Длина дуги

Расстояние по кривой

При выпрямлении кривая образует отрезок прямой линии той же длины, что и длина дуги кривой.

Длина дуги s логарифмической спирали как функция ее параметра θ .

Длина дуги — это расстояние между двумя точками на участке кривой .

Определение длины нерегулярного сегмента дуги путем аппроксимации сегмента дуги в виде соединенных (прямых) отрезков линии также называется спрямлением кривой . Для спрямляемой кривой эти аппроксимации не становятся произвольно большими (поэтому кривая имеет конечную длину).

Если кривая может быть параметризована как инъективная и непрерывно дифференцируемая функция (т. е. производная является непрерывной функцией) , то кривая является спрямляемой (т. е. имеет конечную длину). ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}$

Появление исчисления бесконечно малых привело к появлению общей формулы, которая в некоторых случаях дает решения в замкнутом виде .

Общий подход

Приближение кривой к нескольким линейным сегментам, называемое выпрямлением кривой.

Кривую на плоскости можно аппроксимировать, соединив конечное число точек на кривой с помощью (прямых) отрезков для создания многоугольной траектории . Поскольку вычислить длину каждого линейного отрезка несложно (например, с помощью теоремы Пифагора в евклидовом пространстве), общую длину аппроксимации можно найти путем суммирования длин каждого линейного отрезка;это приближение известно как (кумулятивное) хордовое расстояние . ^[1]

Если кривая уже не является многоугольным путем, то использование все большего числа отрезков меньшей длины приведет к лучшим приближениям длины кривой. Такое определение длины кривой путем приближения кривой как соединенных (прямых) отрезков называется выпрямлением кривой. Длины последовательных приближений не будут уменьшаться и могут продолжать увеличиваться бесконечно, но для гладких кривых они будут стремиться к конечному пределу, поскольку длины отрезков становятся произвольно малыми .

Для некоторых кривых существует наименьшее число , которое является верхней границей длины всех полигональных приближений (ректификации). Такие кривые называются спрямляемыми , а длина дуги определяется как число . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

Длина дуги со знаком может быть определена для передачи чувства ориентации или «направления» относительно точки отсчета, взятой за начало координат на кривой (см. также: ориентация кривой и расстояние со знаком ). ^[2]

Формула для гладкой кривой

Пусть будет инъективной и непрерывно дифференцируемой (т.е. производная является непрерывной функцией) функцией. Длина кривой, определяемой с помощью , может быть определена как предел суммы длин линейных сегментов для регулярного разбиения , когда число сегментов стремится к бесконечности. Это означает ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$

$${\displaystyle L(f)=\lim _{N\to \infty }\sum _{i=1}^{N}{\bigg |}f(t_{i})-f(t_{i-1}){\bigg |}}$$

где с для Это определение эквивалентно стандартному определению длины дуги как интеграла: ${\displaystyle t_{i}=a+i(b-a)/N=a+i\Delta t}$ ${\displaystyle \Delta t={\frac {b-a}{N}}=t_{i}-t_{i-1}}$ ${\displaystyle i=0,1,\dotsc ,N.}$

$${\displaystyle L(f)=\lim _{N\to \infty }\sum _{i=1}^{N}{\bigg |}f(t_{i})-f(t_{i-1}){\bigg |}=\lim _{N\to \infty }\sum _{i=1}^{N}\left|{\frac {f(t_{i})-f(t_{i-1})}{\Delta t}}\right|\Delta t=\int _{a}^{b}{\Big |}f'(t){\Big |}\ dt.}$$

Последнее равенство доказывается следующими шагами:

