Линейное уравнение

В математике линейное уравнение — это уравнение , которое можно представить в виде , где — переменные (или неизвестные ), а — коэффициенты , которые часто являются действительными числами . Коэффициенты можно рассматривать как параметры уравнения, и они могут быть произвольными выражениями , при условии, что они не содержат ни одной из переменных. Чтобы получить осмысленное уравнение, требуется, чтобы не все коэффициенты были равны нулю. $a_{1}x_{1}+\ldots +a_{n}x_{n}+b=0,$ $x_{1},\ldots ,x_{n}$ $б,а_{1},\ldots ,а_{н}$ $a_{1},\ldots ,a_{n}$

Альтернативно, линейное уравнение можно получить, приравняв к нулю линейный многочлен над некоторым полем , из которого берутся коэффициенты.

Решениями такого уравнения являются значения, которые при подстановке вместо неизвестных делают равенство верным .

В случае только одной переменной существует ровно одно решение (при условии, что ). Часто термин линейное уравнение неявно относится к этому частному случаю, в котором переменная разумно называется неизвестной . $a_{1}\neq 0$

В случае двух переменных каждое решение можно интерпретировать как декартовы координаты точки евклидовой плоскости . Решения линейного уравнения образуют линию в евклидовой плоскости, и, наоборот, каждую линию можно рассматривать как множество всех решений линейного уравнения с двумя переменными. Отсюда и происходит термин « линейный» для описания этого типа уравнений. В более общем смысле, решения линейного уравнения с $n$ переменными образуют гиперплоскость (подпространство размерности $n - 1$ ) в евклидовом пространстве размерности $n$ .

Линейные уравнения часто встречаются во всей математике и ее приложениях в физике и технике , отчасти потому, что нелинейные системы часто хорошо аппроксимируются линейными уравнениями.

В данной статье рассматривается случай одного уравнения с коэффициентами из области действительных чисел , для которого изучаются действительные решения. Все ее содержание применимо к комплексным решениям и, в более общем смысле, к линейным уравнениям с коэффициентами и решениями в любой области . Для случая нескольких одновременных линейных уравнений см. система линейных уравнений .

Одна переменная

Линейное уравнение с одной переменной $x$ можно записать как . $ax+b=0,$ $а\neq 0$

Решение есть . $x=-{\frac {b}{a}}$

Две переменные

Линейное уравнение с двумя переменными $x$ и $y$ можно записать как, где $a$ и $b$ оба не равны 0. $[$ ^1] $ax+by+c=0,$

Если $a$ и $b$ — действительные числа, то уравнение имеет бесконечно много решений.

Линейная функция

Если $b \neq 0$ , уравнение

ax+by+c=0

является линейным уравнением с одной переменной $y$ для каждого значения $x$ . Поэтому оно имеет единственное решение для $y$ , которое задается как

y=-{\frac {a}{b}}x-{\frac {c}{b}}.

Это определяет функцию . График этой функции представляет собой линию с наклоном и осью y . Функции, графиком которых является линия, в контексте исчисления обычно называются линейными функциями . Однако в линейной алгебре линейная функция — это функция, которая отображает сумму в сумму образов слагаемых. Таким образом, для этого определения указанная выше функция является линейной только при $c$ $= 0$ , то есть когда линия проходит через начало координат. Чтобы избежать путаницы, функции, графиком которых является произвольная линия, часто называют аффинными функциями , а линейные функции, такие что $c$ $= 0,$ часто называют линейными отображениями . $-{\frac {a}{b}}$ $-{\frac {c}{b}}.$

Геометрическая интерпретация

Каждое решение $(x, y)$ линейного уравнения

ax+by+c=0

можно рассматривать как декартовы координаты точки на евклидовой плоскости . При такой интерпретации все решения уравнения образуют линию , при условии, что $a$ и $b$ оба не равны нулю. И наоборот, каждая линия является множеством всех решений линейного уравнения.

Термин «линейное уравнение» берет свое начало в этом соответствии между линиями и уравнениями: линейное уравнение с двумя переменными — это уравнение, решения которого образуют линию.

Если $b \neq 0$ , линия является графиком функции x , которая была определена в предыдущем разделе. Если $b$ $= 0$ , линия является вертикальной линией (то есть линией $,$ параллельной оси $y$ ) уравнения , которое не является графиком функции $x$ . $x=-{\frac {c}{a}},$

Аналогично, если $a \neq 0$ , линия является графиком функции $y$ , а если $a = 0$ , то имеем горизонтальную линию уравнения $y=-{\frac {c}{b}}.$

Уравнение прямой

Существуют различные способы определения линии. В следующих подразделах в каждом случае приводится линейное уравнение линии.

Форма наклона-пересечения или форма градиента-пересечения

Невертикальная линия может быть определена ее наклоном $m$ и ее точкой пересечения с $осью$ $y 0$ ( координатой $y$ ее пересечения с осью $y$ ). В этом случае ее линейное уравнение можно записать

y=mx+y_{0}.

Если, кроме того, линия не горизонтальна, ее можно определить по ее наклону и ее точке пересечения $с осью x$ $x 0$ . В этом случае ее уравнение можно записать

y=m(x-x_{0}),

или, что то же самое,

y=mx-mx_{0}.

Эти формы основаны на привычке рассматривать невертикальную линию как график функции . ^[2] Для линии, заданной уравнением

ax+by+c=0,

эти формы можно легко вывести из соотношений

{\begin{aligned}m&=-{\frac {a}{b}},\\x_{0}&=-{\frac {c}{a}},\\y_{0}&=-{\frac {c}{b}}.\end{aligned}}

Форма «точка-наклон» или форма «точка-градиент»

Невертикальная линия может быть определена ее наклоном $m$ и координатами любой точки линии. В этом случае линейное уравнение линии имеет вид $x_{1},y_{1}$

y=y_{1}+m(x-x_{1}),

или

y=mx+y_{1}-mx_{1}.

