В математике корень n -й степени из числа x — это число r (корень), которое, возведенное в степень положительного целого числа n , дает x :
Целое число n называется индексом или степенью , а число x , корень которого взят, является подкоренным выражением. Корень степени 2 называется квадратным корнем , а корень степени 3 — кубическим корнем . Корни более высокой степени обозначаются с помощью порядковых номеров , например, корень четвертой степени , корень двадцатой степени и т. д. Вычисление корня n- й степени представляет собой извлечение корня .
Например, 3 — это квадратный корень из 9 , поскольку 3 2 = 9 , а −3 также является квадратным корнем из 9 , поскольку (−3) 2 = 9 .
Корень n- й степени из x записывается с использованием радикального символа или системы счисления . Квадратный корень обычно записывается без буквы n как . Извлечение корня n- й степени из числа является операцией, обратной возведению в степень [ 1 ] и может быть записано в виде дробного показателя:
Для положительного действительного числа x обозначает положительный квадратный корень из x и обозначает положительный действительный корень n- й степени. Отрицательное действительное число — x не имеет действительных квадратных корней, но когда x рассматривается как комплексное число, оно имеет два мнимых квадратных корня, и , где i — мнимая единица .
В общем, любое ненулевое комплексное число имеет n различных комплексных корней n- й степени, равномерно распределенных по комплексному кругу постоянного абсолютного значения . ( Корень n- й степени из 0 равен нулю с кратностью n , и этот круг вырождается в точку.) Таким образом, извлечение корней n- й степени из комплексного числа x можно считать многозначной функцией . По соглашению главным значением этой функции, называемым главным корнем и обозначаемым , считается корень n-й степени с наибольшей действительной частью, а в особом случае, когда x — отрицательное действительное число, то число с положительной мнимой частью . часть . Таким образом, главный корень положительного действительного числа также является положительным действительным числом. Как функция главный корень непрерывен во всей комплексной плоскости , за исключением отрицательной вещественной оси.
Неразрешенный корень, особенно тот, который использует радикальный символ, иногда называют сурдом [2] или радикалом . [3] Любое выражение, содержащее радикал, будь то квадратный корень, кубический корень или более высокий корень, называется радикальным выражением , а если оно не содержит трансцендентных функций или трансцендентных чисел, оно называется алгебраическим выражением .
Корни используются для определения радиуса сходимости степенного ряда с помощью корневого теста . Корни n -й степени из 1 называются корнями из единицы и играют фундаментальную роль в различных областях математики, таких как теория чисел , теория уравнений и преобразование Фурье .
Архаичный термин для обозначения операции извлечения корней n — радиация . [4] [5]
Корень n-й степени из числа x , где n — целое положительное число, представляет собой любое из n действительных или комплексных чисел r , n-я степень которого равна x :
Каждое положительное действительное число x имеет единственный положительный корень n- й степени, называемый главным корнем n- й степени и записываемый . Для n, равного 2, это называется главным квадратным корнем, и n опускается. Корень n- й степени также можно представить с помощью возведения в степень как x 1/n .
Для четных значений n положительные числа также имеют отрицательный корень n- й степени, а отрицательные числа не имеют действительного корня n- й степени. Для нечетных значений n каждое отрицательное число x имеет действительный отрицательный корень n -й степени. Например, −2 имеет действительный корень пятой степени, но −2 не имеет действительных корней шестой степени.
Каждое ненулевое число x , вещественное или комплексное , имеет n различных корней комплексного числа n- й степени. (В случае, если x вещественный, в это число входят любые действительные корни n- й степени.) Единственный комплексный корень из 0 — это 0.
Корни n- й степени почти всех чисел (все целые числа, кроме n -й степени, и все рациональные числа, кроме частных двух n- й степени) иррациональны . Например,
Все корни n- й степени рациональных чисел являются алгебраическими числами , а все корни n-й степени целых чисел являются целыми алгебраическими числами .
Термин «сурд» восходит к Аль-Хорезми ( ок. 825 ), который называл рациональные и иррациональные числа слышимыми и неслышимыми соответственно. Позже это привело к тому, что арабское слово أصم ( asamm , что означает «глухой» или «немой»), обозначающее иррациональное число, было переведено на латынь как surdus (что означает «глухой» или «немой»). Жерар Кремонский ( ок. 1150 ), Фибоначчи (1202), а затем Роберт Рекорд (1551) использовали этот термин для обозначения неразрешенных иррациональных корней , то есть выражений вида , в которых и являются целыми числами, а целое выражение обозначает иррациональное число. [6] Иррациональные числа вида где является рациональным, называются чистыми квадратичными иррациональными числами ; иррациональные числа вида , где и рациональны, называются смешанными квадратичными иррациональными числами . [7]
Квадратный корень из числа x — это число r , которое при возведении в квадрат становится x :
Каждое положительное действительное число имеет два квадратных корня: один положительный и один отрицательный. Например, два квадратных корня из 25 равны 5 и −5. Положительный квадратный корень также известен как главный квадратный корень и обозначается знаком радикала:
Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицательен, отрицательные числа не имеют действительных квадратных корней. Однако для каждого отрицательного действительного числа есть два мнимых квадратных корня. Например, квадратные корни из −25 равны 5 i и −5 i , где i представляет число, квадрат которого равен −1 .