1. Вторая фундаментальная теорема исчисления показывает, где по отображается в и . На следующем шаге используется следующее эквивалентное выражение. $${\displaystyle f(t_{i})-f(t_{i-1})=\int _{t_{i-1}}^{t_{i}}f'(t)\ dt=\Delta t\int _{0}^{1}f'(t_{i-1}+\theta (t_{i}-t_{i-1}))\ d\theta }$$ ${\displaystyle t=t_{i-1}+\theta (t_{i}-t_{i-1})}$ ${\displaystyle \theta \in [0,1]}$ ${\displaystyle [t_{i-1},t_{i}]}$ ${\displaystyle dt=(t_{i}-t_{i-1})\,d\theta =\Delta t\,d\theta }$ $${\displaystyle {\frac {f(t_{i})-f(t_{i-1})}{\Delta t}}=\int _{0}^{1}f'(t_{i-1}+\theta (t_{i}-t_{i-1}))\ d\theta .}$$
2. Функция является непрерывной функцией из замкнутого интервала в множество действительных чисел, таким образом, она равномерно непрерывна согласно теореме Гейне–Кантора , поэтому существует положительная действительная и монотонно неубывающая функция положительных действительных чисел такая, что влечет , где и . Рассмотрим предел следующей формулы, ${\displaystyle \left|f'\right|}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle \delta (\varepsilon )}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \Delta t<\delta (\varepsilon )}$ ${\displaystyle \left|\left|f'(t_{i-1}+\theta (t_{i}-t_{i-1}))\right|-\left|f'(t_{i})\right|\right|<\varepsilon }$ ${\displaystyle \Delta t=t_{i}-t_{i-1}}$ ${\displaystyle \theta \in [0,1]}$ ${\displaystyle {\ce {N\to \infty }}}$ $${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\left|{\frac {f(t_{i})-f(t_{i-1})}{\Delta t}}\right|\Delta t-\sum _{i=1}^{N}\left|f'(t_{i})\right|\Delta t.}$$

С результатом вышеприведенного шага становится

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\left|\int _{0}^{1}f'(t_{i-1}+\theta (t_{i}-t_{i-1}))\ d\theta \right|\Delta t-\sum _{i=1}^{N}\left|f'(t_{i})\right|\Delta t.}$$

Термины переставлены так, что становится

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\Delta t\sum _{i=1}^{N}\left(\left|\int _{0}^{1}f'(t_{i-1}+\theta (t_{i}-t_{i-1}))\ d\theta \right|-\int _{0}^{1}\left|f'(t_{i})\right|d\theta \right)\\&\qquad \leqq \Delta t\sum _{i=1}^{N}\left(\int _{0}^{1}\left|f'(t_{i-1}+\theta (t_{i}-t_{i-1}))\right|\ d\theta -\int _{0}^{1}\left|f'(t_{i})\right|d\theta \right)\\&\qquad =\Delta t\sum _{i=1}^{N}\int _{0}^{1}\left|f'(t_{i-1}+\theta (t_{i}-t_{i-1}))\right|-\left|f'(t_{i})\right|\ d\theta \end{aligned}}}$$

где в самой левой части используется. По для так что , становится ${\textstyle \left|f'(t_{i})\right|=\int _{0}^{1}\left|f'(t_{i})\right|d\theta }$ ${\textstyle \left|\left|f'(t_{i-1}+\theta (t_{i}-t_{i-1}))\right|-\left|f'(t_{i})\right|\right|<\varepsilon }$ ${\textstyle N>(b-a)/\delta (\varepsilon )}$ ${\displaystyle \Delta t<\delta (\varepsilon )}$

$${\displaystyle \Delta t\sum _{i=1}^{N}\left(\left|\int _{0}^{1}f'(t_{i-1}+\theta (t_{i}-t_{i-1}))\ d\theta \right|-\left|f'(t_{i})\right|\right)<\varepsilon N\Delta t}$$

с , , и . В пределе поэтому левая часть стремится к . Другими словами, в этом пределе, а правая часть этого равенства есть просто интеграл Римана от на Это определение длины дуги показывает, что длина кривой, представленной непрерывно дифференцируемой функцией на , всегда конечна, т. е. спрямляема . ${\displaystyle \left|f'(t_{i})\right|=\int _{0}^{1}\left|f'(t_{i})\right|d\theta }$ ${\displaystyle \varepsilon N\Delta t=\varepsilon (b-a)}$ ${\displaystyle N>(b-a)/\delta (\varepsilon )}$ ${\displaystyle N\to \infty ,}$ ${\displaystyle \delta (\varepsilon )\to 0}$ ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$ ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\left|{\frac {f(t_{i})-f(t_{i-1})}{\Delta t}}\right|\Delta t=\sum _{i=1}^{N}\left|f'(t_{i})\right|\Delta t}$ ${\displaystyle \left|f'(t)\right|}$ ${\displaystyle [a,b].}$ ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle [a,b]}$

