В математике , в частности в теории порядка , верхняя граница или мажоранта [1] подмножества S некоторого предупорядоченного множества ( K , ≤) — это элемент K , который больше или равен каждому элементу S. [2] [3] Двойственно , нижняя граница или миноранта S определяется как элемент K , который меньше или равен каждому элементу S. Множество с верхней (соответственно, нижней) границей называется ограниченным сверху или мажорированным [ 1] (соответственно ограниченным снизу или минорированным ) этой границей. Термины ограниченный сверху ( ограниченный снизу ) также используются в математической литературе для множеств, которые имеют верхние (соответственно, нижние) границы. [4]
Например, 5 является нижней границей для множества S = {5, 8, 42, 34, 13934} (как подмножества целых чисел или действительных чисел и т. д.), как и 4. С другой стороны, 6 не является нижней границей для S, поскольку оно не меньше каждого элемента в S. 13934 и другие числа x, такие что x ≥ 13934, были бы верхней границей для S.
Множество S = {42} имеет 42 как верхнюю , так и нижнюю границу; все остальные числа являются либо верхней, либо нижней границей для этого S.
Каждое подмножество натуральных чисел имеет нижнюю границу, поскольку натуральные числа имеют наименьший элемент (0 или 1, в зависимости от соглашения). Бесконечное подмножество натуральных чисел не может быть ограничено сверху. Бесконечное подмножество целых чисел может быть ограничено снизу или ограничено сверху, но не то и другое одновременно. Бесконечное подмножество рациональных чисел может быть ограничено снизу или не ограничено сверху, а также может быть ограничено сверху или не ограничено.
Каждое конечное подмножество непустого полностью упорядоченного множества имеет как верхнюю, так и нижнюю границы.
Определения можно обобщить на функции и даже на наборы функций.
При наличии функции f с областью определения D и предупорядоченного множества ( K , ≤) в качестве области определения элемент y из K является верхней границей f, если y ≥ f ( x ) для каждого x из D . Верхняя граница называется точной , если равенство выполняется хотя бы для одного значения x . Это указывает на то, что ограничение является оптимальным и, таким образом, не может быть дополнительно уменьшено без нарушения неравенства.
Аналогично, функция g, определенная на области D и имеющая ту же область значений ( K , ≤), является верхней границей f , если g ( x ) ≥ f ( x ) для каждого x в D. Функция g далее называется верхней границей набора функций, если она является верхней границей каждой функции в этом наборе.
Понятие нижней границы для (множеств) функций определяется аналогично, путем замены ≥ на ≤.
Верхняя граница называется жесткой верхней границей , наименьшей верхней границей или супремумом , если ни одно меньшее значение не является верхней границей. Аналогично, нижняя граница называется жесткой нижней границей , наибольшей нижней границей или инфимумом , если ни одно большее значение не является нижней границей.
Верхняя граница u подмножества S предупорядоченного множества ( K , ≤) называется точной верхней границей для S, если каждый элемент K , который строго мажорируется u, также мажорируется некоторым элементом S. Точные верхние границы редуцированных произведений линейных порядков играют важную роль в теории PCF . [5]