I-адическая топология

Понятие коммутативной алгебры

В коммутативной алгебре , математическом изучении коммутативных колец , адические топологии представляют собой семейство топологий на базовом множестве модуля , обобщающих p -адические топологии на целых числах .

Определение

Пусть R — коммутативное кольцо, а M — R - модуль . Тогда каждый идеал 𝔞 кольца R определяет топологию на M , называемую 𝔞- адической топологией, характеризуемую псевдометрикой Семейство является базой для этой топологии. ^[1] $${\displaystyle d(x,y)=2^{-\sup {\{n\mid x-y\in {\mathfrak {a}}^{n}M\}}}.}$$ $${\displaystyle \{x+{\mathfrak {a}}^{n}M:x\in M,n\in \mathbb {Z} ^{+}\}}$$

𝔞 - адическая топология — это линейная топология (топология, порожденная некоторыми подмодулями).

Характеристики

Что касается топологии, то модульные операции сложения и скалярного умножения непрерывны , так что M становится топологическим модулем . Однако M не обязательно должен быть хаусдорфовым ; он хаусдорфов тогда и только тогда , когда d становится настоящей метрикой . Связано с обычной терминологией в топологии, где хаусдорфово пространство также называется разделенным, в этом случае 𝔞 -адическая топология называется разделенной . ^[1] $${\displaystyle \bigcap _{n>0}{{\mathfrak {a}}^{n}M}=0{\text{,}}}$$

По теореме Крулля о пересечении , если R — нётерово кольцо , являющееся областью целостности или локальным кольцом , то это справедливо для любого собственного идеала 𝔞 кольца R. Таким образом, при этих условиях для любого собственного идеала 𝔞 кольца R и любого R -модуля M 𝔞 -адическая топология на M разделяется. ${\displaystyle \bigcap _{n>0}{{\mathfrak {a}}^{n}}=0}$

Для подмодуля N модуля M канонический гомоморфизм в M / N индуцирует топологию факторизации , которая совпадает с 𝔞 -адической топологией. Аналогичный результат не обязательно верен для самого подмодуля N : топология подпространства не обязательно должна быть 𝔞 -адической топологией. Однако эти две топологии совпадают, когда R является нётеровым , а M конечно порожденным . Это следует из леммы Артина-Риза . ^[2]

Завершение

Когда M является Хаусдорфовым, M может быть дополнено как метрическое пространство; полученное пространство обозначается и имеет модульную структуру, полученную путем расширения модульных операций по непрерывности. Это также то же самое, что (или канонически изоморфно ): где правая часть является обратным пределом фактор -модулей при естественной проекции. ^[3] ${\displaystyle {\widehat {M}}}$ $${\displaystyle {\widehat {M}}=\varprojlim M/{\mathfrak {a}}^{n}M}$$

Например, пусть будет кольцом многочленов над полем k и 𝔞 = ( x ₁ , ..., x _n ) — (единственный) однородный максимальный идеал . Тогда формальное степенное кольцо над k от n переменных. ^[4] ${\displaystyle R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle {\hat {R}}=k[[x_{1},\ldots ,x_{n}]]}$

Закрытые подмодули

𝔞 -адическое замыкание подмодуля равно ^[5]. Это замыкание совпадает с N всякий раз, когда R является 𝔞 -адически полным, а M конечно порождено. ^[6] ${\displaystyle N\subseteq M}$ ${\textstyle {\overline {N}}=\bigcap _{n>0}{(N+{\mathfrak {a}}^{n}M)}{\text{.}}}$

R называется Зарисским относительно 𝔞 , если каждый идеал в R 𝔞 -адически замкнут. Существует характеризация:

R является радикалом Зарисского относительно 𝔞 тогда и только тогда, когда 𝔞 содержится в радикале Джекобсона R.

В частности, нётерово локальное кольцо является кольцом Зарисского относительно максимального идеала. ^[7]

Ссылки

1. Singh 2011, стр. 147.
2. Сингх 2011, стр. 148.
3. Сингх 2011, стр. 148–151.
4. Сингх 2011, задача 8.16.
5. Сингх 2011, задача 8.4.
6. Сингх 2011, задача 8.8
7. Атья и Макдональд 1969, стр. 114, упражнение 6.

Источники

• Сингх, Балвант (2011). Основы коммутативной алгебры . Сингапур/Хакенсак, Нью-Джерси: World Scientific. ISBN 978-981-4313-61-2.
• Атья, М. Ф .; Макдональд, И. Г. (1969). Введение в коммутативную алгебру . Reading, MA: Addison-Wesley.