Определение длины дуги гладкой кривой как интеграла нормы производной эквивалентно определению

$${\displaystyle L(f)=\sup \sum _{i=1}^{N}{\bigg |}f(t_{i})-f(t_{i-1}){\bigg |}}$$

где супремум берется по всем возможным разбиениям [ ^3]. Это определение как супремума всех возможных сумм разбиений справедливо также, если является просто непрерывным, а не дифференцируемым. ${\displaystyle a=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{N-1}<t_{N}=b}$ ${\displaystyle [a,b].}$ ${\displaystyle f}$

Кривая может быть параметризована бесконечным числом способов. Пусть будет любой непрерывно дифференцируемой биекцией . Тогда есть другая непрерывно дифференцируемая параметризация кривой, изначально определенная как Длина дуги кривой одинакова независимо от параметризации, используемой для определения кривой: ${\displaystyle \varphi :[a,b]\to [c,d]}$ ${\displaystyle g=f\circ \varphi ^{-1}:[c,d]\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f.}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}L(f)&=\int _{a}^{b}{\Big |}f'(t){\Big |}\ dt=\int _{a}^{b}{\Big |}g'(\varphi (t))\varphi '(t){\Big |}\ dt\\&=\int _{a}^{b}{\Big |}g'(\varphi (t)){\Big |}\varphi '(t)\ dt\quad {\text{in the case }}\varphi {\text{ is non-decreasing}}\\&=\int _{c}^{d}{\Big |}g'(u){\Big |}\ du\quad {\text{using integration by substitution}}\\&=L(g).\end{aligned}}}$$

Нахождение длины дуги путем интегрирования

Четверть круга

Если плоская кривая в определяется уравнением , где непрерывно дифференцируема , то это просто частный случай параметрического уравнения , где и Евклидово расстояние каждого бесконечно малого сегмента дуги может быть задано выражением: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle y=f(x),}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x=t}$ ${\displaystyle y=f(t).}$

$${\displaystyle {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}={\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}\,}}dx.}$$

Длина дуги тогда определяется по формуле:

$${\displaystyle s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}\,}}dx.}$$

Кривые с замкнутыми решениями для длины дуги включают цепную линию , окружность , циклоиду , логарифмическую спираль , параболу , полукубическую параболу и прямую линию . Отсутствие замкнутого решения для длины дуги эллиптической и гиперболической дуги привело к разработке эллиптических интегралов .

Численное интегрирование

В большинстве случаев, включая даже простые кривые, нет замкнутых решений для длины дуги, и необходимо численное интегрирование . Численное интегрирование интеграла длины дуги обычно очень эффективно. Например, рассмотрим задачу нахождения длины четверти единичной окружности путем численного интегрирования интеграла длины дуги. Верхняя половина единичной окружности может быть параметризована как Интервал соответствует четверти окружности. Поскольку и длина четверти единичной окружности равна ${\displaystyle y={\sqrt {1-x^{2}}}.}$ ${\displaystyle x\in \left[-{\sqrt {2}}/2,{\sqrt {2}}/2\right]}$ ${\textstyle dy/dx=-x{\big /}{\sqrt {1-x^{2}}}}$ ${\displaystyle 1+(dy/dx)^{2}=1{\big /}\left(1-x^{2}\right),}$

$${\displaystyle \int _{-{\sqrt {2}}/2}^{{\sqrt {2}}/2}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,.}$$

Оценка 15-точечного правила Гаусса-Кронрода для этого интеграла1,570 796 326 808 177 отличается от истинной длины

$${\displaystyle \arcsin x{\bigg |}_{-{\sqrt {2}}/2}^{{\sqrt {2}}/2}={\frac {\pi }{2}}}$$

к1,3 × 10−11 ^и оценка квадратурного правила Гаусса по 16 точкам1,570 796 326 794 727 отличается от истинной длины всего на1,7 × 10 ⁻¹³ . Это означает, что можно оценить этот интеграл с почти машинной точностью, используя всего 16 вычислений подынтегрального выражения.

