Местное кольцо

(Математическое) кольцо с единственным максимальным идеалом

В математике , а точнее в теории колец , локальные кольца — это некоторые кольца , которые сравнительно просты и служат для описания того, что называется «локальным поведением», в смысле функций, определенных на алгебраических многообразиях или многообразиях , или полей алгебраических чисел, рассматриваемых в определенном месте , или простом. Локальная алгебра — это раздел коммутативной алгебры , который изучает коммутативные локальные кольца и их модули .

На практике коммутативное локальное кольцо часто возникает в результате локализации кольца в простом идеале .

Концепция локальных колец была введена Вольфгангом Круллем в 1938 году под названием Stellenringe . ^[1] Английский термин local ring принадлежит Зарисскому . ^[2]

Определение и первые последствия

Кольцо R является локальным кольцом, если оно обладает любым из следующих эквивалентных свойств:

• R имеет единственный максимальный левый идеал .
• R имеет единственный максимальный правый идеал.
• 1 ≠ 0 и сумма любых двух неединиц в R является неединицей.
• 1 ≠ 0 и если x — любой элемент R , то x или 1 − x — единица.
• Если конечная сумма является единицей, то она имеет член, который является единицей (это, в частности, говорит о том, что пустая сумма не может быть единицей, поэтому это подразумевает, что 1 ≠ 0).

Если эти свойства выполняются, то единственный максимальный левый идеал совпадает с единственным максимальным правым идеалом и с радикалом Джекобсона кольца . Третье из перечисленных выше свойств гласит, что множество неединиц в локальном кольце образует (собственный) идеал, ^[3] обязательно содержащийся в радикале Джекобсона. Четвертое свойство можно перефразировать следующим образом: кольцо R является локальным тогда и только тогда, когда не существует двух взаимно простых собственных ( главных ) (левых) идеалов, где два идеала I ₁ , I ₂ называются взаимно простыми , если R = I ₁ + I ₂ .

^[4] В случае коммутативных колец не нужно различать левые, правые и двусторонние идеалы: коммутативное кольцо локально тогда и только тогда, когда оно имеет единственный максимальный идеал. Примерно до 1960 года многие авторы требовали, чтобы локальное кольцо было (левым и правым) нётеровым , а (возможно, не нётеровы) локальные кольца назывались квазилокальными кольцами . В этой статье это требование не предъявляется.

Локальное кольцо, являющееся целостной областью, называется локальной областью .

Примеры

• Все поля (и тела ) являются локальными кольцами, поскольку {0} — единственный максимальный идеал в этих кольцах.
• Кольцо является локальным кольцом ( p простое, n ≥ 1 ). Единственный максимальный идеал состоит из всех кратных p . ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$
• В более общем смысле ненулевое кольцо, в котором каждый элемент является либо единицей, либо нильпотентом, называется локальным кольцом.
• Важным классом локальных колец являются кольца дискретного нормирования , которые представляют собой локальные области главных идеалов , не являющиеся полями.
• Кольцо , элементы которого являются бесконечными рядами , где умножения задаются таким образом, что , является локальным. Его единственный максимальный идеал состоит из всех элементов, которые необратимы. Другими словами, он состоит из всех элементов с постоянным членом ноль. ${\displaystyle \mathbb {C} [[x]]}$ ${\textstyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}}$ ${\textstyle (\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i})(\sum _{i=0}^{\infty }b_{i}x^{i})=\sum _{i=0}^{\infty }c_{i}x^{i}}$ ${\textstyle c_{n}=\sum _{i+j=n}a_{i}b_{j}}$
• В более общем смысле, каждое кольцо формальных степенных рядов над локальным кольцом является локальным; максимальный идеал состоит из тех степенных рядов, у которых постоянный член находится в максимальном идеале базового кольца.
• Аналогично, алгебра дуальных чисел над любым полем является локальной. В более общем случае, если F — локальное кольцо, а n — положительное целое число, то фактор-кольцо F [ X ]/( X ⁿ ) является локальным с максимальным идеалом, состоящим из классов многочленов с постоянным членом, принадлежащим максимальному идеалу F , поскольку можно использовать геометрическую прогрессию для инвертирования всех других многочленов по модулю X ⁿ . Если F — поле, то элементы F [ X ]/( X ⁿ ) либо нильпотентны , либо обратимы . (Двойственные числа над F соответствуют случаю n = 2 .)
• Ненулевые частные кольца локальных колец являются локальными.
• Кольцо рациональных чисел с нечетным знаменателем локально; его максимальный идеал состоит из дробей с четным числителем и нечетным знаменателем. Это целые числа, локализованные в точке 2.
• В более общем случае, если задано любое коммутативное кольцо R и любой простой идеал P кольца R , то локализация R в P является локальной ; максимальный идеал — это идеал, порожденный P в этой локализации; то есть максимальный идеал состоит из всех элементов a / s с a ∈ P и s ∈ R - P.

