Теорема Радемахера

В математическом анализе теорема Радемахера , названная в честь Ганса Радемахера , утверждает следующее: Если U — открытое подмножество Rn и f : U → Rm — липшицево непрерывное ^, то f дифференцируемо ^почти всюду в U ; то есть точки в U , в которых f не дифференцируемо , образуют множество нулевой меры Лебега . Дифференцируемость здесь относится к бесконечно малой аппроксимации линейным отображением, что, в частности, утверждает существование частных производных по координатам.

Эскиз доказательства

Одномерный случай теоремы Радемахера является стандартным результатом во вводных текстах по теоретико-мерному анализу. ^[1] В этом контексте естественно доказать более общее утверждение о том, что любая функция ограниченной вариации с одной переменной дифференцируема почти всюду. (Это одномерное обобщение теоремы Радемахера не распространяется на более высокие измерения.)

Одно из стандартных доказательств общей теоремы Радемахера было найдено Чарльзом Морри . ^[2] В дальнейшем пусть u обозначает липшицево-непрерывную функцию на R ⁿ . Первый шаг доказательства — показать, что для любого фиксированного единичного вектора v производная u по v -направлению существует почти всюду. Это следствие частного случая теоремы Фубини : измеримое множество в R ⁿ имеет нулевую меру Лебега, если его ограничение на каждую прямую, параллельную v , имеет (одномерную) меру Лебега нулевую. ^{Учитывая, в частности ,} множество в Rn , где v -направленная производная от u не существует (которая должна быть измерима), последнее условие выполняется благодаря одномерному случаю теоремы Радемахера.

Второй шаг доказательства Морри устанавливает линейную зависимость v -производной u по направлению от v . Это основано на следующем тождестве:

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{n}}{\frac {u(x+h\nu )-u(x)}{h}}\zeta (z)\,d{\mathcal {L}}^{n}(x)=-\int _{\mathbf {R} ^{n}}{\frac {\zeta (x)-\zeta (x-h\nu )}{h}}u(x)\,d{\mathcal {L}}^{n}(x).}$

Используя предположение Липшица относительно u , можно применить теорему о доминируемой сходимости для замены двух разностных факторов в приведенном выше выражении соответствующими производными по v -направлению. Затем, основываясь на известной линейной зависимости производной ζ по направлению от v , то же самое можно доказать и для u с помощью основной леммы вариационного исчисления .

На этом этапе доказательства существование градиента (определяемого как набор из n частных производных) гарантировано существует почти везде; для каждого v скалярное произведение с v равно производной по v -направлению почти везде (хотя, возможно, на меньшем наборе). Следовательно, для любого счетного набора единичных векторов v ₁ , v ₂ , ... существует единственный набор E нулевой меры такой, что градиент и каждая производная _{по направлению vi} существуют всюду в дополнении E и связаны по скалярному произведению. Выбирая v ₁ , v ₂ , ... как плотные в единичной сфере, можно использовать условие Липшица, чтобы доказать существование каждой направленной производной всюду в дополнении E вместе с ее представлением в виде скалярного произведения градиента с направлением.

Доказательство Морри также можно рассматривать в контексте обобщенных производных . ^[3] Другое доказательство, также посредством сведения к одномерному случаю, использует технологию приближенных пределов . ^[4]

Приложения

Теорему Радемахера можно использовать для доказательства того, что для любого p ≥ 1 пространство Соболева W 1 ^{, p} (Ω) сохраняется при билипшицевом преобразовании области, при этом цепное правило сохраняется в его стандартной форме. ^[5] С соответствующими изменениями это распространяется и на более общие пространства Соболева W ^{k , p} (Ω) . ^[6]

Теорема Радемахера также важна при изучении геометрической теории меры и спрямляемых множеств , поскольку она позволяет анализировать дифференциальную геометрию первого порядка, в частности, касательные плоскости и нормальные векторы . ^[7] Понятия высшего порядка, такие как кривизна, остаются более тонкими, поскольку их обычные определения требуют большей дифференцируемости, чем достигается теоремой Радемахера. При наличии выпуклости дифференцируемость второго порядка достигается теоремой Александрова , доказательство которой можно смоделировать на основе доказательства теоремы Радемахера. В некоторых особых случаях теорема Радемахера даже используется как часть доказательства. ^[8]

Обобщения

Альберто Кальдерон доказал более общий факт: если Ω — открытое ограниченное множество в R ⁿ , то каждая функция в пространстве Соболева W ^{1, p} (Ω) дифференцируема почти всюду, при условии, что p > n . ^[9] Теорема Кальдерона является относительно прямым следствием теоремы дифференцирования Лебега и теоремы вложения Соболева . Теорема Радемахера является частным случаем, поскольку любая липшицева функция на Ω является элементом пространства W ^1,∞ (Ω) . ^[9]

Существует версия теоремы Радемахера, которая справедлива для липшицевых функций из евклидова пространства в произвольное метрическое пространство в терминах метрических дифференциалов вместо обычной производной.