Кривая на поверхности

Пусть будет отображением поверхности и пусть будет кривой на этой поверхности. Подынтегральная функция интеграла длины дуги равна Оценка производной требует цепного правила для векторных полей: ${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)}$ ${\displaystyle \mathbf {C} (t)=(u(t),v(t))}$ ${\displaystyle \left|\left(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} \right)'(t)\right|.}$

$${\displaystyle D(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} )=(\mathbf {x} _{u}\ \mathbf {x} _{v}){\binom {u'}{v'}}=\mathbf {x} _{u}u'+\mathbf {x} _{v}v'.}$$

Квадрат нормы этого вектора равен

$${\displaystyle \left(\mathbf {x} _{u}u'+\mathbf {x} _{v}v'\right)\cdot (\mathbf {x} _{u}u'+\mathbf {x} _{v}v')=g_{11}\left(u'\right)^{2}+2g_{12}u'v'+g_{22}\left(v'\right)^{2}}$$

(где — первый фундаментальный коэффициент формы ), поэтому подынтегральное выражение интеграла длины дуги можно записать как (где и ). ${\displaystyle g_{ij}}$ ${\displaystyle {\sqrt {g_{ab}\left(u^{a}\right)'\left(u^{b}\right)'\,}}}$ ${\displaystyle u^{1}=u}$ ${\displaystyle u^{2}=v}$

Другие системы координат

Пусть будет кривой, выраженной в полярных координатах. Отображение, которое преобразует полярные координаты в прямоугольные, есть ${\displaystyle \mathbf {C} (t)=(r(t),\theta (t))}$

$${\displaystyle \mathbf {x} (r,\theta )=(r\cos \theta ,r\sin \theta ).}$$

Подынтегральное выражение интеграла длины дуги равно Цепное правило для векторных полей показывает, что Таким образом, квадрат подынтегрального выражения интеграла длины дуги равен ${\displaystyle \left|\left(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} \right)'(t)\right|.}$ ${\displaystyle D(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} )=\mathbf {x} _{r}r'+\mathbf {x} _{\theta }\theta '.}$

$${\displaystyle \left(\mathbf {x_{r}} \cdot \mathbf {x_{r}} \right)\left(r'\right)^{2}+2\left(\mathbf {x} _{r}\cdot \mathbf {x} _{\theta }\right)r'\theta '+\left(\mathbf {x} _{\theta }\cdot \mathbf {x} _{\theta }\right)\left(\theta '\right)^{2}=\left(r'\right)^{2}+r^{2}\left(\theta '\right)^{2}.}$$

Таким образом, для кривой, выраженной в полярных координатах, длина дуги равна: $${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+r^{2}\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}\,}}dt=\int _{\theta (t_{1})}^{\theta (t_{2})}{\sqrt {\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}+r^{2}\,}}d\theta .}$$

Второе выражение относится к полярному графу, параметризованному с помощью . ${\displaystyle r=r(\theta )}$ ${\displaystyle t=\theta }$

Теперь пусть будет кривой, выраженной в сферических координатах, где - полярный угол, измеренный от положительной оси, а - азимутальный угол. Отображение, которое преобразует сферические координаты в прямоугольные, имеет вид ${\displaystyle \mathbf {C} (t)=(r(t),\theta (t),\phi (t))}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle \mathbf {x} (r,\theta ,\phi )=(r\sin \theta \cos \phi ,r\sin \theta \sin \phi ,r\cos \theta ).}$$

Повторное использование цепного правила показывает, что все скалярные произведения , где и отличаются, равны нулю, поэтому квадрат нормы этого вектора равен ${\displaystyle D(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} )=\mathbf {x} _{r}r'+\mathbf {x} _{\theta }\theta '+\mathbf {x} _{\phi }\phi '.}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{i}\cdot \mathbf {x} _{j}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ $${\displaystyle \left(\mathbf {x} _{r}\cdot \mathbf {x} _{r}\right)\left(r'^{2}\right)+\left(\mathbf {x} _{\theta }\cdot \mathbf {x} _{\theta }\right)\left(\theta '\right)^{2}+\left(\mathbf {x} _{\phi }\cdot \mathbf {x} _{\phi }\right)\left(\phi '\right)^{2}=\left(r'\right)^{2}+r^{2}\left(\theta '\right)^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \left(\phi '\right)^{2}.}$$

