Локализация категории

В математике локализация категории состоит из добавления к категории обратных морфизмов для некоторого набора морфизмов, ограничивая их, чтобы они стали изоморфизмами . Это формально похоже на процесс локализации кольца ; в общем случае это делает объекты изоморфными, которые не были таковыми ранее. В теории гомотопии , например, существует много примеров отображений, которые обратимы с точностью до гомотопии; и так большие классы гомотопически эквивалентных пространств ^{[ необходимо разъяснение ]} . Исчисление дробей — это другое название для работы в локализованной категории.

Введение и мотивация

Категория C состоит из объектов и морфизмов между этими объектами. Морфизмы отражают отношения между объектами. Во многих ситуациях имеет смысл заменить C другой категорией C' , в которой определенные морфизмы принудительно становятся изоморфизмами. Этот процесс называется локализацией.

Например, в категории R - модулей (для некоторого фиксированного коммутативного кольца R ) умножение на фиксированный элемент r из R обычно (т.е. если r не является единицей ) не является изоморфизмом:

${\displaystyle M\to M\quad m\mapsto r\cdot m.}$

Категория , которая наиболее тесно связана с R -модулями, но где это отображение является изоморфизмом , оказывается категорией -модулей. Вот локализация R относительно (мультипликативно замкнутого) подмножества S , состоящего из всех степеней r , Выражение «наиболее тесно связано» формализуется двумя условиями: во-первых, существует функтор ${\displaystyle R[S^{-1}]}$ ${\displaystyle R[S^{-1}]}$ ${\displaystyle S=\{1,r,r^{2},r^{3},\dots \}}$

${\displaystyle \varphi :{\text{Mod}}_{R}\to {\text{Mod}}_{R[S^{-1}]}\quad M\mapsto M[S^{-1}]}$

отправляя любой R -модуль в его локализацию относительно S. Более того, задана любая категория C и любой функтор

${\displaystyle F:{\text{Mod}}_{R}\to C}$

отправляя отображение умножения на r на любом R -модуле (см. выше) в изоморфизм C , существует единственный функтор

${\displaystyle G:{\text{Mod}}_{R[S^{-1}]}\to C}$

таким образом, что . ${\displaystyle F=G\circ \varphi }$

Локализация категорий

Вышеприведенные примеры локализации R -модулей абстрагируются в следующем определении. В этой форме они применяются во многих других примерах, некоторые из которых набросаны ниже.

Если задана категория C и некоторый класс W морфизмов в C , то локализация C [ W ⁻¹ ] является другой категорией, которая получается путем инвертирования всех морфизмов в W . Более формально, она характеризуется универсальным свойством : существует естественный функтор локализации C → C [ W ⁻¹ ], а если задана другая категория D , то функтор F : C → D однозначно факторизуется над C [ W ⁻¹ ] тогда и только тогда, когда F переводит все стрелки в W в изоморфизмы.

Таким образом, локализация категории является единственной с точностью до единственного изоморфизма категорий, при условии, что он существует. Одна конструкция локализации выполняется путем объявления, что ее объекты такие же, как в C , но морфизмы улучшаются путем добавления формального обратного для каждого морфизма в W . При подходящих гипотезах относительно W , ^[1] морфизмы из объекта X в объект Y задаются крышами

${\displaystyle X{\stackrel {f}{\leftarrow }}X'\rightarrow Y}$

(где X' — произвольный объект C , а f — в заданном классе морфизмов W ), по модулю некоторых отношений эквивалентности. Эти отношения превращают отображение, идущее в «неправильном» направлении, в обратное к f . Это «исчисление дробей» можно рассматривать как обобщение построения рациональных чисел как классов эквивалентности пар целых чисел.

Однако эта процедура в общем случае дает правильный класс морфизмов между X и Y. Обычно морфизмам в категории разрешено только образовывать множество. Некоторые авторы просто игнорируют такие теоретико-множественные вопросы.

