В математической области теории множеств большое кардинальное свойство — это определенный вид свойства трансфинитных кардинальных чисел . Кардиналы с такими свойствами, как следует из названия, обычно очень «большие» (например, больше наименьшего α, такого что α=ω α ). Предложение о том, что такие кардиналы существуют, не может быть доказано в наиболее общей аксиоматизации теории множеств, а именно ZFC , и такие предложения можно рассматривать как способы измерения того, сколько «много», помимо ZFC, нужно предположить, чтобы иметь возможность доказать определенные желаемые результаты. Другими словами, их можно рассматривать, по выражению Даны Скотт , как количественное определение факта «что если вы хотите большего, вы должны предположить больше». [1]
Существует грубое соглашение, что результаты, доказуемые только с помощью ZFC, могут быть сформулированы без гипотез, но если доказательство требует других предположений (например, существования больших кардиналов), они должны быть сформулированы. Является ли это просто лингвистическим соглашением или чем-то большим, является спорным вопросом среди различных философских школ (см. Мотивации и эпистемический статус ниже).
ААксиома большого кардинала — это аксиома, утверждающая, что существует кардинал (или, возможно, несколько кардиналов) с некоторым заданным свойством большого кардинала.
Большинство работающих теоретиков множеств полагают, что большие кардинальные аксиомы, которые в настоящее время рассматриваются, согласуются с ZFC. [2] Эти аксиомы достаточно сильны, чтобы подразумевать согласованность ZFC. Это имеет следствие (через вторую теорему Гёделя о неполноте ), что их согласованность с ZFC не может быть доказана в ZFC (предполагая, что ZFC согласован).
Не существует общепринятого точного определения того, что такое большое кардинальное свойство, хотя по сути все согласны с тем, что те, которые входят в список больших кардинальных свойств, являются большими кардинальными свойствами.
Необходимым условием для того, чтобы свойство кардинальных чисел было большим кардинальным свойством , является то, что существование такого кардинала не противоречит ZF и что такой кардинал Κ будет несчетным начальным ординалом, для которого L Κ является моделью ZFC. Если ZFC является непротиворечивым , то ZFC не подразумевает, что существуют такие большие кардиналы.
Замечательное наблюдение о больших кардинальных аксиомах заключается в том, что они, по-видимому, встречаются в строго линейном порядке по силе согласованности . То есть, не известно ни одного исключения из следующего: если даны две большие кардинальные аксиомы A 1 и A 2 , происходит ровно одно из трех:
Они являются взаимоисключающими, если только одна из рассматриваемых теорий на самом деле не является противоречивой.
В случае 1 мы говорим, что A 1 и A 2 равносогласованы . В случае 2 мы говорим, что A 1 сильнее A 2 в плане согласованности (и наоборот для случая 3). Если A 2 сильнее A 1 , то ZFC+ A 1 не может доказать, что ZFC+ A 2 согласован, даже с дополнительной гипотезой, что ZFC+ A 1 сам по себе согласован (конечно, при условии, что это действительно так). Это следует из второй теоремы Гёделя о неполноте .
Наблюдение, что аксиомы большого кардинала линейно упорядочены по силе согласованности, — это всего лишь наблюдение, а не теорема. (Без принятого определения свойства большого кардинала оно не подлежит доказательству в обычном смысле.) Кроме того, в каждом случае неизвестно, какой из трех случаев имеет место. Сахарон Шелах спросил: «Есть ли какая-то теорема, объясняющая это, или наше видение просто более единообразно, чем мы осознаем?» Вудин , однако, выводит это из Ω-гипотезы , главной нерешенной проблемы его Ω-логики . Также следует отметить, что многие комбинаторные утверждения точно равносогласованы с некоторым большим кардиналом, а не, скажем, являются промежуточными между ними.
Порядок силы согласованности не обязательно совпадает с порядком размера наименьшего свидетеля большой кардинальной аксиомы. Например, существование огромного кардинального числа гораздо сильнее с точки зрения силы согласованности, чем существование суперкомпактного кардинального числа , но если предположить, что оба существуют, то первый огромный меньше первого суперкомпактного.
Большие кардиналы понимаются в контексте вселенной фон Неймана V, которая строится путем трансфинитной итерации операции powerset , которая собирает вместе все подмножества заданного множества. Обычно модели , в которых большие кардинальные аксиомы не выполняются, можно рассматривать некоторым естественным образом как подмодели тех, в которых аксиомы выполняются. Например, если есть недоступный кардинал , то «отрезание вселенной» на высоте первого такого кардинала дает вселенную , в которой нет недоступных кардиналов. Или если есть измеримый кардинал , то итерация определяемой операции powerset вместо полной дает конструируемую вселенную Гёделя , L, которая не удовлетворяет утверждению «существует измеримый кардинал» (даже если она содержит измеримый кардинал как порядковый номер).
Таким образом, с определенной точки зрения, которой придерживаются многие теоретики множеств (особенно вдохновленные традицией Кабалы ) , большие кардинальные аксиомы «говорят», что мы рассматриваем все множества, которые мы «должны» рассматривать, тогда как их отрицания являются «ограничительными» и говорят, что мы рассматриваем только некоторые из этих множеств. Более того, последствия больших кардинальных аксиом, по-видимому, укладываются в естественные закономерности (см. Мэдди, «Вера в аксиомы, II»). По этим причинам такие теоретики множеств склонны считать, что большие кардинальные аксиомы имеют предпочтительный статус среди расширений ZFC, который не разделяют аксиомы с менее ясной мотивацией (такие как аксиома Мартина ) или другие, которые они считают интуитивно маловероятными (такие как V = L ). Жесткие реалисты в этой группе заявили бы, проще говоря, что большие кардинальные аксиомы истинны .
Эта точка зрения ни в коем случае не является универсальной среди теоретиков множеств. Некоторые формалисты утверждают, что стандартная теория множеств по определению является изучением последствий ZFC, и хотя они, возможно, в принципе не против изучения последствий других систем, они не видят причин выделять большие кардиналы в качестве предпочтительных. Есть также реалисты, которые отрицают, что онтологический максимализм является надлежащей мотивацией, и даже считают, что большие кардинальные аксиомы ложны. И, наконец, есть некоторые, которые отрицают, что отрицания больших кардинальных аксиом являются ограничительными, указывая, что (например) в L может быть транзитивная модель множеств , которая считает, что существует измеримый кардинал, хотя сам L не удовлетворяет этому предложению.