Кубический корень числа x — это число r , куб которого равен x :
Каждое действительное число x имеет ровно один действительный кубический корень, записанный . Например,
Каждое действительное число имеет два дополнительных комплексных кубических корня.
Выражение степени корня n- й степени в его экспонентной форме, как в , упрощает манипулирование степенями и корнями. Если — неотрицательное действительное число ,
Каждое неотрицательное число имеет ровно один неотрицательный действительный корень n-й степени, поэтому правила операций с иррациональными числами, включающими неотрицательные подкоренные числа , просты в пределах действительных чисел:
Тонкости могут возникнуть при извлечении корней n-й степени из отрицательных или комплексных чисел . Например:
скорее,
Поскольку правило строго соблюдается только для неотрицательных вещественных подкоренных чисел, его применение приводит к неравенству на первом шаге выше.
Говорят, что невложенное радикальное выражение имеет упрощенную форму, если ни один фактор подкоренного выражения не может быть записан в виде степени, большей или равной индексу; внутри знака корня нет дробей; и в знаменателе радикалов нет. [8]
Например, чтобы записать радикальное выражение в упрощенном виде, можно поступить следующим образом. Сначала найдите идеальный квадрат под знаком квадратного корня и удалите его:
Далее идет дробь под знаком радикала, которую меняем следующим образом:
Наконец, удалим радикал из знаменателя следующим образом:
Когда есть знаменатель, включающий в себя иррациональные числа, всегда можно найти множитель, на который можно умножить и числитель, и знаменатель, чтобы упростить выражение. [9] [10] Например, используя факторизацию суммы двух кубов :
Упрощение радикальных выражений, включающих вложенные радикалы, может быть довольно трудным. В частности, разделение не всегда возможно, а когда это возможно, оно может включать в себя передовую теорию Галуа . Более того, когда полное выравнивание невозможно, не существует общей канонической формы , позволяющей проверить равенство двух чисел, просто глядя на их канонические выражения.
Например, не очевидно, что
Вышеупомянутое можно получить посредством:
Пусть , где p и q взаимно простые и положительные целые числа. Тогда рационально тогда и только тогда, когда оба и являются целыми числами, что означает, что и p , и q являются n- ми степенями некоторого целого числа.
Радикал или корень могут быть представлены бесконечным рядом :
с . Это выражение можно вывести из биномиального ряда .
Корень n- й степени из числа A можно вычислить с помощью метода Ньютона , который начинается с начального предположения x 0 , а затем повторяется с использованием рекуррентного соотношения
пока не будет достигнута желаемая точность. Для повышения эффективности вычислений рекуррентное соотношение обычно переписывают
Это позволяет иметь только одно возведение в степень и вычислить один раз для всех первый фактор каждого члена.
Например, чтобы найти корень пятой степени из 34, мы подставляем n = 5, A = 34 и x 0 = 2 (первоначальное предположение). Первые 5 итераций примерно таковы:
(Показаны все правильные цифры.)
Приближение x 4 соответствует 25 десятичным знакам, а x 5 — 51.
Метод Ньютона можно модифицировать для получения различных обобщенных цепных дробей для корня n -й степени. Например,
Основываясь на поразрядном вычислении квадратного корня , можно увидеть, что используемая там формула, или , следует шаблону, включающему треугольник Паскаля. Поскольку корень n- й степени числа определяется как значение элемента в строке треугольника Паскаля, такое , что мы можем переписать выражение как . Для удобства назовите результат этого выражения . Используя это более общее выражение, любой положительный главный корень можно вычислить по цифрам следующим образом.
Запишите исходное число в десятичной форме. Числа записываются аналогично алгоритму деления столбиком , и, как и при делении столбиком, в строке выше будет записан корень. Теперь разделите цифры на группы цифр, соответствующие взятому корню, начиная с десятичной точки и идя влево и вправо. Десятичная точка корня будет находиться над десятичной точкой подкоренного выражения. Над каждой группой цифр исходного числа появится одна цифра корня.
Начиная с самой левой группы цифр, выполните следующую процедуру для каждой группы:
Найдите квадратный корень из 152,2756.
1 2. 3 4 / \/01 52.27 56 (Результаты) (Пояснения) 01 x = 1 10 0 ·1·0 0 · 1 2 + 10 1 ·2· 0 1 · 1 1 ≤ 1 < 10 0 ·1·0 0 · 2 2 + 10 1 ·2·0 1 ·2 1 01 y = 1 y = 10 0 ·1 ·0 0 ·1 2 + 10 1 · 2 ·0 1 ·1 1 = 1 + 0 = 1 00 52 x = 2 10 0 ·1 · 1 0 · 2 2 + 10 1 ·2·1 1 · 2 1 ≤ 52 < 10 0 ·1·1 0 ·3 2 + 10 1 ·2·1 1 ·3 1 00 44 y = 44 y = 10 0 ·1·1 0 ·2 2 + 10 1 ·2·1 1 ·2 1 = 4 + 40 = 44 08 27 x = 3 10 0 ·1·12 0 · 3 2 + 10 1 ·2·12 1 · 3 1 ≤ 827 < 10 0 ·1· 12 0 ·4 2 + 10 1 ·2·12 1 ·4 1 07 29 y = 729 y = 10 0 ·1 · 12 0 ·3 2 + 10 1 ·2 · 12 1 ·3 1 = 9 + 720 = 729 98 56 x = 4 10 0 ·1 · 123 0 · 4 2 + 10 1 ·2 · 123 1 · 4 1 ≤ 9856 < 10 0 ·1 · 123 0 ·5 2 + 10 1 ·2 · 123 1 ·5 1 98 56 у = 9856 у = 10 0 ·1 · 123 0 ·4 2 + 10 1 ·2 · 123 1 ·4 1 = 16 + 9840 = 9856 00 00
Алгоритм завершает работу: Ответ: 12,34.
Найдите кубический корень из числа 4192, округленный до тысячных.
1 6. 1 2 4 3 / \/ 004 192.000 000 000 (Результаты) (Пояснения) 004 x = 1 10 0 ·1·0 0 · 1 3 + 10 1 ·3·0 1 · 1 2 + 10 2 ·3·0 2 · 1 1 ≤ 4 < 10 0 ·1·0 0 ·2 3 + 10 1 ·3·0 1 ·2 2 + 10 2 ·3·0 2 ·2 1 001 y = 1 y = 10 0 ·1·0 0 ·1 3 + 10 1 ·3·0 1 ·1 2 + 10 2 ·3·0 2 ·1 1 = 1 + 0 + 0 = 1 003 192 x = 6 10 0 ·1·1 0 · 6 3 + 10 1 ·3·1 1 · 6 2 + 10 2 ·3·1 2 · 6 1 ≤ 3192 < 10 0 ·1 · 1 0 ·7 3 + 10 1 ·3 · 1 1 ·7 2 + 10 2 ·3 · 1 2 ·7 1 003 096 y = 3096 y = 10 0 ·1 ·1 0 ·6 3 + 10 1 ·3·1 1 ·6 2 + 10 2 ·3·1 2 ·6 1 = 216 + 1080 + 1800 = 3096 096 000 x = 1 10 0 ·1·16 0 · 1 3 + 10 1 ·3 · 16 1 · 1 2 + 10 2 ·3 · 16 2 · 1 1 ≤ 96000 < 10 0 ·1 · 16 0 ·2 3 + 10 1 ·3 · 16 1 ·2 2 + 10 2 ·3 · 16 2 · 2 1 077 281 y = 77281 y = 10 0 ·1 · 16 0 ·1 3 + 10 1·3·16 1 ·1 2 + 10 2 ·3 · 16 2 ·1 1 = 1 + 480 + 76 800 = 77 281 018 719 000 x = 2 10 0 ·1 · 161 0 · 2 3 + 10 1 ·3 · 161 1 · 2 2 + 10 2 ·3 · 161 2 · 2 1 ≤ 18719000 < 10 0 ·1 · 161 0 ·3 3 + 10 1 ·3 · 161 1 ·3 2 + 10 2 ·3 · 161 2 ·3 1 015 571 928 y = 15571928 y = 10 0 · 1 · 161 0 · 2 3 + 10 1 · 3 · 161 1 · 2 2 + 10 2 · 3 · 161 2 · 2 1 = 8 + 19,320 + 15 552,600 = 15,571,928 003 147. 072 000 x = 4 10 0 ·1 · 1612 0 · 4 3 + 10 1 ·3 · 1612 1 · 4 2 + 10 2 ·3 · 1612 2 · 4 1 ≤ 3147072000 < 10 0 ·1 · 1612 0 ·5 3 + 10 1 ·3·1612 1 ·5 2 + 10 2 ·3·1612 2 ·5 1
Желаемая точность достигнута. Кубический корень из 4192 равен 16,124...