Это уравнение можно также записать

y-y_{1}=m(x-x_{1})

за подчеркивание того, что наклон линии можно вычислить по координатам любых двух точек.

Форма перехвата

Прямая, которая не параллельна оси и не проходит через начало координат, пересекает оси в двух различных точках. Значения отсекаемых $x 0$ и $y 0$ этих двух точек не равны нулю, и уравнение прямой имеет вид ^[3]

{\frac {x}{x_{0}}}+{\frac {y}{y_{0}}}=1.

(Легко проверить, что линия, определяемая этим уравнением, имеет $x 0$ и $y 0$ в качестве значений пересечения).

Двухточечная форма

Даны две различные точки $(x 1, y 1)$ и $(x 2, y 2)$ , через них проходит ровно одна прямая. Существует несколько способов записать линейное уравнение этой прямой.

Если $x 1 \neq x 2$ , то наклон прямой равен Таким образом, форма точечно-наклонной функции имеет вид ^[3] ${\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.$

y-y_{1}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}(x-x_{1}).

Очищая знаменатели , получаем уравнение

(x_{2}-x_{1})(y-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x-x_{1})=0,

что справедливо также при $x 1 = x 2$ (для проверки этого достаточно убедиться, что две заданные точки удовлетворяют уравнению).

Эта форма не симметрична относительно двух заданных точек, но симметричную форму можно получить путем перегруппировки постоянных членов:

(y_{1}-y_{2})x+(x_{2}-x_{1})y+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})=0

(перестановка двух точек меняет знак левой части уравнения).

Определительная форма

Двухточечная форма уравнения прямой может быть выражена просто через определитель . Для этого есть два распространенных способа.

Уравнение является результатом раскрытия определителя в уравнении $(x_{2}-x_{1})(y-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x-x_{1})=0$

{\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}\end{vmatrix}}=0.

Уравнение можно получить, разложив по его первой строке определитель в уравнении $(y_{1}-y_{2})x+(x_{2}-x_{1})y+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})=0$

{\begin{vmatrix}x&y&1\\x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\end{vmatrix}}=0.

Помимо того, что эта форма очень проста и мнемонична, она имеет то преимущество, что является частным случаем более общего уравнения гиперплоскости , проходящей через $n$ точек в пространстве размерности $n - 1.$ Эти уравнения опираются на условие линейной зависимости точек в проективном пространстве .

Более двух переменных

Линейное уравнение с более чем двумя переменными всегда можно считать имеющим вид

a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}+b=0.

Коэффициент $b$ , часто обозначаемый как $a 0$ , называется постоянным членом (иногда абсолютным членом в старых книгах ^[4]^[5] ). В зависимости от контекста термин коэффициент может быть зарезервирован для $a i$ с $i > 0$ .

При работе с переменными обычно используют and вместо индексированных переменных. $n=3$ $x,\;y$ $z$

Решением такого уравнения является $n$ -кортеж, такой что замена каждого элемента кортежа на соответствующую переменную преобразует уравнение в истинное равенство.

Чтобы уравнение имело смысл, коэффициент хотя бы одной переменной должен быть ненулевым. Если каждая переменная имеет нулевой коэффициент, то, как упоминалось для одной переменной, уравнение либо несовместно (для $b \neq 0$ ), поскольку не имеет решения, либо все $n$ -кортежи являются решениями.

N -кортежи , являющиеся решениями линейного уравнения с $n$ переменными, являются декартовыми координатами точек $($ $n$ $- 1)$ -мерной гиперплоскости в $n$ $-мерном$ евклидовом пространстве (или аффинном пространстве, если коэффициенты являются комплексными числами или принадлежат любому полю). В случае трех переменных эта гиперплоскость является плоскостью .

Если дано линейное уравнение с $j \neq 0$ , то уравнение можно решить относительно $x$ $j,$ получив

x_{j}=-{\frac {b}{a_{j}}}-\sum _{i\in \{1,\ldots ,n\},i\neq j}{\frac {a_{i}}{a_{j}}}x_{i}.

Если коэффициенты являются действительными числами , это определяет действительную функцию $n$ действительных переменных .

Смотрите также

Примечания

^ Барнетт, Зиглер и Байлин 2008, стр. 15
^ Ларсон и Хостетлер 2007, стр. 25
^ ab Wilson & Tracey 1925, стр. 52-53
^ Чарльз Хирам Чепмен (1892). Элементарный курс теории уравнений. J. Wiley & sons. стр. 17.Выдержка из страницы 17
^ Дэвид Мартин Сенсениг (1890). Универсальные числа: продвинутая алгебра. American Book Company. стр. 113.Выдержка из страницы 113

Ссылки

Барнетт, РА; Зиглер, МР; Байлин, КЕ (2008), Математика для колледжей в бизнесе, экономике, науках о жизни и социальных науках (11-е изд.), Аппер Сэддл Ривер, Нью-Джерси: Pearson, ISBN 978-0-13-157225-6
Ларсон, Рон; Хостетлер, Роберт (2007), Precalculus:A Concise Course , Houghton Mifflin, ISBN 978-0-618-62719-6
Уилсон, WA; Трейси, JI (1925), Аналитическая геометрия (пересмотренное издание), DC Heath

Внешние ссылки

«Линейное уравнение», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]