Таким образом, для кривой, выраженной в сферических координатах, длина дуги равна $${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+r^{2}\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \left({\frac {d\phi }{dt}}\right)^{2}\,}}dt.}$$

Очень похожий расчет показывает, что длина дуги кривой, выраженная в цилиндрических координатах, равна $${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+r^{2}\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2}\,}}dt.}$$

Простые случаи

Дуги окружностей

Длины дуг обозначаются как s , поскольку латинское слово, обозначающее длину (или размер), — spatium .

В следующих строках представляет радиус окружности , — ее диаметр , — ее окружность , — длина дуги окружности, — угол, который дуга образует в центре окружности. Расстояния и выражены в тех же единицах. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle r,d,C,}$ ${\displaystyle s}$

• ${\displaystyle C=2\pi r,}$что то же самое, что Это уравнение является определением ${\displaystyle C=\pi d.}$ ${\displaystyle \pi .}$
• Если дуга представляет собой полуокружность , то ${\displaystyle s=\pi r.}$
• Для произвольной дуги окружности:
  • Если в радианах , то Это определение радиана. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle s=r\theta .}$
  • Если в градусах , то что то же самое, что ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle s={\frac {\pi r\theta }{180^{\circ }}},}$ ${\displaystyle s={\frac {C\theta }{360^{\circ }}}.}$
  • Если в градах (100 градов, или градусов, или градианов составляют один прямой угол ), то что то же самое, что ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle s={\frac {\pi r\theta }{200{\text{ grad}}}},}$ ${\displaystyle s={\frac {C\theta }{400{\text{ grad}}}}.}$
  • Если в оборотах (один оборот — это полный оборот, или 360°, или 400 град, или радиан), то . ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle s=C\theta /1{\text{ turn}}}$

Большие круги на Земле

Две единицы длины, морская миля и метр (или километр), были изначально определены так, чтобы длины дуг больших кругов на поверхности Земли были просто численно связаны с углами, которые они образуют в ее центре. Простое уравнение применяется в следующих обстоятельствах: ${\displaystyle s=\theta }$

• если в морских милях, и в угловых минутах ( 1 ⁄ 60 градуса ), или ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \theta }$
• если в километрах, а в градиентах . ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \theta }$

Длины единиц измерения расстояния были выбраны таким образом, чтобы окружность Земли была равна40 000 километров, или21 600 морских миль. Это количество соответствующих угловых единиц в одном полном обороте.

Эти определения метра и морской мили были заменены более точными, но первоначальные определения все еще достаточно точны для концептуальных целей и некоторых расчетов. Например, они подразумевают, что один километр равен ровно 0,54 морской мили. Используя официальные современные определения, одна морская миля равна ровно 1,852 километра, ^[4] что означает, что 1 километр равен примерно0,539 956 80 морских миль. ^[5] Это современное соотношение отличается от рассчитанного на основе первоначальных определений менее чем на одну часть из 10 000.

Другие простые случаи

• Архимедова спираль § Длина дуги
• Циклоида § Длина дуги
• Эллипс § Длина дуги
• Спираль § Длина дуги
• Парабола § Длина дуги
• Синус и косинус § Длина дуги
• Треугольная волна § Длина дуги

Исторические методы

Древность

На протяжении большей части истории математики даже величайшие мыслители считали невозможным вычислить длину неправильной дуги. Хотя Архимед был пионером способа нахождения площади под кривой с помощью своего « метода исчерпания », мало кто верил, что кривые вообще могут иметь определенную длину, как и прямые линии. Первые шаги в этой области были сделаны, как это часто бывало в исчислении , путем приближения . Люди начали вписывать многоугольники в кривые и вычислять длину сторон для более-менее точного измерения длины. Используя больше сегментов и уменьшая длину каждого сегмента, они могли получать все более и более точное приближение. В частности, вписывая многоугольник со многими сторонами в окружность, они могли находить приблизительные значения π . ^{[6] [7]}

17 век

В XVII веке метод исчерпывания привёл к выпрямлению геометрическими методами нескольких трансцендентных кривых : логарифмической спирали Эванджелисты Торричелли в 1645 году (некоторые источники указывают, что Джон Уоллис в 1650-х годах), циклоиды Кристофера Рена в 1658 году и цепной линии Готфрида Лейбница в 1691 году.

