Линейное дифференциальное уравнение

В математике линейное дифференциальное уравнение — это дифференциальное уравнение , которое определяется линейным полиномом относительно неизвестной функции и ее производных, то есть уравнение вида где a0 $($ $x$ $)$ $,$ ..., $an$ $($ $x$ $)$ и $b$ $($ $x$ $)$ — произвольные дифференцируемые функции , которые не обязательно должны быть линейными, а $y$ $'$ $, ...,$ $y$ $($ $n$ $)$ $—$ последовательные производные неизвестной функции $y$ от переменной $x$ . $a_{0}(x)y+a_{1}(x)y'+a_{2}(x)y''\cdots +a_{n}(x)y^{(n)}=b(x)$

Такое уравнение является обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ). Линейное дифференциальное уравнение может также быть линейным уравнением в частных производных (УЧП), если неизвестная функция зависит от нескольких переменных, а производные, которые появляются в уравнении, являются частными производными .

Типы решения

Линейное дифференциальное уравнение или система линейных уравнений, такие, что связанные однородные уравнения имеют постоянные коэффициенты, могут быть решены с помощью квадратур , что означает, что решения могут быть выражены в терминах интегралов . Это также верно для линейного уравнения первого порядка с непостоянными коэффициентами. Уравнение второго порядка или выше с непостоянными коэффициентами, в общем случае, не может быть решено с помощью квадратур. Для второго порядка алгоритм Ковачича позволяет решить, существуют ли решения в терминах интегралов, и вычислить их, если таковые имеются.

Решения однородных линейных дифференциальных уравнений с полиномиальными коэффициентами называются голономными функциями . Этот класс функций устойчив относительно сумм, произведений, дифференцирования , интегрирования и содержит множество обычных функций и специальных функций, таких как показательная функция , логарифм , синус , косинус , обратные тригонометрические функции , функция ошибки , функции Бесселя и гипергеометрические функции . Их представление определяющим дифференциальным уравнением и начальными условиями позволяет сделать алгоритмическими (над этими функциями) большинство операций исчисления , таких как вычисление первообразных , пределов , асимптотических разложений и числовых оценок с любой точностью с сертифицированной границей погрешности.

Основная терминология

Самый высокий порядок вывода , который появляется в (линейном) дифференциальном уравнении, — это порядок уравнения. Член $b (x)$ , который не зависит от неизвестной функции и ее производных, иногда называют постоянным членом уравнения (по аналогии с алгебраическими уравнениями ), даже когда этот член — непостоянная функция. Если постоянный член — это нулевая функция , то дифференциальное уравнение называется однородным , так как оно является однородным многочленом относительно неизвестной функции и ее производных. Уравнение, полученное путем замены в линейном дифференциальном уравнении постоянного члена нулевой функцией, называетсясвязанное однородное уравнение . Дифференциальное уравнение имеетпостоянные коэффициенты, если толькопостоянные функциипоявляются в качестве коэффициентов в связанном однородном уравнении.

Арешение дифференциального уравнения — это функция, которая удовлетворяет уравнению. Решения однородного линейного дифференциального уравнения образуютвекторное пространство. В обычном случае это векторное пространство имеет конечную размерность, равную порядку уравнения. Все решения линейного дифференциального уравнения находятся путем добавления к частному решению любого решения связанного однородного уравнения.

Линейный дифференциальный оператор

Базовый дифференциальный оператор порядка $i$ — это отображение, которое отображает любую дифференцируемую функцию в ее $i$ -ю производную или, в случае нескольких переменных, в одну из ее частных производных порядка $i$ . Обычно обозначается в случае одномерных функций и в случае функций $n$ переменных. Базовые дифференциальные операторы включают производную порядка 0, которая является тождественным отображением. ${\frac {d^{i}}{dx^{i}}}$ ${\frac {\partial ^{i_{1}+\cdots +i_{n}}}{\partial x_{1}^{i_{1}}\cdots \partial x_{n}^{i_{n}}}}$

