Структура журнала

В алгебраической геометрии логарифмическая структура обеспечивает абстрактный контекст для изучения полустабильных схем, и в частности понятия логарифмической дифференциальной формы и связанных с ней концепций теории Ходжа . Эта идея имеет приложения в теории модульных пространств , в теории деформаций и p-адической теории Ходжа Фонтена , среди прочих.

Мотивация

Идея состоит в том, чтобы изучить некоторое алгебраическое многообразие (или схему ) U , которое является гладким , но не обязательно собственным, путем вложения его в X , которое является собственным, а затем рассмотрения определенных пучков на X . Проблема в том, что подпучок из , состоящий из функций, ограничение которых на U обратимо, не является пучком колец (поскольку добавление двух неисчезающих функций могло бы дать одну, которая обращается в нуль), и мы получаем только пучок подмоноидов из , мультипликативно. Запоминание этой дополнительной структуры на X соответствует запоминанию включения , которое уподобляет X с этой дополнительной структурой многообразию с границей (соответствующему ). ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle j\colon U\to X}$ ${\displaystyle D=X-U}$

Определение

Пусть X — схема. Предлогарифмическая структура на X состоит из пучка (коммутативных) моноидов на X вместе с гомоморфизмом моноидов , где рассматривается как моноид относительно умножения функций. ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \alpha \colon {\mathcal {M}}\to {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Предлогарифмическая структура является логарифмической структурой , если она дополнительно индуцирует изоморфизм . ${\displaystyle ({\mathcal {M}},\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha \colon \alpha ^{-1}({\mathcal {O}}_{X}^{\times })\to {\mathcal {O}}_{X}^{\times }}$

Морфизм (пре-)лог-структур состоит в гомоморфизме пучков моноидов, коммутирующих с соответствующими гомоморфизмами в . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Бревенчатая схема — это просто схема, снабженная бревенчатой ​​структурой.

Примеры

• Для любой схемы X можно определить тривиальную логарифмическую структуру на X , взяв и в качестве включения. ${\displaystyle {\mathcal {M}}={\mathcal {O}}_{X}^{\times }}$ ${\displaystyle \alpha }$
• Мотивирующий пример для определения логарифмической структуры исходит из полустабильных схем. Пусть X — схема, включение открытой подсхемы X , с дополнением дивизора с нормальными пересечениями . Тогда есть логарифмическая структура, связанная с этой ситуацией, которая есть , с просто морфизмом включения в . Это называется канонической (или стандартной ) логарифмической структурой на X , связанной с D . ${\displaystyle j\colon U\to X}$ ${\displaystyle D=X-U}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}={\mathcal {O}}_{X}\cap j_{*}{\mathcal {O}}_{U}^{\times }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$
• Пусть R — дискретное кольцо оценки с полем вычетов k и полем дробей K . Тогда каноническая структура журнала на состоит из включения (и не !) внутрь . Это фактически пример предыдущей конструкции, но с учетом . ${\displaystyle \mathrm {Spec} (R)}$ ${\displaystyle R\setminus \{0\}}$ ${\displaystyle R^{\times }}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle j\colon \mathrm {Spec} (K)\to \mathrm {Spec} (R)}$
• Используя R, как указано выше, можно также определить структуру полого логарифма , взяв тот же пучок моноидов, что и ранее, но вместо этого отправив максимальный идеал R в 0. ${\displaystyle \mathrm {Spec} (R)}$

Приложения

Одним из применений логарифмических структур является возможность определения логарифмических форм (также называемых дифференциальными формами с логарифмическими полюсами) на любой логарифмической схеме. Из этого можно, например, определить логарифмическую гладкость и логарифмическую этальную , обобщая понятия гладких морфизмов и этальных морфизмов . Это затем позволяет изучать теорию деформации .

Кроме того, логарифмические структуры служат для определения смешанной структуры Ходжа на любом гладком комплексном многообразии X , путем взятия компактификации с границей нормального дивизора пересечений D и записи соответствующего логарифмического комплекса де Рама . ^[2]

Лог-объекты также естественным образом появляются как объекты на границе модульных пространств , т.е. из вырождений.

Логгеометрия также позволяет определить логкристаллические когомологии, аналог кристаллических когомологий , которые имеют хорошее поведение для многообразий, которые не обязательно гладкие, а только логгладкие. Это затем имеет применение к теории представлений Галуа , и в частности полустабильных представлений Галуа.

Смотрите также

• Геометрия бревен
• Полустабильная схема
• Лог-кристаллические когомологии

Ссылки

1. Артур Огус (2011). Лекции по логарифмической алгебраической геометрии.
2. Крис А. М. Питерс; Джозеф Х. М. Стинбринк (2008). Смешанные структуры Ходжа. Springer. ISBN  978-3-540-77015-2