Ссылка на группу

Аналог узловой группы

В теории узлов , области математики , группа зацепления зацепления является аналогом группы узла узла . Они были описаны Джоном Милнором в его докторской диссертации (Milnor 1954). Примечательно, что группа зацепления в общем случае не является фундаментальной группой дополнения зацепления .

Определение

Связь Уайтхеда гомотопна несвязной связи , но не изотопна несвязной связи.

Группа зацеплений n- компонентного зацепления по сути представляет собой набор ( n  + 1)-компонентных зацеплений, расширяющих это зацепление до гомотопии зацепления. Другими словами, каждый компонент расширенной связи может перемещаться через регулярную гомотопию (гомотопию через погружения ), завязывая или распутывая себя, но не может перемещаться через другие компоненты. Это более слабое условие, чем изотопия: например, связь Уайтхеда имеет число связей  0, и, таким образом, является связью, гомотопной к несвязке , но не изотопной к несвязке.

Группа зацепления не является фундаментальной группой дополнения зацепления , поскольку компоненты зацепления могут проходить сквозь себя, но не друг сквозь друга, но, таким образом, является фактор-группой фундаментальной группы дополнения зацепления, поскольку можно начать с элементов фундаментальной группы, а затем, связывая или расвязывая компоненты, некоторые из этих элементов могут стать эквивалентными друг другу.

Примеры

Группа связей n -компонентной несвязанной связи является свободной группой с n образующими , так как группа связей одиночной связи является группой узлов несвязанной связи , которая представляет собой целые числа, а группа связей несвязанного объединения является свободным произведением групп связей компонентов. ${\displaystyle F_{n}}$

Группа связей Хопфа : ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{2}.}$

Группа зацепления зацепления Хопфа , простейшего нетривиального зацепления – двух окружностей, зацепленных один раз – является свободной абелевой группой с двумя образующими. Обратите внимание, что группа зацепления двух несцепленных окружностей является свободной неабелевой группой с двумя образующими, фактор- группой которой является свободная абелева группа с двумя образующими . В этом случае группа зацепления является фундаментальной группой дополнения зацепления, поскольку деформация дополнения зацепления стягивается на тор. ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{2}.}$

Связь Уайтхеда гомотопна несвязной связи, хотя она и не изотопна несвязной связи, и, таким образом, имеет группу связей, свободную группу на двух генераторах.

Инварианты Милнора

Милнор определил инварианты связи (функции на группе связей) в (Milnor 1954), используя символ , который поэтому стал называться « μ -bar инвариантами Милнора», или просто «инвариантами Милнора». Для каждого k существует k -арная функция , которая определяет инварианты в соответствии с тем, какие k связей выбираются и в каком порядке. ${\displaystyle {\bar {\mu }},}$ ${\displaystyle {\bar {\mu }},}$

Инварианты Милнора можно связать с произведениями Мэсси по дополнению зацепления (дополнению зацепления); это было предложено в (Сталлингс, 1965) и уточнено в (Тураев, 1976) и (Портер, 1980).

Как и в случае с произведениями Масси, инварианты Милнора длины k  + 1 определяются, если все инварианты Милнора длины, меньшей или равной k, равны нулю. Первый (2-кратный) инвариант Милнора — это просто число зацепления (так же, как 2-кратное произведение Масси — это произведение чашек, которое является двойственным к пересечению), в то время как 3-кратный инвариант Милнора измеряет, являются ли 3 попарно несвязанных окружности кольцами Борромео , и если да, то в некотором смысле, сколько раз (то есть кольца Борромео имеют 3-кратный инвариант Милнора 1 или –1, в зависимости от порядка, но другие 3-элементные связи могут иметь инвариант 2 или более, так же как числа зацепления могут быть больше 1).