В 1659 году Уоллис приписал Уильяму Нилу открытие первого выпрямления нетривиальной алгебраической кривой , полукубической параболы . ^[8] Сопутствующие рисунки приведены на странице 145. На странице 91 Уильям Нил упоминается как Гулиельмус Нелиус .

Интегральная форма

До полного формального развития исчисления основа современной интегральной формы для длины дуги была независимо открыта Хендриком ван Хойраэтом и Пьером де Ферма .

В 1659 году ван Хейрает опубликовал конструкцию, показывающую, что задача определения длины дуги может быть преобразована в задачу определения площади под кривой (т. е. интеграла). В качестве примера своего метода он определил длину дуги полукубической параболы, что требовало нахождения площади под параболой . [ ^9] В 1660 году Ферма опубликовал более общую теорию, содержащую тот же результат, в своей работе De linearum curvarum cum lineis rectis comparatione dissertatio geometrica (Геометрическая диссертация о кривых линиях в сравнении с прямыми). ^[10]

Метод Ферма определения длины дуги

Опираясь на свою предыдущую работу с касательными, Ферма использовал кривую

${\displaystyle y=x^{\frac {3}{2}}\,}$

касательная к которой в точке x = a имела наклон

${\displaystyle {3 \over 2}a^{\frac {1}{2}}}$

поэтому касательная линия будет иметь уравнение

${\displaystyle y={3 \over 2}a^{\frac {1}{2}}(x-a)+f(a).}$

Затем он увеличил a на небольшую величину до a + ε , сделав отрезок AC относительно хорошим приближением для длины кривой от A до D. Чтобы найти длину отрезка AC , он использовал теорему Пифагора :

${\displaystyle {\begin{aligned}AC^{2}&=AB^{2}+BC^{2}\\&=\varepsilon ^{2}+{9 \over 4}a\varepsilon ^{2}\\&=\varepsilon ^{2}\left(1+{9 \over 4}a\right)\end{aligned}}}$

который, будучи решен, дает

${\displaystyle AC=\varepsilon {\sqrt {1+{9 \over 4}a\,}}.}$

Чтобы приблизительно определить длину, Ферма суммировал последовательность коротких отрезков.

Кривые бесконечной длины

Кривая Коха.

График ${\displaystyle x\cdot \sin(1/x)}$

Как упоминалось выше, некоторые кривые не спрямляемы. То есть, не существует верхней границы для длин полигональных аппроксимаций; длина может быть сделана произвольно большой . Неформально, такие кривые считаются имеющими бесконечную длину. Существуют непрерывные кривые, на которых каждая дуга (кроме одноточечной дуги) имеет бесконечную длину. Примером такой кривой является кривая Коха . Другим примером кривой с бесконечной длиной является график функции, определяемой как f ( x ) =  x  sin(1/ x ) для любого открытого множества с 0 в качестве одного из его разделителей и f (0) = 0. Иногда для количественной оценки размера таких кривых используются размерность Хаусдорфа и мера Хаусдорфа .

Обобщение на (псевдо-)римановы многообразия

Пусть — (псевдо)риманово многообразие , ( псевдо) метрический тензор , кривая, определяемая параметрическими уравнениями ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \gamma :[0,1]\rightarrow M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \gamma (t)=[\gamma ^{1}(t),\dots ,\gamma ^{n}(t)],\quad t\in [0,1]}$

и

${\displaystyle \gamma (0)=\mathbf {x} ,\,\,\gamma (1)=\mathbf {y} }$

Длина определяется как ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \ell (\gamma )=\int \limits _{0}^{1}||\gamma '(t)||_{\gamma (t)}dt}$,

