об этих функциях, — «Сурья Сиддханта» . [1] Это функции дуг окружностей, а не функции углов. Джья и коти- джья тесно связаны с современными тригонометрическими функциями синуса и косинуса . Фактически, происхождение современных терминов «синус» и «косинус» восходит к санскритским словам jyā и коти-jya. [1]
Пусть «дуга AB» обозначает дугу , двумя концами которой являются A и B окружности с центром O. Если перпендикуляр BM опустить из B в OA, то:
Если радиус круга равен R , а длина дуги AB равна s , угол, образуемый дугой AB в точке O, измеренный в радианах, равен θ = s / R . Три индийские функции связаны с современными тригонометрическими функциями следующим образом:
Дуга круга подобна луку и поэтому называется дхану или чапа , что на санскрите означает «лук». Прямая линия, соединяющая два конца дуги круга, подобна тетиве лука и является хордой круга. Этот аккорд называется jyā , что на санскрите означает «тетива лука», предположительно переводя χορδή Гиппарха с тем же значением . Слово джива также используется как синоним джья в геометрической литературе. [2] В какой-то момент индийские астрономы и математики поняли, что вычисления будут более удобными, если вместо полных хорд использовать половины хорд и связать полухорды с половинками дуг. [1] [3] Полуаккорды назывались ардха-джья или джья-ардха . Эти термины снова были сокращены до jyā за счет исключения уточнения ardha , которое означало «половина».
Санскритское слово коти имеет значение «острие, острие», а точнее « изогнутый конец лука ». В тригонометрии оно стало обозначать «дополнение дуги до 90°». Таким образом, коти-джья - это « джья дополнительной дуги». В индийских трактатах, особенно в комментариях, коти-джья часто сокращается до коджья . Термин коти также означает «сторону прямоугольного треугольника». Таким образом , коти-джья может также означать другой катет прямоугольного треугольника, причем первым катетом является джья . [ необходимо уточнение ] [1]
Уткрама означает «перевернутый», поэтому уткрама-джья означает «перевернутый аккорд». Табличные значения уткрама-джья получаются из табличных значений джья путем вычитания элементов из радиуса в обратном порядке. [ нужны разъяснения ] На самом деле это [ необходимы разъяснения ] стрела между луком и тетивой, поэтому ее также называют бана , ишу или шара , что означает «стрела». [1]
Дуга круга, образующая угол 90° в центре, называется вритта-пада (квадрат круга). Каждый знак зодиака определяет дугу в 30°, а три последовательных знака зодиака определяют вритта-паду . Джья вритта - пада — это радиус круга. Индийские астрономы придумали термин три-джья для обозначения радиуса основного круга, причем термин три-джья указывает на « джья трех знаков». Радиус также называют вьясардха , вишкамбхардха , вистарардха и т. д., что означает «полудиаметр». [1]
Согласно одному соглашению, функции jyā и koti-jyā соответственно обозначаются «Rsin» и «Rcos», рассматриваемыми как отдельные слова. [1] Другие обозначают джья и коти-джья соответственно «Грехом» и «Косом» (первые буквы - заглавные, в отличие от первых букв, которые представляют собой строчные буквы в обычных функциях синуса и косинуса). [3]
Истоки современного термина синус восходят к санскритскому слову jyā , [4] [5] или, точнее, к его синониму jīvá . Этот термин был принят в средневековой исламской математике и транслитерирован по-арабски как джиба (جيب). Поскольку в арабском языке нет кратких гласных – а долгая гласная как заимствование здесь обозначена буквой yāʾ – это интерпретировалось как гомограф jaib , jayb (جيب), что означает «грудь». Латинский переводчик текста XII века использовал латинский эквивалент слова «грудь», sinus . [6] Когда джья стала синусовой , было высказано предположение, что по аналогии коджья стала косинусовой . Однако в текстах раннего средневековья косинус называется completi sinus «синус дополнения», что позволяет предположить, что сходство с коджья случайно. [7]