Смотрите также

• Производная Пансу

Рекомендации

1. Федерер 1969, Теорема 2.9.19; Фолланд 1999, раздел 3.5; Рудин 1987, Глава 7.
2. Эванс и Гариепи, 2015, раздел 3.1; Саймон 1983, раздел 2.1; Виллани 2009, теорема 10.8(ii); Цимер 1989, раздел 2.2.
3. Морри 1966, Теорема 3.1.6.
4. Федерер 1969, раздел 3.1.
5. Цимер 1989, Теорема 2.2.2.
6. Морри 1966, Теорема 3.1.7.
7. Эванс и Гариепи, 2015, с. 151; Цимер 1989, стр. 243, 249, 281.
8. Виллани 2009, Теорема 14.25.
9. Evans & Gariepy 2015, раздел 4.2; Хейнонен 2001, Раздел 6.

Источники

• Эванс, Лоуренс К .; Гариепи, Рональд Ф. (2015). Теория меры и тонкие свойства функций . Учебники по математике (пересмотренное издание оригинальной редакции 1992 г.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press . дои : 10.1201/b18333. ISBN 978-1-4822-4238-6. МР  3409135. Збл  1310.28001.
• Федерер, Герберт (1969). Геометрическая теория меры . Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 153. Берлин-Гейдельберг-Нью-Йорк: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-3-642-62010-2. ISBN 978-3-540-60656-7. МР  0257325. Збл  0176.00801.
• Фолланд, Джеральд Б. (1999). Реальный анализ. Современные методы и их применение . Чистая и прикладная математика (второе издание оригинальной редакции 1984 г.). Нью-Йорк: ISBN John Wiley & Sons, Inc.  0-471-31716-0. МР  1681462. Збл  0924.28001.
• Хейнонен, Юха (2001). Лекции по анализу метрических пространств . Университеттекст. Нью-Йорк: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-1-4613-0131-8. ISBN 0-387-95104-0. МР  1800917. Збл  0985.46008.
• Морри, Чарльз Б. младший (1966). Кратные интегралы в вариационном исчислении . Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 130. Нью-Йорк: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-3-540-69952-1. МР  0202511. Збл  1213.49002.
• Радемахер, Ганс (1919). «Über partielle und Totale Differenzierbarkeit von Funktionen mehrerer Variabeln und über die Transformation der Doppelintegrale». Математические Аннален . 79 (4): 340–359. дои : 10.1007/BF01498415. ЯФМ  47.0243.01. МР  1511935.
• Рудин, Уолтер (1987). Реальный и комплексный анализ (Третье издание оригинальной редакции 1966 г.). Нью-Йорк: ISBN McGraw-Hill Book Co.  0-07-054234-1. МР  0924157. Збл  0925.00005.
• Саймон, Леон (1983). Лекции по геометрической теории меры (PDF) . Труды Центра математического анализа Австралийского национального университета. Том. 3. Канберра: Австралийский национальный университет, Центр математического анализа. ISBN 0-86784-429-9. МР  0756417. Збл  0546.49019.
• Виллани, Седрик (2009). Оптимальный транспорт. Старый и новый . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 338. Берлин: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-3-540-71050-9. ISBN 978-3-540-71049-3. МР  2459454. Збл  1156.53003.
• Цимер, Уильям П. (1989). Слабо дифференцируемые функции. Пространства Соболева и функции ограниченной вариации . Тексты для аспирантов по математике . Том. 120. Нью-Йорк: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-1-4612-1015-3. ISBN 0-387-97017-7. МР  1014685. Збл  0692.46022.

Внешние ссылки

• Хейнонен, Юха (2004). «Лекции по липшицевому анализу» (PDF) . Лекции на 14-й Летней школе Ювяскюля в августе 2004 г. (Теорема Радемахера с доказательством находится на стр. 18 и далее.)