Другое определение следующее: рассмотрим связь . Предположим, что для и . Выберите любые поверхности Зейферта для соответствующих компонентов связи, скажем, , такие, что для всех . Тогда 3-кратный инвариант Милнора равен минус числу точек пересечения при подсчете со знаками; (Cochran 1990). ${\displaystyle L=L_{1}\cup L_{2}\cup L_{3}}$ ${\displaystyle {\rm {lk}}(L_{i},L_{j})=0}$ ${\displaystyle i,j=1,2,3}$ ${\displaystyle i<j}$ ${\displaystyle F_{1},F_{2},F_{3}}$ ${\displaystyle F_{i}\cap L_{j}=\emptyset }$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle F_{1}\cap F_{2}\cap F_{3}}$

Инварианты Милнора также могут быть определены, если инварианты низшего порядка не обращаются в нуль, но тогда возникает неопределенность, которая зависит от значений инвариантов низшего порядка. Эту неопределенность можно понимать геометрически как неопределенность в выражении связи как замкнутой струнной связи, как обсуждается ниже (ее также можно рассматривать алгебраически как неопределенность произведений Масси, если произведения Масси низшего порядка не обращаются в нуль).

Инварианты Милнора можно рассматривать как инварианты строковых связей , в этом случае они универсально определены, и неопределенность инварианта Милнора связи обусловлена ​​именно множественными способами, которыми данная связь может быть разрезана на строковую связь; это позволяет классифицировать связи вплоть до гомотопии связи, как в (Habegger & Lin 1990). Рассматриваемые с этой точки зрения, инварианты Милнора являются инвариантами конечного типа , и на самом деле они (и их произведения) являются единственными рациональными инвариантами конечного типа согласования строковых связей; (Habegger & Masbaum 2000).

Число линейно независимых инвариантов Милнора длины для m -компонентных зацеплений равно , где — число базисных коммутаторов длины k в свободной алгебре Ли на m образующих, а именно: ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle mN_{k}-N_{k+1}}$ ${\displaystyle N_{k}}$

${\displaystyle N_{k}={\frac {1}{k}}\sum _{d|m}\phi (d)\left(m^{k/d}\right)}$,

где — функция Мёбиуса ; см., например, (Орр 1989). Это число растет на порядок . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle m^{k+1}/k^{2}}$

Приложения

Группы связей можно использовать для классификации связей Брунна .

Смотрите также

• Группа узлов
• Регулярная гомотопия

Ссылки

• Кокран, Тим Д. (1990), «Производные связей: инварианты согласования Милнора и произведения Мэсси», Мемуары Американского математического общества , 84 (427), Американское математическое общество, doi :10.1090/memo/0427
• Хабеггер, Натан; Линь, Сяо Сун (1990), «Классификация связей с точностью до гомотопии», Журнал Американского математического общества , 2, 3 (2), Американское математическое общество: 389–419, doi : 10.2307/1990959 , JSTOR  1990959
• Хабеггер, Натан; Масбаум, Грегор (2000), «Интеграл Концевича и инварианты Милнора», Топология , 39 (6): 1253–1289, doi : 10.1016/S0040-9383(99)00041-5 , MR  1783857
• Милнор, Джон (март 1954 г.), «Группы связей», Annals of Mathematics , 59 (2), Annals of Mathematics: 177–195, doi : 10.2307/1969685, JSTOR  1969685, MR  0071020
• Орр, Кент Э. (1989), «Гомотопические инварианты связей», Inventiones Mathematicae , 95 (2): 379–394, doi : 10.1007/BF01393902, MR  0974908, S2CID  120916814
• Портер, Ричард Д. (1980), « μ -инварианты Милнора и произведения Масси», Труды Американского математического общества , 257 (1), Американское математическое общество: 39–71, doi :10.2307/1998124, JSTOR  1998124, MR  0549154
• Столлингс, Джон Р. (1965), «Гомологии и центральные ряды групп», Журнал алгебры , 2 (2): 170–181, doi :10.1016/0021-8693(65)90017-7, MR  0175956
• Тураев Владимир Г. (1976), "Инварианты Милнора и произведения Мэсси", Зап. Научн. Сем. Ленинград. Отдел. Мат. Инст. Стеклов. (ЛОМИ) , Исследования по топологии-II, 66 : 189–203, МР  0451251