Категории моделей

Строгое построение локализации категорий, избегающее этих теоретико-множественных проблем, было одной из первоначальных причин развития теории модельных категорий : модельная категория M — это категория, в которой есть три класса отображений; один из этих классов — класс слабых эквивалентностей . Гомотопическая категория Ho( M ) тогда является локализацией относительно слабых эквивалентностей. Аксиомы модельной категории гарантируют, что эта локализация может быть определена без теоретико-множественных трудностей.

Альтернативное определение

Некоторые авторы также определяют локализацию категории C как идемпотентный и коаугментированный функтор. Коаугментированный функтор — это пара (L,l) , где L:C → C — эндофунктор , а l:Id → L — естественное преобразование из тождественного функтора в L (называемое коаугментацией). Коаугментированный функтор является идемпотентным, если для каждого X оба отображения L(l _X ),l _L(X) :L(X) → LL(X) являются изоморфизмами. Можно доказать, что в этом случае оба отображения равны. ^[2]

Это определение связано с данным выше следующим образом: применяя первое определение, во многих ситуациях существует не только канонический функтор , но и функтор в противоположном направлении, ${\displaystyle C\to C[W^{-1}]}$

${\displaystyle C[W^{-1}]\to C.}$

Например, модули над локализацией кольца также являются модулями над самим R , что дает функтор ${\displaystyle R[S^{-1}]}$

${\displaystyle {\text{Mod}}_{R[S^{-1}]}\to {\text{Mod}}_{R}}$

В этом случае состав

${\displaystyle L:C\to C[W^{-1}]\to C}$

является локализацией C в смысле идемпотентного и коаугментированного функтора.

Примеры

СерраС-теория

Серр ввел идею работы в гомотопической теории по модулю некоторого класса C абелевых групп . Это означало, что группы A и B рассматривались как изоморфные, если, например, A /B лежало в C.

Теория модулей

В теории модулей над коммутативным кольцом R , когда R имеет размерность Крулля ≥ 2, может быть полезно рассматривать модули M и N как псевдоизоморфные, если M/N имеет носитель коразмерности не менее двух. Эта идея широко используется в теории Ивасавы .

Производные категории

Производная категория абелевой категории широко используется в гомологической алгебре . Она представляет собой локализацию категории цепных комплексов (с точностью до гомотопии) относительно квазиизоморфизмов .

Частные абелевых категорий

Если заданы абелева категория A и подкатегория Серра B, можно определить факторкатегорию A/B, которая является абелевой категорией, снабженной точным функтором из A в A/B, который по существу сюръективен и имеет ядро ​​B. Эта факторкатегория может быть построена как локализация A по классу морфизмов, ядро ​​и коядро которых принадлежат B.

Абелевы многообразия с точностью до изогении

Изогения из абелева многообразия A в другое многообразие B является сюръективным морфизмом с конечным ядром . Некоторые теоремы об абелевых многообразиях требуют идеи абелева многообразия с точностью до изогении для их удобной формулировки. Например, если задано абелево подмногообразие A ₁ многообразия A , то существует другое подмногообразие A ₂ многообразия A такое, что

А1 × А2_​​

изогенно A (теорема о сводимости Пуанкаре: см., например, Abelian Varieties Дэвида Мамфорда ) . Чтобы назвать это разложением в прямую сумму , мы должны работать в категории абелевых многообразий с точностью до изогении.

Связанные концепции

Локализация топологического пространства , введенная Деннисом Салливаном , создает другое топологическое пространство, гомология которого является локализацией гомологии исходного пространства.

Гораздо более общая концепция из гомотопической алгебры , включающая в себя в качестве частных случаев как локализацию пространств, так и категорий, — это локализация Боусфилда модельной категории . Локализация Боусфилда заставляет определенные отображения становиться слабыми эквивалентностями , что в общем случае слабее, чем заставить их стать изоморфизмами. ^[3]

Смотрите также

• Симплициальная локализация

Ссылки

1. Габриэль, Пьер ; Зисман, Мишель (1967). Исчисление дробей и теория гомотопий (PDF) . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 35. Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 12.
2. Идемпотенты в моноидальных категориях
3. Филип С. Хиршхорн: Категории моделей и их локализации , 2003, ISBN 0-8218-3279-4 ., Определение 3.3.1