Логарифмическое дифференцирование

Метод математического дифференцирования

В исчислении логарифмическое дифференцирование или дифференцирование с использованием логарифмов — это метод, используемый для дифференцирования функций путем использования логарифмической производной функции f , ^[1] $${\displaystyle (\ln f)'={\frac {f'}{f}}\quad \implies \quad f'=f\cdot (\ln f)'.}$$

Этот метод часто применяется в случаях, когда проще дифференцировать логарифм функции, а не саму функцию. Обычно это происходит в случаях, когда интересующая функция состоит из произведения ряда частей, так что логарифмическое преобразование превратит ее в сумму отдельных частей (которую гораздо легче дифференцировать). Он также может быть полезен при применении к функциям, возведенным в степень переменных или функций. Логарифмическое дифференцирование опирается на цепное правило , а также на свойства логарифмов (в частности, натурального логарифма или логарифма по основанию e ) для преобразования произведений в суммы, а делений в вычитания. ^{[2] [3]} Этот принцип может быть реализован, по крайней мере частично, при дифференцировании почти всех дифференцируемых функций , при условии, что эти функции не равны нулю.

Обзор

Метод используется, поскольку свойства логарифмов предоставляют возможности для быстрого упрощения сложных функций, которые необходимо дифференцировать. ^[4] Эти свойства можно изменять после взятия натуральных логарифмов с обеих сторон и до предварительного дифференцирования. Наиболее часто используемые законы логарифмов следующие ^[3] $${\displaystyle \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b),\qquad \ln \left({\frac {a}{b}}\right)=\ln(a)-\ln(b),\qquad \ln(a^{n})=n\ln(a).}$$

Производные высшего порядка

Используя формулу Фаа ди Бруно , логарифмическая производная n-го порядка равна, Используя ее, первые четыре производные равны, $${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\ln f(x)=\sum _{m_{1}+2m_{2}+\cdots +nm_{n}=n}{\frac {n!}{m_{1}!\,m_{2}!\,\cdots \,m_{n}!}}\cdot {\frac {(-1)^{m_{1}+\cdots +m_{n}-1}(m_{1}+\cdots +m_{n}-1)!}{f(x)^{m_{1}+\cdots +m_{n}}}}\cdot \prod _{j=1}^{n}\left({\frac {f^{(j)}(x)}{j!}}\right)^{m_{j}}.}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\ln f(x)&={\frac {f''(x)}{f(x)}}-\left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)^{2}\\[1ex]{\frac {d^{3}}{dx^{3}}}\ln f(x)&={\frac {f^{(3)}(x)}{f(x)}}-3{\frac {f'(x)f''(x)}{f(x)^{2}}}+2\left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)^{3}\\[1ex]{\frac {d^{4}}{dx^{4}}}\ln f(x)&={\frac {f^{(4)}(x)}{f(x)}}-4{\frac {f'(x)f^{(3)}(x)}{f(x)^{2}}}-3\left({\frac {f''(x)}{f(x)}}\right)^{2}+12{\frac {f'(x)^{2}f''(x)}{f(x)^{3}}}-6\left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)^{4}\end{aligned}}}$$

Приложения

Продукция

Натуральный логарифм применяется к произведению двух функций для преобразования произведения в сумму. Дифференцирование с применением цепочки и правил сумм дает и, после перестановки, дает ^[5], что является правилом произведения для производных. $${\displaystyle f(x)=g(x)h(x)}$$ $${\displaystyle \ln(f(x))=\ln(g(x)h(x))=\ln(g(x))+\ln(h(x)).}$$ $${\displaystyle {\frac {f'(x)}{f(x)}}={\frac {g'(x)}{g(x)}}+{\frac {h'(x)}{h(x)}},}$$ $${\displaystyle f'(x)=f(x)\times \left\{{\frac {g'(x)}{g(x)}}+{\frac {h'(x)}{h(x)}}\right\}=g(x)h(x)\times \left\{{\frac {g'(x)}{g(x)}}+{\frac {h'(x)}{h(x)}}\right\}=g'(x)h(x)+g(x)h'(x),}$$