Линейный дифференциальный оператор (сокращенно в этой статье линейный оператор или просто оператор ) — это линейная комбинация базовых дифференциальных операторов с дифференцируемыми функциями в качестве коэффициентов. В одномерном случае линейный оператор имеет, таким образом, вид ^[1] , где $a$ $0$ $($ $x$ $), ...,$ $a$ $n$ $($ $x$ $)$ — дифференцируемые функции, а неотрицательное целое число $n$ — порядок оператора (если $a$ $n$ $($ $x$ $)$ не является нулевой функцией ). $a_{0}(x)+a_{1}(x){\frac {d}{dx}}+\cdots +a_{n}(x){\frac {d^{n}}{dx^{n}}},$

Пусть $L$ — линейный дифференциальный оператор. Применение $L$ к функции $f$ обычно обозначается $Lf$ или $Lf (X)$ , если требуется указать переменную (это не следует путать с умножением). Линейный дифференциальный оператор является линейным оператором , поскольку он отображает суммы в суммы и произведение на скаляр в произведение на тот же скаляр.

Так как сумма двух линейных операторов является линейным оператором, так же как и произведение (слева) линейного оператора на дифференцируемую функцию, то линейные дифференциальные операторы образуют векторное пространство над действительными числами или над комплексными числами (в зависимости от природы рассматриваемых функций). Они также образуют свободный модуль над кольцом дифференцируемых функций.

Язык операторов допускает компактную запись дифференцируемых уравнений: если — линейный дифференциальный оператор, то уравнение можно переписать $L=a_{0}(x)+a_{1}(x){\frac {d}{dx}}+\cdots +a_{n}(x){\frac {d^{n}}{dx^{n}}},$ $a_{0}(x)y+a_{1}(x)y'+a_{2}(x)y''+\cdots +a_{n}(x)y^{(n)}=b(x)$ $Ly=b(x).$

Может быть несколько вариантов этой записи; в частности, переменная дифференциации может явно или не явно появляться в $y$ и правой части уравнения, например, $Ly (x) = b (x)$ или $Ly = b$ .

Ядром линейного дифференциального оператора является его ядро как линейного отображения, то есть векторное пространство решений (однородного) дифференциального уравнения $Ly$ $= 0$ .

В случае обыкновенного дифференциального оператора порядка n $теорема$ существования Каратеодори подразумевает, что при очень мягких условиях ядро $L$ является векторным пространством размерности $n$ , и что решения уравнения $Ly (x) = b (x)$ имеют вид , где $c$ $1$ $, ...,$ $c$ $n$ — произвольные числа. Обычно гипотезы теоремы Каратеодори выполняются в интервале $I$ , если функции $b$ $,$ $a$ $0$ $, ...,$ $a$ $n$ непрерывны в $I$ , и существует положительное действительное число $k$ такое, что $|$ $a$ $n$ $($ $x$ $)$ $| >$ $k$ для любого $x$ из $I$ . $S_{0}(x)+c_{1}S_{1}(x)+\cdots +c_{n}S_{n}(x),$

Однородное уравнение с постоянными коэффициентами

Однородное линейное дифференциальное уравнение имеет постоянные коэффициенты , если оно имеет вид где $a$ $1$ $, ...,$ $a$ $n$ — (действительные или комплексные) числа. Другими словами, оно имеет постоянные коэффициенты, если оно определяется линейным оператором с постоянными коэффициентами. $a_{0}y+a_{1}y'+a_{2}y''+\cdots +a_{n}y^{(n)}=0$

Изучение этих дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами восходит к Леонарду Эйлеру , который ввел показательную функцию $e x$ , которая является единственным решением уравнения $f' = f$ таким, что $f (0) = 1.$ Отсюда следует, что $n-$ я производная от $e cx$ равна $c n e cx$ , и это позволяет довольно легко решать однородные линейные дифференциальные уравнения.