Не примеры

• Кольцо многочленов над полем не является локальным, так как и неединицы, но их сумма равна единице. ${\displaystyle K[x]}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1-x}$
• Кольцо целых чисел не является локальным, поскольку имеет максимальный идеал для каждого простого числа . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (p)}$ ${\displaystyle p}$
• ${\displaystyle \mathbb {Z} }$/( pq ) , где p и q — различные простые числа. Оба ( p ) и ( q ) являются здесь максимальными идеалами. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Кольцо микробов

Чтобы мотивировать название «локальные» для этих колец, мы рассматриваем действительные непрерывные функции , определенные на некотором открытом интервале вокруг 0 ​​действительной прямой . Нас интересует только поведение этих функций вблизи 0 (их «локальное поведение»), и поэтому мы отождествим две функции, если они совпадают на некотором (возможно, очень малом) открытом интервале вокруг 0. Это отождествление определяет отношение эквивалентности , а классы эквивалентности — это то, что называется « ростками действительных непрерывных функций в 0». Эти ростки можно складывать и умножать, и они образуют коммутативное кольцо.

Чтобы увидеть, что это кольцо ростков локально, нам нужно охарактеризовать его обратимые элементы. Росток f обратим тогда и только тогда, когда f (0) ≠ 0 . Причина: если f (0) ≠ 0 , то по непрерывности существует открытый интервал вокруг 0, где f не равна нулю, и мы можем образовать функцию g ( x ) = 1/ f ( x ) на этом интервале. Функция g порождает росток, а произведение fg равно 1. (И наоборот, если f обратимо, то существует некоторый g такой, что f (0) g (0) = 1, следовательно, f (0) ≠ 0 .)

При такой характеристике ясно, что сумма любых двух необратимых ростков снова необратима, и мы имеем коммутативное локальное кольцо. Максимальный идеал этого кольца состоит как раз из тех ростков f, у которых f (0) = 0 .

Точно такие же аргументы работают для кольца ростков непрерывных вещественных функций на любом топологическом пространстве в данной точке, или кольца ростков дифференцируемых функций на любом дифференцируемом многообразии в данной точке, или кольца ростков рациональных функций на любом алгебраическом многообразии в данной точке. Все эти кольца, следовательно, локальны. Эти примеры помогают объяснить, почему схемы , обобщения многообразий, определяются как специальные локально окольцованные пространства .

Теория оценки

Локальные кольца играют важную роль в теории оценки. По определению, кольцо оценки поля K — это подкольцо R такое, что для каждого ненулевого элемента x из K хотя бы один из x и x ⁻¹ лежит в R . Любое такое подкольцо будет локальным кольцом. Например, кольцо рациональных чисел с нечетным знаменателем (упомянутое выше) является кольцом оценки в . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Дано поле K , которое может быть или не быть полем функций , мы можем искать в нем локальные кольца. Если бы K действительно было полем функций алгебраического многообразия V , то для каждой точки P из V мы могли бы попытаться определить кольцо оценки R функций, «определенных в» P. В случаях, когда V имеет размерность 2 или более, возникает трудность, которая видна следующим образом: если F и G являются рациональными функциями на V с

Ф ( П ) = Г ( П ) = 0,

функция

Ж / Г

является неопределенной формой в точке P. Рассмотрим простой пример, такой как

Y / X ,

приблизились по линии

Y = tX ,

видно, что значение в точке P — это концепция без простого определения. Она заменяется использованием оценок.

Некоммутативный

Некоммутативные локальные кольца естественным образом возникают как кольца эндоморфизмов при изучении разложений в прямую сумму модулей над некоторыми другими кольцами. В частности, если кольцо эндоморфизмов модуля M локально, то M неразложим ; и наоборот, если модуль M имеет конечную длину и неразложим, то его кольцо эндоморфизмов локально.

Если k — поле характеристики p > 0 и G — конечная p -группа , то групповая алгебра kG локальна .

