Установлен предел

Состояние динамической системы по истечении бесконечно долгого времени

В математике , особенно при изучении динамических систем , предельное множество — это состояние, которого достигает динамическая система по истечении бесконечного количества времени, либо двигаясь вперед, либо назад во времени. Предельные множества важны, поскольку их можно использовать для понимания долгосрочного поведения динамической системы. Система, достигшая своего предельного множества, называется равновесной .

Типы

• фиксированные точки
• периодические орбиты
• предельные циклы
• аттракторы

В общем случае предельные множества могут быть очень сложными, как в случае странных аттракторов , но для двумерных динамических систем теорема Пуанкаре–Бендиксона дает простую характеристику всех непустых компактных предельных множеств, которые содержат не более конечного числа неподвижных точек, как неподвижную точку, периодическую орбиту или объединение неподвижных точек и гомоклинических или гетероклинических орбит, соединяющих эти неподвижные точки. ${\displaystyle \omega }$

Определение для итерационных функций

Пусть будет метрическим пространством , и пусть будет непрерывной функцией . Множество -предела , обозначаемое , является множеством точек кластера прямой орбиты итерированной функции . [ ^1] Следовательно, тогда и только тогда, когда существует строго возрастающая последовательность натуральных чисел такая, что при . Другой способ выразить это: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\rightarrow X}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \omega (x,f)}$ ${\displaystyle \{f^{n}(x)\}_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y\in \omega (x,f)}$ ${\displaystyle \{n_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle f^{n_{k}}(x)\rightarrow y}$ ${\displaystyle k\rightarrow \infty }$

${\displaystyle \omega (x,f)=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }{\overline {\{f^{k}(x):k>n\}}},}$

где обозначает замыкание множества . Точки в предельном множестве не являются блуждающими (но могут не быть рекуррентными точками ). Это также можно сформулировать как внешний предел ( limsup ) последовательности множеств, такой что ${\displaystyle {\overline {S}}}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \omega (x,f)=\bigcap _{n=1}^{\infty }{\overline {\bigcup _{k=n}^{\infty }\{f^{k}(x)\}}}.}$

Если — гомеоморфизм (то есть бинепрерывная биекция), то -предельное множество определяется аналогичным образом, но для обратной орбиты; т.е. . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha (x,f)=\omega (x,f^{-1})}$

Оба множества являются -инвариантными, а если компактно , то они компактны и непусты. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$

Определение потоков

Для данной реальной динамической системы с потоком , точки , мы называем точку y предельной точкой , если существует последовательность в такой, что ${\displaystyle (T,X,\varphi )}$ ${\displaystyle \varphi :\mathbb {R} \times X\to X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (t_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }t_{n}=\infty }$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\varphi (t_{n},x)=y}$.

Для орбиты мы говорим, что она является предельной точкой , если она является предельной точкой некоторой точки на орбите. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle (T,X,\varphi )}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \omega }$

Аналогично мы называем - предельной точкой , если существует последовательность в , такая что ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (t_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }t_{n}=-\infty }$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\varphi (t_{n},x)=y}$.

Для орбиты мы говорим, что она является предельной точкой , если она является предельной точкой некоторой точки на орбите. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle (T,X,\varphi )}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \alpha }$

Множество всех -предельных точек ( -предельных точек) для данной орбиты называется -предельным множеством ( -предельным множеством ) для и обозначается ( ). ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \lim _{\omega }\gamma }$ ${\displaystyle \lim _{\alpha }\gamma }$

Если -предельное множество ( -предельное множество) не пересекается с орбитой , то есть ( ), мы называем ( ) ω-предельным циклом ( α-предельным циклом ). ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \lim _{\omega }\gamma \cap \gamma =\varnothing }$ ${\displaystyle \lim _{\alpha }\gamma \cap \gamma =\varnothing }$ ${\displaystyle \lim _{\omega }\gamma }$ ${\displaystyle \lim _{\alpha }\gamma }$

В качестве альтернативы предельные наборы могут быть определены как

${\displaystyle \lim _{\omega }\gamma :=\bigcap _{s\in \mathbb {R} }{\overline {\{\varphi (x,t):t>s\}}}}$

и

${\displaystyle \lim _{\alpha }\gamma :=\bigcap _{s\in \mathbb {R} }{\overline {\{\varphi (x,t):t<s\}}}.}$

Примеры

• Для любой периодической орбиты динамической системы, ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \lim _{\omega }\gamma =\lim _{\alpha }\gamma =\gamma }$
• Для любой фиксированной точки динамической системы, ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \lim _{\omega }x_{0}=\lim _{\alpha }x_{0}=x_{0}}$

Характеристики

• ${\displaystyle \lim _{\omega }\gamma }$и закрыты​ ${\displaystyle \lim _{\alpha }\gamma }$
• если компактно, то и непусты , компактны и связны ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lim _{\omega }\gamma }$ ${\displaystyle \lim _{\alpha }\gamma }$
• ${\displaystyle \lim _{\omega }\gamma }$и являются -инвариантными, то есть и ${\displaystyle \lim _{\alpha }\gamma }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi (\mathbb {R} \times \lim _{\omega }\gamma )=\lim _{\omega }\gamma }$ ${\displaystyle \varphi (\mathbb {R} \times \lim _{\alpha }\gamma )=\lim _{\alpha }\gamma }$

Смотрите также

• Джулия сет
• Стабильный набор
• Предельный цикл
• Периодическая точка
• Неблуждающий набор
• Группа Кляйнианцев

Ссылки

1. Аллигуд, Кэтлин Т.; Зауэр, Тим Д.; Йорк, Джеймс А. (1996). Хаос, введение в динамические системы . Springer.

Дальнейшее чтение

• Тешл, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы. Провиденс : Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-8328-0.

В данной статье использованы материалы из набора Omega-limit на PlanetMath , лицензированного по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .