В математике предельные кардиналы — это определенные кардинальные числа . Кардинальное число λ является слабым предельным кардиналом, если λ не является ни последующим кардиналом , ни нулем. Это означает, что невозможно «достичь» λ из другого кардинала повторными операциями с последовательными числами. Эти кардиналы иногда называют просто «предельными кардиналами», когда контекст ясен.
Кардинал λ является сильным предельным кардиналом, если λ не может быть достигнут повторными операциями powerset . Это означает, что λ не равно нулю и для всех κ < λ , 2 κ < λ . Каждый сильный предельный кардинал также является слабым предельным кардиналом, потому что κ + ≤ 2 κ для каждого кардинала κ , где κ + обозначает последующий кардинал κ .
Первый бесконечный кардинал ( алеф-ноль ) является сильным предельным кардиналом, а следовательно, и слабым предельным кардиналом.
Одним из способов построения предельных кардиналов является операция объединения: — слабый предельный кардинал, определяемый как объединение всех алефов перед ним; и в общем случае для любого предельного ординала λ — слабый предельный кардинал.
Операция ב может быть использована для получения сильных предельных кардиналов. Эта операция представляет собой отображение из ординалов в кардиналы, определяемое как
Кардинал
является сильным предельным кардиналом конфинальности ω. В более общем случае, если задан любой ординал α , кардинал
является сильным предельным кардиналом. Таким образом, существуют произвольно большие сильные предельные кардиналы.
Если аксиома выбора верна, каждое кардинальное число имеет начальный ординал . Если этот начальный ординал равен , то кардинальное число имеет вид для того же порядкового индекса λ . Порядковый номер λ определяет, является ли слабым предельным кардиналом. Потому что если λ является последующим ординалом, то не является слабым пределом. И наоборот, если кардинальное число κ является последующим кардиналом, скажем, то Таким образом, в общем случае является слабым предельным кардиналом тогда и только тогда, когда λ равно нулю или предельному ординалу.
Хотя индекс порядкового числа говорит нам, является ли кардинал слабым пределом, он не говорит нам, является ли кардинал сильным пределом. Например, ZFC доказывает, что является слабым предельным кардиналом, но не доказывает и не опровергает, что является сильным предельным кардиналом (Hrbacek and Jech 1999:168). Обобщенная континуум-гипотеза утверждает, что для любого бесконечного кардинала κ . Согласно этой гипотезе, понятия слабых и сильных предельных кардиналов совпадают.
Вышеизложенное определяет понятие «недоступности»: мы имеем дело со случаями, когда уже недостаточно выполнить конечное число итераций операций successor и powerset; отсюда фраза «не может быть достигнуто» в обоих интуитивных определениях выше. Но «операция объединения» всегда предоставляет другой способ «доступа» к этим кардиналам (и, действительно, это касается и предельных ординалов). Более сильные понятия недоступности можно определить с помощью конфинальности . Для слабого (соответственно сильного) предельного кардинала κ требование состоит в том, чтобы cf( κ ) = κ (т. е. κ было регулярным ), так что κ не может быть выражено как сумма (объединение) менее κ меньших кардиналов. Такой кардинал называется слабо (соответственно сильно) недостижимым кардиналом . Оба предыдущих примера являются сингулярными кардиналами конфинальности ω и, следовательно, они не являются недостижимыми.
был бы недостижимым кардиналом обеих «сил», за исключением того, что определение недостижимости требует, чтобы они были несчетными. Стандартная теория множеств Цермело–Френкеля с аксиомой выбора (ZFC) не может даже доказать непротиворечивость существования недостижимого кардинала любого из видов выше из-за теоремы Гёделя о неполноте . Более конкретно, если слабо недостижимо, то . Они образуют первую в иерархии больших кардиналов .