Пусть — однородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами (то есть $a$ $0$ $, ...,$ $a$ $n$ — действительные или комплексные числа). $a_{0}y+a_{1}y'+a_{2}y''+\cdots +a_{n}y^{(n)}=0$

Поиск решений этого уравнения, имеющих вид $e αx$ , эквивалентен поиску констант $α$ таких, что Вынесение за скобки $e$ $αx$ (которое никогда не равно нулю) показывает, что $α$ должно быть корнем характеристического многочлена дифференциального уравнения, который является левой частью характеристического уравнения $a_{0}e^{\alpha x}+a_{1}\alpha e^{\alpha x}+a_{2}\alpha ^{2}e^{\alpha x}+\cdots +a_{n}\alpha ^{n}e^{\alpha x}=0.$ $a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}+\cdots +a_{n}t^{n}$ $a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}+\cdots +a_{n}t^{n}=0.$

Когда все эти корни различны , то имеется $n$ различных решений, которые не обязательно являются действительными, даже если коэффициенты уравнения действительны. Можно показать, что эти решения линейно независимы , рассматривая определитель Вандермонда значений этих решений при $x = 0, ..., n - 1.$ Вместе они образуют базис векторного пространства решений дифференциального уравнения (то есть ядро дифференциального оператора).

В случае, когда характеристический многочлен имеет только простые корни , предыдущее обеспечивает полную основу векторного пространства решений. В случае кратных корней для наличия базиса необходимо больше линейно независимых решений. Они имеют вид , где $k$ — неотрицательное целое число, $α$ — корень характеристического многочлена кратности $m$ , и $k$ $<$ $m$ . Для доказательства того, что эти функции являются решениями, можно заметить, что если $α$ — корень характеристического многочлена кратности $m$ , характеристический многочлен может быть разложен как $P$ $($ $t$ $)($ $t$ $-$ $α$ $)$ $m$ . Таким образом, применение дифференциального оператора уравнения эквивалентно применению сначала $m$ раз оператора , а затем оператора, имеющего $P$ в качестве характеристического многочлена. По теореме об экспоненциальном сдвиге , $x^{k}e^{\alpha x},$ ${\textstyle {\frac {d}{dx}}-\alpha }$ $\left({\frac {d}{dx}}-\alpha \right)\left(x^{k}e^{\alpha x}\right)=kx^{k-1}e^{\alpha x},$

и, таким образом, мы получаем ноль после $k + 1$ применения . ${\textstyle {\frac {d}{dx}}-\alpha }$

Так как, согласно основной теореме алгебры , сумма кратностей корней многочлена равна степени многочлена, то число приведенных выше решений равно порядку дифференциального уравнения, и эти решения образуют базу векторного пространства решений.

В общем случае, когда коэффициенты уравнения действительны, обычно удобнее иметь базис решений, состоящий из действительных функций . Такой базис можно получить из предыдущего базиса, заметив, что если $a + ib$ является корнем характеристического полинома, то $a - ib$ также является корнем той же кратности. Таким образом, действительный базис получается с помощью формулы Эйлера , и замены и на и . $x^{k}e^{(a+ib)x}$ $x^{k}e^{(a-ib)x}$ $x^{k}e^{ax}\cos(bx)$ $x^{k}e^{ax}\sin(bx)$

Случай второго порядка

Можно записать однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка , а его характеристический полином будет иметь вид $y''+ay'+by=0,$ $r^{2}+ar+b.$

Если $a$ и $b$ действительны , то существуют три случая решений в зависимости от дискриминанта $D = a 2 - 4 b$ . Во всех трех случаях общее решение зависит от двух произвольных констант $c 1$ и $c 2$ .

Если $D > 0$ , характеристический многочлен имеет два различных действительных корня $α$ и $β$ . В этом случае общее решение имеет вид $c_{1}e^{\alpha x}+c_{2}e^{\beta x}.$
Если $D = 0$ , характеристический многочлен имеет двойной корень $- a /2$ , и общее решение имеет вид $(c_{1}+c_{2}x)e^{-ax/2}.$
Если $D < 0$ , характеристический многочлен имеет два комплексно-сопряженных корня $α \pm βi$ , и общее решение имеет вид , которое можно переписать в действительных числах, используя формулу Эйлера как $c_{1}e^{(\alpha +\beta i)x}+c_{2}e^{(\alpha -\beta i)x},$ $e^{\alpha x}(c_{1}\cos(\beta x)+c_{2}\sin(\beta x)).$

Найдя решение $y (x),$ удовлетворяющее $y (0) = d 1$ и $y'(0) = d 2$ , можно приравнять значения вышеуказанного общего решения в точке $0$ и его производной там к $d 1$ и $d 2$ соответственно. Это приводит к линейной системе двух линейных уравнений относительно двух неизвестных $c 1$ и $c 2$ . Решение этой системы дает решение так называемой задачи Коши , в которой указаны значения в точке $0$ для решения DEQ и его производной.

Неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами

Неоднородное уравнение порядка $n$ с постоянными коэффициентами можно записать так, где $a$ $1$ $, ...,$ $a$ $n$ — действительные или комплексные числа, $f$ — заданная функция $x$ , а $y$ — неизвестная функция (для простоты « ( $x$ $)$ $»$ далее будет опущено). $y^{(n)}(x)+a_{1}y^{(n-1)}(x)+\cdots +a_{n-1}y'(x)+a_{n}y(x)=f(x),$

Существует несколько методов решения такого уравнения. Лучший метод зависит от природы функции $f$ , которая делает уравнение неоднородным. Если $f$ является линейной комбинацией показательной и синусоидальной функций, то можно использовать формулу показательной реакции . Если, в более общем смысле, $f$ является линейной комбинацией функций вида $x n e ax$ , $x n cos(ax)$ и $x n sin(ax)$ , где $n$ — неотрицательное целое число, а $a —$ константа (которая не обязательно должна быть одинаковой в каждом члене), то можно использовать метод неопределенных коэффициентов . Еще более общий метод аннигилятора применяется, когда $f$ удовлетворяет однородному линейному дифференциальному уравнению, как правило, голономной функции .

Наиболее общим методом является вариация констант , которая представлена здесь.

Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид где $($ $y$ $1$ $, ...,$ $y$ $n$ $)$ является базисом векторного пространства решений, а $u$ $1$ $, ...,$ $u$ $n$ являются произвольными константами. Метод вариации констант берет свое название от следующей идеи. Вместо того чтобы рассматривать $u$ $1$ $, ...,$ $u$ $n$ как константы, их можно рассматривать как неизвестные функции, которые должны быть определены для того, чтобы сделать $y$ решением неоднородного уравнения. Для этой цели добавляются ограничения , которые подразумевают (по правилу произведения и индукции ) для $i$ $= 1, ...,$ $n$ $- 1$ , и $y^{(n)}+a_{1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{n-1}y'+a_{n}y=0$ $y=u_{1}y_{1}+\cdots +u_{n}y_{n},$ ${\begin{aligned}0&=u'_{1}y_{1}+u'_{2}y_{2}+\cdots +u'_{n}y_{n}\\0&=u'_{1}y'_{1}+u'_{2}y'_{2}+\cdots +u'_{n}y'_{n}\\&\;\;\vdots \\0&=u'_{1}y_{1}^{(n-2)}+u'_{2}y_{2}^{(n-2)}+\cdots +u'_{n}y_{n}^{(n-2)},\end{aligned}}$ $y^{(i)}=u_{1}y_{1}^{(i)}+\cdots +u_{n}y_{n}^{(i)}$ $y^{(n)}=u_{1}y_{1}^{(n)}+\cdots +u_{n}y_{n}^{(n)}+u'_{1}y_{1}^{(n-1)}+u'_{2}y_{2}^{(n-1)}+\cdots +u'_{n}y_{n}^{(n-1)}.$

Заменяя в исходном уравнении $y$ и его производные этими выражениями и используя тот факт, что $y 1, ..., y n$ являются решениями исходного однородного уравнения, получаем $f=u'_{1}y_{1}^{(n-1)}+\cdots +u'_{n}y_{n}^{(n-1)}.$

Это уравнение и приведенные выше уравнения с $0$ в качестве левой части образуют систему из $n$ линейных уравнений относительно $u' 1, ..., u' n ,$ коэффициенты которых являются известными функциями ( $f$ , $y i$ и их производными). Эту систему можно решить любым методом линейной алгебры . Вычисление первообразных дает $u 1, ..., u n$ , а затем $y = u 1 y 1 + \dots + u n y n$ .

Поскольку первообразные определены с точностью до прибавления константы, то снова обнаруживается, что общее решение неоднородного уравнения является суммой произвольного решения и общего решения связанного с ним однородного уравнения.

Уравнение первого порядка с переменными коэффициентами

Общий вид линейного обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка после деления коэффициента при $y'(x)$ имеет вид: $y'(x)=f(x)y(x)+g(x).$

Если уравнение однородно, т.е. $g (x) = 0 , его можно переписать$ $и$ проинтегрировать: где $k$ — произвольная константа интегрирования , а — любая первообразная f . Таким образом, общее решение однородного уравнения — где $c$ $=$ $e$ $k$ — произвольная константа. ${\frac {y'}{y}}=f,\qquad \log y=k+F,$ $F=\textstyle \int f\,dx$ $y=ce^{F},$

Для общего неоднородного уравнения полезно умножить обе части уравнения на обратную величину $e - F$ решения однородного уравнения. ^[2] Это дает Поскольку правило произведения позволяет переписать уравнение в виде Таким образом , общее решение имеет вид где $c$ — константа интегрирования, а $F$ — любая первообразная $f$ (изменение первообразной равно изменению константы интегрирования). $y'e^{-F}-yfe^{-F}=ge^{-F}.$ $-fe^{-F}={\tfrac {d}{dx}}\left(e^{-F}\right),$ ${\frac {d}{dx}}\left(ye^{-F}\right)=ge^{-F}.$ $y=ce^{F}+e^{F}\int ge^{-F}dx,$

Пример

Решение уравнения Соответствующее однородное уравнение дает , что $y'(x)+{\frac {y(x)}{x}}=3x.$ $y'(x)+{\frac {y(x)}{x}}=0$ ${\frac {y'}{y}}=-{\frac {1}{x}},$ $y={\frac {c}{x}}.$

Разделив исходное уравнение на одно из этих решений, получаем То есть и Для начального условия получаем частное решение $xy'+y=3x^{2}.$ $(xy)'=3x^{2},$ $xy=x^{3}+c,$ $y(x)=x^{2}+c/x.$ $y(1)=\alpha ,$ $y(x)=x^{2}+{\frac {\alpha -1}{x}}.$

Система линейных дифференциальных уравнений

Система линейных дифференциальных уравнений состоит из нескольких линейных дифференциальных уравнений, которые содержат несколько неизвестных функций. В общем случае исследование ограничивается системами, в которых число неизвестных функций равно числу уравнений.

Произвольное линейное обыкновенное дифференциальное уравнение и система таких уравнений могут быть преобразованы в систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка путем добавления переменных для всех производных, кроме производных самого высокого порядка. То есть, если ⁠ ⁠ $y',y'',\ldots ,y^{(k)}$ появляются в уравнении, их можно заменить новыми неизвестными функциями ⁠ ⁠, $y_{1},\ldots ,y_{k}$ которые должны удовлетворять уравнениям ⁠ ⁠ $y'=y_{1}$ и ⁠ ⁠ $y_{i}'=y_{i+1},$ для $i = 1, ..., k - 1$ .