Главный корень n-й степени из положительного числа можно вычислить с помощью логарифмов . Начиная с уравнения, которое определяет r как корень n-й степени из x , а именно, где x положительный и, следовательно, его главный корень r также положительный, нужно логарифмировать обе части ( подойдет любое основание логарифма ), чтобы получить
Корень r восстанавливается путем взятия антилогарифма :
(Примечание: эта формула показывает b , возведенное в степень результата деления, а не b , умноженное на результат деления.)
В случае, когда x отрицательно, а n нечетно, существует один вещественный корень r , который также отрицателен. Это можно найти, сначала умножив обе части определяющего уравнения на -1, чтобы получить, а затем, как и раньше, найти | r |, и используя r = −| р | .
Древнегреческие математики умели с помощью циркуля и линейки построить длину, равную квадратному корню из заданной длины, когда дана вспомогательная линия единичной длины. В 1837 году Пьер Ванцель доказал, что корень n- й степени заданной длины не может быть построен, если n не является степенью 2. [11]
Каждое комплексное число, кроме 0, имеет n различных корней n- й степени.
Два квадратных корня комплексного числа всегда являются отрицательными по отношению друг к другу. Например, квадратные корни из −4 равны 2 i и −2 i , а квадратные корни из i равны
Если выразить комплексное число в полярной форме , то квадратный корень можно получить, взяв квадратный корень из радиуса и уменьшив угол пополам:
Главный корень комплексного числа можно выбрать различными способами, например
который вводит разрез в комплексной плоскости вдоль положительной вещественной оси с условием 0 ≤ θ < 2 π или вдоль отрицательной вещественной оси с − π < θ ≤ π .
Используя первую (последнюю) ветвь, разрежьте главные квадратные корни на полуплоскость с неотрицательной мнимой (действительной) частью. Последнее сокращение ветки предполагается в математических программах, таких как Matlab или Scilab .
Число 1 имеет n различных корней n-й степени в комплексной плоскости, а именно
где
Эти корни равномерно расположены вокруг единичной окружности в комплексной плоскости под углами, кратными . Например, квадратные корни из единицы равны 1 и −1, а корни четвертой степени из единицы равны 1, , −1 и .
Каждое комплексное число имеет n различных корней n-й степени в комплексной плоскости. Это
где η — одиночный корень n-й степени, а 1, ω , ω2 , ... ωn − 1 — корни n- й степени из единицы. Например, четыре различных корня четвертой степени из 2 равны
В полярной форме один корень n- й степени можно найти по формуле
Здесь r — величина (модуль, называемый также абсолютным значением ) числа, корень которого необходимо извлечь; если число можно записать как a+bi , то . Кроме того, это угол, образующийся при повороте начала координат против часовой стрелки от положительной горизонтальной оси к лучу, идущему от начала координат к числу; он обладает свойствами, которые и
Таким образом, поиск корней n-й степени в комплексной плоскости можно разделить на два этапа. Во-первых, величина всех корней n- й степени равна корню n- й степени из величины исходного числа. Во-вторых, угол между положительной горизонтальной осью и лучом, идущим от начала координат до одного из корней n -й степени, равен , где – угол, определяемый таким же образом для числа, из которого извлекается корень. При этом все n корней n- й степени расположены под одинаковыми углами друг от друга.
Если n четно, корни n- й степени комплексного числа, число которых четное, образуют аддитивные обратные пары, так что если число r 1 является одним из корней n- й степени, то r 2 = – r 1 является другим. Это связано с тем, что возведение последнего коэффициента –1 в n -ю степень для четного n дает 1: то есть (– r 1 ) n = (–1) n × r 1 n = r 1 n .
Как и в случае с квадратными корнями, приведенная выше формула не определяет непрерывную функцию на всей комплексной плоскости, а вместо этого имеет ветвь в точках, где θ / n разрывна.
Когда-то была выдвинута гипотеза , что все полиномиальные уравнения можно решить алгебраически (то есть, что все корни многочлена могут быть выражены через конечное число радикалов и элементарных операций ). Однако, хотя это верно для полиномов третьей степени ( кубик ) и полиномов четвертой степени ( квартик ), теорема Абеля-Руффини (1824 г.) показывает, что в целом это неверно, когда степень равна 5 или выше. Например, решения уравнения
не может быть выражено через радикалы. ( ср. уравнение пятой степени )
Предположим, это рационально. То есть ее можно свести к дроби , где a и b — целые числа без общего делителя.
Это значит, что .
Поскольку x является целым числом и должен иметь общий делитель, если . Это означает, что если , не находится в простейшей форме. Таким образом, b должно равняться 1.
Поскольку и , .
Это означает, что и, таким образом, . Это означает, что это целое число. Поскольку x не является идеальной n- й степенью, это невозможно. Это иррационально.