Лотерея (вероятность)

Концепция в теории принятия решений

В теории ожидаемой полезности лотерея — это дискретное распределение вероятности на множестве состояний природы . Элементы лотереи соответствуют вероятностям того, что каждое из состояний природы произойдет (например, дождь: 0,70, без дождя: 0,30). [ 1 ^] Большая часть теоретического анализа выбора в условиях неопределенности включает характеристику доступных выборов в терминах лотерей.

В экономике предполагается, что индивидуумы ранжируют лотереи в соответствии с рациональной системой предпочтений , хотя сейчас принято считать, что люди систематически делают нерациональный выбор. Поведенческая экономика изучает, что происходит на рынках, где некоторые агенты проявляют человеческие сложности и ограничения. ^[2]

Выбор под угрозой

Согласно теории ожидаемой полезности, кто-то выбирает лотерею, умножая свою субъективную оценку вероятностей возможных результатов на полезность, привязанную к каждому результату его личной функцией полезности . Таким образом, каждая лотерея имеет ожидаемую полезность, линейную комбинацию полезностей результатов, в которой весами являются субъективные вероятности. ^[3] Это также основано на известном примере, парадоксе Санкт-Петербурга : как упомянул Даниил Бернулли , функция полезности в лотерее может зависеть от суммы денег, которая у него была до лотереи. ^[4]

Например, пусть есть три результата, которые могут возникнуть в результате приема больным человеком нового препарата A или B для его состояния: «Вылечен», «Невылечен» и «Умер». Каждый препарат — это лотерея. Предположим, что вероятности для лотереи A равны (Вылечен: .90, Невылечен: .00, Умер: .10), а для лотереи B — (Вылечен: .50, Невылечен: .50, Умер: .00).

Если бы человеку пришлось выбирать между лотереями A и B, как бы он это сделал? Теория выбора в условиях риска начинается с того, что позволяет людям иметь предпочтения на наборе лотерей по трем состояниям природы — не только A и B, но и всем другим возможным лотереям. Если предпочтения по лотереям являются полными и транзитивными, они называются рациональными . Если люди следуют аксиомам теории ожидаемой полезности, их предпочтения по лотереям будут соответствовать рейтингу каждой лотереи с точки зрения ожидаемой полезности. Пусть значения полезности для больного человека будут:

• Вылечено: 16 утилизаций
• Незатвердевший: 12 utils
• Мертв: 0 утилит

В этом случае ожидаемая полезность лотереи A составляет 14,4 (= .90(16) + .10(12)), а ожидаемая полезность лотереи B составляет 14 (= .50(16) + .50(12)), поэтому человек предпочтет лотерею A. Теория ожидаемой полезности подразумевает, что те же самые полезности могут быть использованы для прогнозирования поведения человека во всех возможных лотереях. Если, например, у него был бы выбор между лотереей A и новой лотереей C, состоящей из (Вылеченных: .80, Невылеченных: .15 Мертвых: .05), теория ожидаемой полезности говорит, что он выбрал бы C, потому что ее ожидаемая полезность составляет 14,6 (= .80(16) + .15(12) + .05(0)).

Парадокс, выдвинутый Морисом Алле, усложняет ожидаемую полезность в лотерее. ^[5]

В отличие от предыдущего примера, пусть есть результаты, состоящие только из потери денег. В ситуации 1 вариант 1a имеет определенную потерю в $500, а вариант 1b имеет равные вероятности потери $1000 или $0. В ситуации 2 вариант 2a имеет 10% вероятность потери $500 и 90% вероятность потери $0, а вариант 2b имеет 5% вероятность потери $1000 и 95% вероятность потери $0. Это обстоятельство можно описать с помощью уравнений ожидаемой полезности ниже:

• Ситуация 1
  • Вариант а: U(-$500)
  • Вариант б: 0,5 U(-$1000) + 0,5 U($0)
• Ситуация 2
  • Вариант а: 0,1 U(-$500) + 0,9 U($0)
  • Вариант б: 0,05 U(-$1000) + 0,95 U($0)

Многие люди склонны принимать разные решения в зависимости от ситуации. ^[5] Люди предпочитают вариант 1a варианту 1b в ситуации 1 и вариант 2b варианту 2a в ситуации 2. Однако две ситуации имеют одинаковую структуру, что вызывает парадокс:

• Ситуация 1: U(-500$) > 0,5 U(-1000$) + 0,5 U(0$)
• Ситуация 2:
  • 0,1 U(-500$) + 0,9 U(0$) < 0,05 U(-1000$) + 0,95 U(0$)
  • 0,1 U(-500$) < 0,05 U(-1000$) + 0,05 U(0$)
  • U(-500$) < 0,5 U(-1000$) + 0,5 U(0$)

Возможным объяснением вышесказанного является то, что он имеет «эффект определенности», то есть результаты без вероятностей (определенные заранее) будут иметь большее влияние на функции полезности и окончательные решения. ^[5] Во многих случаях эта сосредоточенность на определенности может привести к непоследовательным решениям и предпочтениям. Кроме того, люди склонны находить некоторые подсказки в формате или контексте лотерей. ^[6]

Кроме того, утверждалось, что то, насколько люди обучены статистике, может повлиять на принятие решений в лотерее. ^[7] В ходе серии экспериментов он пришел к выводу, что человек, прошедший статистическую подготовку, с большей вероятностью будет иметь последовательные и уверенные результаты, которые можно было бы обобщить.

Предположение о линейном объединении индивидуальных полезностей и превращении полученного числа в критерий максимизации может быть обосновано на основании аксиомы независимости . Следовательно, справедливость теории ожидаемой полезности зависит от справедливости аксиомы независимости. Отношение предпочтения удовлетворяет независимости, если для любых трех простых лотерей , , , и любого числа выполняется, что ${\displaystyle \succsim \!}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$

${\displaystyle p\succsim \!q}$если и только если ${\displaystyle \alpha p+(1-\alpha )r\succsim \!\alpha q+(1-\alpha )r.}$

Карты безразличия можно представить в симплексе .

Ссылки

1. Мас-Колелл, Андре , Майкл Уинстон и Джерри Грин (1995). Микроэкономическая теория . Оксфорд: Oxford University Press . ISBN  0-19-507340-1
2. Муллайнатан, Сендхил и Ричард Талер (2000) «Поведенческая экономика». Рабочий документ NBER № 7948, стр. 2.
3. Арчибальд, Г. (1959). «Полезность, риск и линейность». Журнал политической экономии . 67 (5): 438. doi :10.1086/258216. S2CID  154853936.
4. Шумейкер, Пол Дж. Х. (1980). Эксперименты по решениям в условиях риска: гипотеза ожидаемой полезности. Martinus Nijhoff Publishing. стр. 12. doi : 10.1007/978-94-017-5040-0. ISBN 978-94-017-5042-4.
5. Schoemaker, Paul JH (1980). Эксперименты по решениям в условиях риска: гипотеза ожидаемой полезности. Дордрехт. С. 18–19. ISBN 978-94-017-5040-0. OCLC  913628692.{{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
6. Шумейкер, Пол Дж. Х. (1980). Эксперименты по решениям в условиях риска: гипотеза ожидаемой полезности. Дордрехт. стр. 89. ISBN 978-94-017-5040-0. OCLC  913628692.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
7. Шумейкер, Пол Дж. Х. (1980). Эксперименты по решениям в условиях риска: гипотеза ожидаемой полезности. Дордрехт. стр. 108. ISBN 978-94-017-5040-0. OCLC  913628692.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)

2) http://www.stanford.edu/~jdlevin/Econ%20202/Uncertainty.pdf