Некоторые факты и определения

Коммутативный случай

Мы также пишем ( R , m ) для коммутативного локального кольца R с максимальным идеалом m . Каждое такое кольцо естественным образом становится топологическим кольцом , если взять степени m в качестве базы соседства 0. Это m -адическая топология на R . Если ( R , m ) — коммутативное нётерово локальное кольцо, то

${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }m^{i}=\{0\}}$

( Теорема о пересечении Крулля ), и из нее следует, что R с m -адической топологией является хаусдорфовым пространством . Теорема является следствием леммы Артина–Риза вместе с леммой Накаямы , и, как таковое, «нётеровское» предположение имеет решающее значение. Действительно, пусть R — кольцо ростков бесконечно дифференцируемых функций в 0 на вещественной прямой, а m — максимальный идеал . Тогда ненулевая функция принадлежит для любого n , поскольку эта функция, деленная на, по-прежнему является гладкой. ${\displaystyle (x)}$ ${\displaystyle e^{-{1 \over x^{2}}}}$ ${\displaystyle m^{n}}$ ${\displaystyle x^{n}}$

Как и для любого топологического кольца, можно спросить, является ли ( R , m ) полным (как равномерное пространство ); если нет, то его пополнение рассматривается как локальное кольцо. Полные нётеровы локальные кольца классифицируются структурной теоремой Коэна .

В алгебраической геометрии, особенно когда R является локальным кольцом схемы в некоторой точке P , R / m называется полем вычетов локального кольца или полем вычетов точки P.

Если ( R , m ) и ( S , n ) — локальные кольца, то локальный гомоморфизм колец из R в S является гомоморфизмом колец f  : R → S со свойством f ( m ) ⊆ n . ^[5] Это в точности те гомоморфизмы колец, которые непрерывны относительно заданных топологий на R и S . Например, рассмотрим морфизм колец, отправляющий . Прообразом является . Другой пример локального морфизма колец задается формулой . ${\displaystyle \mathbb {C} [x]/(x^{3})\to \mathbb {C} [x,y]/(x^{3},x^{2}y,y^{4})}$ ${\displaystyle x\mapsto x}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (x)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [x]/(x^{3})\to \mathbb {C} [x]/(x^{2})}$

Общий случай

Радикал Джекобсона m локального кольца R (который равен единственному максимальному левому идеалу, а также единственному максимальному правому идеалу) состоит в точности из неединиц кольца; кроме того, он является единственным максимальным двусторонним идеалом кольца R. Однако в некоммутативном случае наличие единственного максимального двустороннего идеала не эквивалентно локальности. ^[6]

Для элемента x локального кольца R следующие условия эквивалентны:

• x имеет левый обратный
• x имеет правый обратный
• x обратим
• x не содержится в m .

Если ( R , m ) локально, то фактор-кольцо R / m является телом . Если J ≠ R — любой двусторонний идеал в R , то фактор-кольцо R / J снова локально, с максимальным идеалом m / J .

Глубокая теорема Ирвинга Капланского гласит, что любой проективный модуль над локальным кольцом свободен , хотя случай, когда модуль конечно порожден, является простым следствием леммы Накаямы . Это имеет интересное следствие в терминах эквивалентности Мориты . А именно, если P — конечно порожденный проективный модуль R , то P изоморфен свободному модулю R ⁿ , и, следовательно, кольцо эндоморфизмов изоморфно полному кольцу матриц . Поскольку каждое кольцо Мориты, эквивалентное локальному кольцу R , имеет вид для такого P , вывод состоит в том, что единственные кольца Мориты, эквивалентные локальному кольцу R , являются (изоморфными) кольцами матриц над R . ${\displaystyle \mathrm {End} _{R}(P)}$ ${\displaystyle \mathrm {M} _{n}(R)}$ ${\displaystyle \mathrm {End} _{R}(P)}$

Примечания

1. Крулль, Вольфганг (1938). «Dimensionstheorie in Stellenringen». J. Reine Angew. Math. (на немецком языке). 1938 (179): 204. doi :10.1515/crll.1938.179.204. S2CID  115691729.
2. Зариски, Оскар (май 1943). «Основания общей теории бирациональных соответствий» (PDF) . Trans. Amer. Math. Soc . 53 (3). Американское математическое общество: 490–542 [497]. doi : 10.2307/1990215 . JSTOR  1990215.
3. Лэм (2001), стр. 295, Теория 19.1.
4. Weisstein, Eric W. "Local Ring". mathworld.wolfram.com . Получено 2024-08-26 .
5. "Тег 07BI".
6. Например, матрица 2 на 2 над полем имеет единственный максимальный идеал {0}, но имеет несколько максимальных правых и левых идеалов.

Ссылки

• Lam, TY (2001). Первый курс по некоммутативным кольцам . Graduate Texts in Mathematics (2-е изд.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-95183-0.
• Якобсон, Натан (2009). Основы алгебры . Том 2 (2-е изд.). Дувр. ISBN 978-0-486-47187-7.

Смотрите также

• Кольцо дискретной оценки
• Полулокальное кольцо
• Кольцо оценки
• Горенштейн местное кольцо

Внешние ссылки

• Философия местных колец