Линейная система первого порядка, которая имеет $n$ неизвестных функций и $n$ дифференциальных уравнений, обычно может быть решена относительно производных неизвестных функций. Если это не так, то это дифференциально-алгебраическая система , и это другая теория. Поэтому рассматриваемые здесь системы имеют вид, где ⁠ ⁠ и ⁠ ⁠ являются функциями $x$ . В матричной записи эта система может быть записана (опуская " $($ $x$ $)$ ") ${\begin{aligned}y_{1}'(x)&=b_{1}(x)+a_{1,1}(x)y_{1}+\cdots +a_{1,n}(x)y_{n}\\[1ex]&\;\;\vdots \\[1ex]y_{n}'(x)&=b_{n}(x)+a_{n,1}(x)y_{1}+\cdots +a_{n,n}(x)y_{n},\end{aligned}}$ $b_{n}$ $a_{i,j}$ $\mathbf {y} '=A\mathbf {y} +\mathbf {b} .$

Метод решения аналогичен методу решения отдельных линейных дифференциальных уравнений первого порядка, но со сложностями, вытекающими из некоммутативности умножения матриц.

Пусть будет однородным уравнением, связанным с указанным выше матричным уравнением. Его решения образуют векторное пространство размерности $n$ и, следовательно, являются столбцами квадратной матрицы функций ⁠ ⁠ , определитель которой не является нулевой функцией. Если $n$ $= 1$ или $A$ является матрицей констант, или, в более общем случае, если $A$ коммутирует со своей первообразной ⁠ ⁠ , то можно выбрать $U$ равным экспоненте B . Фактически, в этих случаях можно иметь В общем случае для однородного уравнения нет замкнутого решения, и нужно использовать либо численный метод , либо метод приближения, такой как разложение Магнуса $.$ $\mathbf {u} '=A\mathbf {u} .$ $U(x)$ $\textstyle B=\int Adx$ ${\frac {d}{dx}}\exp(B)=A\exp(B).$

Зная матрицу $U$ , общее решение неоднородного уравнения имеет вид где матрица-столбец — произвольная константа интегрирования . $\mathbf {y} (x)=U(x)\mathbf {y_{0}} +U(x)\int U^{-1}(x)\mathbf {b} (x)\,dx,$ $\mathbf {y_{0}}$

Если заданы начальные условия, то решение, удовлетворяющее этим начальным условиям, равно $\mathbf {y} (x_{0})=\mathbf {y} _{0},$ $\mathbf {y} (x)=U(x)U^{-1}(x_{0})\mathbf {y_{0}} +U(x)\int _{x_{0}}^{x}U^{-1}(t)\mathbf {b} (t)\,dt.$

Высший порядок с переменными коэффициентами

Линейное обыкновенное уравнение первого порядка с переменными коэффициентами может быть решено с помощью квадратуры , что означает, что решения могут быть выражены в терминах интегралов . Это не относится к порядку не ниже второго. Это основной результат теории Пикара–Вессио , которая была инициирована Эмилем Пикаром и Эрнестом Весио , и чьи недавние разработки называются дифференциальной теорией Галуа .

Невозможность решения с помощью квадратур можно сравнить с теоремой Абеля–Руффини , которая утверждает, что алгебраическое уравнение степени не ниже пятой, вообще говоря, не может быть решено с помощью радикалов. Эта аналогия распространяется на методы доказательства и мотивирует название дифференциальной теории Галуа .

Подобно алгебраическому случаю, теория позволяет решить, какие уравнения могут быть решены с помощью квадратуры, и, если возможно, решить их. Однако для обеих теорий необходимые вычисления чрезвычайно сложны, даже с самыми мощными компьютерами.

Тем не менее, случай второго порядка с рациональными коэффициентами был полностью решен алгоритмом Ковачича .

