stringtranslate.com

Термин ведущего порядка

Члены ведущего порядка (или поправки ) в математическом уравнении , выражении или модели — это члены с наибольшим порядком величины . [1] [2] Размеры различных членов в уравнении (уравнениях) будут меняться по мере изменения переменных , и, следовательно, члены, являющиеся ведущими, также могут меняться.

Распространенный и эффективный способ упрощения и понимания широкого спектра сложных математических моделей — исследовать, какие члены являются самыми большими (и, следовательно, наиболее важными) для определенных размеров переменных и параметров, и анализировать поведение, создаваемое только этими членами (рассматривая другие меньшие члены как незначительные). [3] [4] Это дает основное поведение — истинное поведение лишь с небольшими отклонениями от него. Это основное поведение может быть достаточно хорошо отражено только строго лидирующими членами, или может быть решено, что следует также включить немного меньшие члены. В этом случае фраза лидирующие члены может использоваться неформально для обозначения всей этой группы членов. Поведение, создаваемое только группой лидирующих членов, называется лидирующим поведением модели.

Простой пример

Рассмотрим уравнение y  =  x 3  + 5 x  + 0,1. Для пяти различных значений x таблица показывает размеры четырех членов в этом уравнении, и какие члены являются лидирующими. По мере дальнейшего увеличения x лидирующие члены остаются как x 3 и y , но по мере того, как x уменьшается и становится все более и более отрицательным, какие члены являются лидирующими снова меняются.

Не существует строгого порога, когда два термина следует или не следует считать примерно одного порядка или величины. Одно возможное эмпирическое правило заключается в том, что два термина, которые находятся в пределах множителя 10 (один порядок величины) друг от друга, следует считать примерно одного порядка, а два термина, которые не находятся в пределах множителя 100 (два порядка величины) друг от друга, не должны. Однако между ними находится серая зона, поэтому нет фиксированных границ, где термины следует считать примерно ведущими, а где нет. Вместо этого термины то появляются, то исчезают по мере изменения переменных. Решение о том, являются ли термины в модели ведущими (или приблизительно ведущими), и если нет, то достаточно ли они малы, чтобы их можно было считать пренебрежимо малыми (два разных вопроса), часто является вопросом исследования и суждения и будет зависеть от контекста.

Поведение ведущего порядка

Уравнения только с одним членом ведущего порядка возможны, но редки. [ сомнительно – обсудить ] Например, уравнение 100 = 1 + 1 + 1 + ... + 1, (где правая часть содержит сто единиц). Для любой конкретной комбинации значений переменных и параметров уравнение обычно будет содержать по крайней мере два члена ведущего порядка и другие члены низшего порядка . В этом случае, сделав предположение, что члены низшего порядка и части членов ведущего порядка, которые имеют тот же размер, что и члены низшего порядка (возможно, вторая или третья значащая цифра и далее), пренебрежимо малы, новое уравнение может быть сформировано путем отбрасывания всех этих членов низшего порядка и частей членов ведущего порядка. Оставшиеся члены обеспечивают уравнение ведущего порядка , или баланс ведущего порядка , [5] или доминирующий баланс , [6] [7] [8] и создание нового уравнения, включающего только эти члены, известно как приведение уравнения к ведущему порядку . Решения этого нового уравнения называются решениями ведущего порядка [9] [10] исходного уравнения. Анализ поведения, заданного этим новым уравнением, дает поведение ведущего порядка [11] [12] модели для этих значений переменных и параметров. Размер ошибки при выполнении этого приближения обычно примерно равен размеру наибольшего игнорируемого члена.

График y  =  x 3  + 5 x  + 0,1. Ведущий порядок, или основное поведение при x  = 0,001, заключается в том, что y постоянен, а при x  = 10 — в том, что y увеличивается кубически с x .

Предположим, мы хотим понять поведение ведущего порядка в приведенном выше примере.

Таким образом, основное поведение y может быть исследовано при любом значении x . Поведение ведущего порядка становится более сложным, когда больше членов являются ведущими. При x=2 существует баланс ведущего порядка между кубической и линейной зависимостями y от x .

Обратите внимание, что это описание поиска балансов и поведения ведущего порядка дает лишь общее описание процесса — оно не является математически строгим.

Следующий за ведущим заказ

Конечно, y на самом деле не полностью постоянна при x  = 0,001 — это просто ее основное поведение вблизи этой точки. Может оказаться, что сохранение только членов ведущего порядка (или приблизительно ведущего порядка) и рассмотрение всех других меньших членов как незначительных недостаточно (например, при использовании модели для будущего прогнозирования), и поэтому может быть необходимо также сохранить набор следующих по величине членов. Их можно назвать членами или поправками порядка, следующего за ведущим (NLO). [13] [14] Следующий набор членов после этого можно назвать членами или поправками порядка, следующего за следующим за ведущим (NNLO). [15]

Использование

Согласованные асимптотические разложения

Методы упрощения ведущего порядка используются совместно с методом согласованных асимптотических разложений , когда точное приближенное решение в каждой подобласти является решением ведущего порядка. [3] [16] [17]

Упрощение уравнений Навье–Стокса

Для конкретных сценариев течения жидкости (очень общие) уравнения Навье–Стокса могут быть значительно упрощены путем рассмотрения только компонентов ведущего порядка. Например, уравнения течения Стокса . [18] Также, уравнения тонкой пленки теории смазки .