или, выбрав локальные координаты , ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \ell (\gamma )=\int \limits _{0}^{1}{\sqrt {\pm \sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(x(\gamma (t))){\frac {dx^{i}(\gamma (t))}{dt}}{\frac {dx^{j}(\gamma (t))}{dt}}}}dt}$,

где

${\displaystyle \gamma '(t)\in T_{\gamma (t)}M}$

является касательным вектором в Знак в квадратном корне выбирается один раз для данной кривой, чтобы гарантировать, что квадратный корень является действительным числом. Положительный знак выбирается для пространственноподобных кривых; в псевдоримановом многообразии отрицательный знак может быть выбран для времениподобных кривых. Таким образом, длина кривой является неотрицательным действительным числом. Обычно не рассматриваются кривые, которые частично являются пространственноподобными и частично времениподобными. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle t.}$

В теории относительности длина дуги времениподобных кривых ( мировых линий ) — это собственное время, прошедшее вдоль мировой линии, а длина дуги пространственноподобной кривой — это собственное расстояние вдоль кривой.

Смотрите также

• Дуга (геометрия)
• Окружность
• формула Крофтона
• Эллиптический интеграл
• Геодезические
• Внутреннее уравнение
• Интегральные приближения
• Интеграл линии
• Дуга меридиана
• Многовариантное исчисление
• Извилистость

Ссылки

1. Альберг; Нильсон (1967). Теория сплайнов и их применение . Academic Press. стр. 51. ISBN 9780080955452.
2. Nestoridis, Vassili; Papadopoulos, Athanase (2017). «Длина дуги как глобальный конформный параметр для аналитических кривых». Журнал математического анализа и приложений . 445 (2). Elsevier BV: 1505–1515. doi : 10.1016/j.jmaa.2016.02.031 . ISSN  0022-247X.
3. Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа . McGraw-Hill, Inc. стр. 137. ISBN 978-0-07-054235-8.
4. Suplee, Curt (2 июля 2009 г.). «Специальная публикация 811». nist.gov .
5. Справочник по химии и физике CRC , стр. F-254
6. Ричесон, Дэвид (май 2015 г.). «Круговое рассуждение: кто первым доказал, что C, деленное на d, является константой?». The College Mathematics Journal . 46 (3): 162–171. doi :10.4169/college.math.j.46.3.162. ISSN  0746-8342. S2CID  123757069.
7. Кулидж, Дж. Л. (февраль 1953 г.). «Длины кривых». The American Mathematical Monthly . 60 (2): 89–93. doi :10.2307/2308256. JSTOR  2308256.
8. Уоллис, Джон (1659). Трактат Дуэт. Прайор, De Cycloide et de Corporibus inde Genitis…. Оксфорд: Университетское издательство. стр. 91–96.
9. ван Хёрэт, Хендрик (1659). «Epistola de transmutatione curvarum Linearum in Rectas [Письмо о превращении кривых линий в правильные]». Ренати Де-Карт Геометрия (2-е изд.). Амстердам: Луи и Даниэль Эльзевир. стр. 517–520.
10. MPEAS (псевдоним Ферма) (1660). De Linearum Curvarum cum Lineis Rectis Comparatione Dissertatio Geometrica. Тулуза: Арно Коломер.

Источники

• Фаруки, Рида Т. (1999). «Кривые из движения, движение из кривых». В Laurent, P.-J.; Sablonniere, P.; Schumaker, LL (ред.). Curve and Surface Design: Saint-Malo 1999. Vanderbilt Univ. Press. стр. 63–90. ISBN 978-0-8265-1356-4.

Внешние ссылки

• «Спрямляемая кривая», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• История кривизны
• Вайсштейн, Эрик В. «Длина дуги». MathWorld .
• Длина дуги, Эд Пегг-младший , Демонстрационный проект Вольфрама , 2007.
• Учебное пособие по исчислению – Длина дуги (Ректификация)
• Индекс знаменитых кривых Архив истории математики MacTutor
• Аппроксимация длины дуги Чада Пирсона, Джоша Фрица и Анджелы Шарп, проект Wolfram Demonstrations .
• Эксперимент по определению длины кривой. Иллюстрирует численное решение задачи нахождения длины кривой.