Уравнение Коши–Эйлера

Уравнения Коши–Эйлера являются примерами уравнений любого порядка с переменными коэффициентами, которые могут быть решены явно. Это уравнения вида , где ⁠ ⁠ — постоянные коэффициенты. $x^{n}y^{(n)}(x)+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}(x)+\cdots +a_{0}y(x)=0,$ $a_{0},\ldots ,a_{n-1}$

Голономные функции

Голономная функция , также называемая D-конечной функцией , — это функция, являющаяся решением однородного линейного дифференциального уравнения с полиномиальными коэффициентами.

Большинство функций, которые обычно рассматриваются в математике, являются голономными или частными голономных функций. Фактически, голономные функции включают в себя полиномы , алгебраические функции , логарифм , показательную функцию , синус , косинус , гиперболический синус , гиперболический косинус , обратные тригонометрические и обратные гиперболические функции , а также множество специальных функций , таких как функции Бесселя и гипергеометрические функции .

Голономные функции имеют несколько свойств замыкания ; в частности, суммы, произведения, производные и интегралы голономных функций являются голономными. Более того, эти свойства замыкания эффективны в том смысле, что существуют алгоритмы для вычисления дифференциального уравнения результата любой из этих операций, зная дифференциальные уравнения входных данных. ^[3]

Полезность концепции голономных функций вытекает из теоремы Зейльбергера, которая следует ниже. ^[3]

Голономная последовательность — это последовательность чисел, которая может быть сгенерирована рекуррентным соотношением с полиномиальными коэффициентами. Коэффициенты ряда Тейлора в точке голономной функции образуют голономную последовательность. Наоборот, если последовательность коэффициентов степенного ряда голономна, то ряд определяет голономную функцию (даже если радиус сходимости равен нулю). Существуют эффективные алгоритмы для обоих преобразований, то есть для вычисления рекуррентного соотношения из дифференциального уравнения, и наоборот . ^[3]

Из этого следует, что если представить (на компьютере) голономные функции с помощью их определяющих дифференциальных уравнений и начальных условий, то большинство операций исчисления можно выполнить автоматически над этими функциями, например, производная , неопределенный и определенный интеграл , быстрое вычисление ряда Тейлора (благодаря рекуррентному соотношению его коэффициентов), оценка с высокой точностью с сертифицированной границей погрешности аппроксимации, пределы , локализация особенностей , асимптотическое поведение на бесконечности и вблизи особенностей, доказательство тождеств и т. д. ^[4]

Смотрите также

Ссылки

^ Гершенфельд 1999, стр.9
^ Мотивация: По аналогии с техникой завершения квадрата мы записываем уравнение как $y' - fy = g$ и пытаемся изменить левую часть так, чтобы она стала производной. В частности, мы ищем "интегрирующий множитель" $h = h (x)$ такой, что умножение на него делает левую часть равной производной $hy$ , а именно $hy' - hfy = (hy)'$ . Это означает $h' = - hf$ , так что $h = e -\int f dx = e - F$ , как в тексте.
^ abc Zeilberger, Doron. Подход голономных систем к специальным функциональным тождествам . Журнал вычислительной и прикладной математики. 32.3 (1990): 321-368
^ Benoit, A., Chyzak, F., Darrasse, A., Gerhold, S., Mezzarobba, M., & Salvy, B. (2010, сентябрь). Динамический словарь математических функций (DDMF) . В Международном конгрессе по математическому программному обеспечению (стр. 35-41). Springer, Берлин, Гейдельберг.

Биркгофф, Гарретт и Рота, Джан-Карло (1978), Обыкновенные дифференциальные уравнения , Нью-Йорк: John Wiley and Sons, Inc., ISBN 0-471-07411-X
Гершенфельд, Нил (1999), Природа математического моделирования , Кембридж, Великобритания.: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-57095-4
Робинсон, Джеймс С. (2004), Введение в обыкновенные дифференциальные уравнения , Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press, ISBN 0-521-82650-0

Внешние ссылки

http://eqworld.ipmnet.ru/solutions/ode.htm
Динамический словарь математических функций. Автоматическое и интерактивное изучение многих голономных функций.