Упрощение дифференциальных уравнений с помощью машинного обучения

Различные дифференциальные уравнения могут быть локально упрощены путем рассмотрения только компонентов ведущего порядка. Алгоритмы машинного обучения могут разбивать данные моделирования или наблюдений на локализованные разделы с членами уравнения ведущего порядка для аэродинамики, динамики океана, ангиогенеза, вызванного опухолью, и приложений синтетических данных. [19]

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Дж. К. Хантер, Асимптотический анализ и теория сингулярных возмущений , 2004. http://www.math.ucdavis.edu/~hunter/notes/asy.pdf
  2. ^ Заметки о курсе Нью-Йоркского университета
  3. ^ ab Mitchell, MJ; et al. (2010). «Модель растворения углекислого газа и кинетика карбонизации минералов». Труды Королевского общества A. 466 ( 2117): 1265–1290. Bibcode :2010RSPSA.466.1265M. doi : 10.1098/rspa.2009.0349 .
  4. ^ Woollard, HF; et al. (2008). "Многомасштабная модель переноса растворенного вещества в волнистом канале" (PDF) . Журнал инженерной математики . 64 (1): 25–48. Bibcode :2009JEnMa..64...25W. doi : 10.1007/s10665-008-9239-x .
  5. ^ Sternberg, P.; Bernoff, AJ (1998). «Возникновение сверхпроводимости в убывающих полях для общих доменов». Журнал математической физики . 39 (3): 1272–1284. Bibcode : 1998JMP....39.1272B. doi : 10.1063/1.532379.
  6. ^ Саламон, ТР; и др. (1995). «Роль поверхностного натяжения в доминирующем балансе в сингулярности разбухания диэлектрика». Physics of Fluids . 7 (10): 2328–2344. Bibcode :1995PhFl....7.2328S. doi :10.1063/1.868746. Архивировано из оригинала 2013-07-08.
  7. ^ Горшков, А. В. и др. (2008). «Когерентное квантовое оптическое управление с субволновым разрешением». Physical Review Letters . 100 (9): 93005. arXiv : 0706.3879 . Bibcode : 2008PhRvL.100i3005G. doi : 10.1103/PhysRevLett.100.093005. PMID  18352706. S2CID  3789664.
  8. ^ Линденберг, К. и др. (1994). «Диффузионно-ограниченные бинарные реакции: иерархия неклассических режимов для коррелированных начальных условий» (PDF) . Журнал физической химии . 98 (13): 3389–3397. doi :10.1021/j100064a020.
  9. ^ Żenczykowski, P. (1988). "Матрица Кобаяши–Маскавы из решения ведущего порядка модели Фрицша n-го поколения". Physical Review D. 38 ( 1): 332–336. Bibcode :1988PhRvD..38..332Z. doi :10.1103/PhysRevD.38.332. PMID  9959017.
  10. ^ Хоровиц, ГТ; Цейтлин, АА (1994). «Экстремальные черные дыры как точные струнные решения». Physical Review Letters . 73 (25): 3351–3354. arXiv : hep-th/9408040 . Bibcode :1994PhRvL..73.3351H. doi :10.1103/PhysRevLett.73.3351. PMID  10057359. S2CID  43551044.
  11. ^ Хусейн, А. (1980). "Поведение двухфотонного рассеяния в ведущем порядке амплитуд в КХД". Nuclear Physics B. 163 : 453–460. Bibcode : 1980NuPhB.163..453A. doi : 10.1016/0550-3213(80)90411-3.
  12. ^ Круценский, М.; Оксман, Л.Е.; Залдарриага, М. (1999). «Поведение большого сжатия при генерации космологической энтропии». Классическая и квантовая гравитация . 11 (9): 2317–2329. arXiv : gr-qc/9403024 . Bibcode : 1994CQGra..11.2317K. doi : 10.1088/0264-9381/11/9/013. S2CID  13979794.
  13. ^ Кэмпбелл, Дж.; Эллис, Р.К. (2002). «Поправки следующего за ведущим порядка к образованию струй W + 2 и струй Z + 2 на адронных коллайдерах». Physical Review D. 65 ( 11): 113007. arXiv : hep-ph/0202176 . Bibcode : 2002PhRvD..65k3007C. doi : 10.1103/PhysRevD.65.113007. S2CID  119355645.
  14. ^ Catani, S.; Seymour, MH (1996). «Дипольный формализм для расчета сечений струй КХД в следующем за ведущим порядке». Physics Letters B . 378 (1): 287–301. arXiv : hep-ph/9602277 . Bibcode :1996PhLB..378..287C. doi :10.1016/0370-2693(96)00425-X. S2CID  15422325.
  15. ^ Кидонакис, Н.; Фогт, Р. (2003). "Поправки к мягким глюонам следующего-следующего-следующего-ведущего порядка в рождении адротопов топ-кварков". Physical Review D. 68 ( 11): 114014. arXiv : hep-ph/0308222 . Bibcode : 2003PhRvD..68k4014K. doi : 10.1103/PhysRevD.68.114014. S2CID  5943465.
  16. ^ Рубинштейн, BY; Письмен, LM (1994). "Вихревое движение в пространственно неоднородной консервативной модели Гинзбурга–Ландау" (PDF) . Physica D: Nonlinear Phenomena . 78 (1): 1–10. Bibcode :1994PhyD...78....1R. doi :10.1016/0167-2789(94)00119-7.
  17. ^ Кившарь, YS; et al. (1998). "Динамика оптических вихревых солитонов" (PDF) . Optics Communications . 152 (1): 198–206. Bibcode :1998OptCo.152..198K. doi :10.1016/S0030-4018(98)00149-7. Архивировано из оригинала (PDF) 2013-04-21 . Получено 2012-10-31 .
  18. ^ Заметки Корнелльского университета
  19. ^ Кайзер, Брайан Э.; Саенс, Хуан А.; Зонневальд, Майке; Ливеску, Даниэль (2022). «Автоматизированная идентификация доминирующих физических процессов». Инженерные приложения искусственного интеллекта . 116 : 105496. doi : 10.1016/j.engappai.2022.105496 . S2CID  252957864.