Коэффициенты

Натуральный логарифм применяется к частному двух функций, чтобы преобразовать деление в вычитание. Дифференцирование с применением цепочки и правил сумм дает и, после перестановки, дает $${\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}}$$ $${\displaystyle \ln(f(x))=\ln \left({\frac {g(x)}{h(x)}}\right)=\ln(g(x))-\ln(h(x))}$$ $${\displaystyle {\frac {f'(x)}{f(x)}}={\frac {g'(x)}{g(x)}}-{\frac {h'(x)}{h(x)}},}$$ $${\displaystyle f'(x)=f(x)\times \left\{{\frac {g'(x)}{g(x)}}-{\frac {h'(x)}{h(x)}}\right\}={\frac {g(x)}{h(x)}}\times \left\{{\frac {g'(x)}{g(x)}}-{\frac {h'(x)}{h(x)}}\right\}={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{h(x)^{2}}},}$$

что является правилом частного для производных.

Функциональные показатели

Для функции вида натуральный логарифм преобразует возведение в степень в произведение. Дифференцирование с применением правил цепочки и произведения дает и, после перестановки, дает Тот же результат можно получить, переписав f через exp и применив правило цепочки. $${\displaystyle f(x)=g(x)^{h(x)}}$$ $${\displaystyle \ln(f(x))=\ln \left(g(x)^{h(x)}\right)=h(x)\ln(g(x))}$$ $${\displaystyle {\frac {f'(x)}{f(x)}}=h'(x)\ln(g(x))+h(x){\frac {g'(x)}{g(x)}},}$$ $${\displaystyle f'(x)=f(x)\times \left\{h'(x)\ln(g(x))+h(x){\frac {g'(x)}{g(x)}}\right\}=g(x)^{h(x)}\times \left\{h'(x)\ln(g(x))+h(x){\frac {g'(x)}{g(x)}}\right\}.}$$

Общий случай

Используя обозначение с заглавной буквы Пи , пусть будет конечным произведением функций с функциональными показателями. $${\displaystyle f(x)=\prod _{i}(f_{i}(x))^{\alpha _{i}(x)}}$$

Применение натуральных логарифмов приводит к (с заглавной сигма-обозначением ) и после дифференцирования, Переставьте так, чтобы получить производную исходной функции, $${\displaystyle \ln(f(x))=\sum _{i}\alpha _{i}(x)\cdot \ln(f_{i}(x)),}$$ $${\displaystyle {\frac {f'(x)}{f(x)}}=\sum _{i}\left[\alpha _{i}'(x)\cdot \ln(f_{i}(x))+\alpha _{i}(x)\cdot {\frac {f_{i}'(x)}{f_{i}(x)}}\right].}$$ $${\displaystyle f'(x)=\overbrace {\prod _{i}(f_{i}(x))^{\alpha _{i}(x)}} ^{f(x)}\times \overbrace {\sum _{i}\left\{\alpha _{i}'(x)\cdot \ln(f_{i}(x))+\alpha _{i}(x)\cdot {\frac {f_{i}'(x)}{f_{i}(x)}}\right\}} ^{[\ln(f(x))]'}.}$$

Смотрите также

• Производная Дарбу  – производная отображения между многообразием и группой ЛиPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Обобщения производной  – Фундаментальная конструкция дифференциального исчисления
• Группа Ли  – группа, которая также является дифференцируемым многообразием с гладкими групповыми операциями.
• Список тем по логарифмам
• Список логарифмических тождеств
• Форма Маурера–Картана  – Математическая концепция

Примечания

1. Кранц, Стивен Г. (2003). Исчисление демистифицировано . McGraw-Hill Professional. стр. 170. ISBN 0-07-139308-0.
2. NP Bali (2005). Золотое дифференциальное исчисление . Firewall Media. стр. 282. ISBN 81-7008-152-1.
3. Bird, John (2006). Высшая инженерная математика . Newnes. стр. 324. ISBN 0-7506-8152-7.
4. Бланк, Брайан Э. (2006). Исчисление с одной переменной . Springer. стр. 457. ISBN 1-931914-59-1.
5. Уильямсон, Бенджамин (2008). Элементарный трактат о дифференциальном исчислении . BiblioBazaar, LLC. стр. 25–26. ISBN 978-0-559-47577-1.