Отношение масса-светимость

Уравнение звездной астрофизики

В астрофизике соотношение масса -светимость — это уравнение, определяющее связь между массой звезды и ее светимостью , впервые замеченное Якобом Карлом Эрнстом Хальмом . ^[1] Зависимость представлена ​​уравнением:

$${\displaystyle {\frac {L}{L_{\odot }}}=\left({\frac {M}{M_{\odot }}}\right)^{a}}$$

L _⊙M _⊙1 < a < 6^[2]aглавной последовательности^[3]a2 M _⊙ < M < 55 M _⊙светимости Эддингтонаa

Таким образом, соотношения для звезд с разными диапазонами масс, в хорошем приближении, выглядят следующим образом: ^{[2] [4] [5]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {L}{L_{\odot }}}&\approx 0.23\left({\frac {M}{M_{\odot }}}\right)^{2.3}&(M<0.43M_{\odot })\\{\frac {L}{L_{\odot }}}&=\left({\frac {M}{M_{\odot }}}\right)^{4}&(0.43M_{\odot }<M<2M_{\odot })\\{\frac {L}{L_{\odot }}}&\approx 1.4\left({\frac {M}{M_{\odot }}}\right)^{3.5}&(2M_{\odot }<M<55M_{\odot })\\{\frac {L}{L_{\odot }}}&\approx 32000{\frac {M}{M_{\odot }}}&(M>55M_{\odot })\end{aligned}}}$$

Для звезд с массой менее 0,43 M _⊙ конвекция является единственным процессом переноса энергии, поэтому соотношение существенно меняется . Для звезд с массами M  > 55 M _⊙ соотношение выравнивается и становится L  ∝  M ^[2] , но на самом деле эти звезды недолговечны, потому что они нестабильны и быстро теряют вещество из-за интенсивных солнечных ветров. Можно показать, что это изменение связано с увеличением радиационного давления в массивных звездах. ^[2] Эти уравнения определяются эмпирически путем определения массы звезд в двойных системах, расстояние до которых известно с помощью стандартных измерений параллакса или других методов. После того, как будет нанесено достаточное количество звезд, звезды образуют линию на логарифмическом графике, а наклон линии дает правильное значение a .

Другая форма, справедливая для звезд главной последовательности K-типа , позволяющая избежать разрыва показателя степени, была предложена Кунцем и Вангом; ^[6] там написано:

$${\displaystyle {\frac {L}{L_{\odot }}}\approx \left({\frac {M}{M_{\odot }}}\right)^{a(M)}\qquad \qquad (0.20M_{\odot }<M<0.85M_{\odot })}$$

$${\displaystyle a(M)=-141.7\cdot M^{4}+232.4\cdot M^{3}-129.1\cdot M^{2}+33.29\cdot M+0.215}$$

ММ _⊙^[7]на КеплерMM _⊙aMM _⊙

Соотношение масса/светимость важно, поскольку его можно использовать для определения расстояния до двойных систем , которые находятся слишком далеко для обычных измерений параллакса , используя метод, называемый « динамический параллакс ». ^[8] В этом методе массы двух звезд в двойной системе оцениваются, обычно через массу Солнца. Затем с помощью законов небесной механики Кеплера рассчитывается расстояние между звездами. Как только это расстояние будет найдено, расстояние можно будет определить по дуге, проходящей по небу, что дает предварительное измерение расстояния. На основе этого измерения и видимых звездных величин обеих звезд можно определить светимость, а с помощью соотношения масса-светимость - массы каждой звезды. Эти массы используются для перерасчета расстояния разделения, и процесс повторяется. Процесс повторяется много раз, и может быть достигнута точность до 5%. ^[8] Соотношение масса/светимость также можно использовать для определения времени жизни звезд, отметив, что время жизни примерно пропорционально M/L, хотя можно обнаружить, что более массивные звезды имеют меньшую продолжительность жизни, чем та, которую предсказывает соотношение M/L. Более сложные расчеты учитывают потерю массы звезды с течением времени.

Вывод

Для получения теоретически точного соотношения масса/светимость необходимо найти уравнение генерации энергии и построить термодинамическую модель внутренней части звезды. Однако основное соотношение L  ∝  M ³ может быть получено с использованием некоторых основных физических принципов и упрощающих предположений. ^[9] Первый такой вывод был выполнен астрофизиком Артуром Эддингтоном в 1924 году. ^[10] Вывод показал, что звезды можно приблизительно смоделировать как идеальные газы, что было новой, несколько радикальной идеей в то время. Далее следует несколько более современный подход, основанный на тех же принципах.

Важным фактором, контролирующим светимость звезды (энергию, излучаемую в единицу времени), является скорость рассеяния энергии в ее объеме. Там, где нет тепловой конвекции , это рассеивание происходит в основном за счет диффузии фотонов. Интегрируя первый закон Фика по поверхности некоторого радиуса r в зоне излучения (где конвекция пренебрежимо мала), мы получаем полный исходящий поток энергии, который равен светимости в силу сохранения энергии :

$${\displaystyle L=-4\pi \,r^{2}D{\frac {\partial u}{\partial r}}}$$

D — коэффициент диффузииu

Обратите внимание: это предполагает, что звезда не является полностью конвективной и что все процессы выделения тепла ( нуклеосинтез ) происходят в ядре, ниже зоны излучения. Эти два предположения неверны для красных гигантов , которые не подчиняются обычному соотношению масса-светимость. Звезды малой массы также полностью конвективны, следовательно, не подчиняются закону.

При аппроксимации звезды черным телом плотность энергии связана с температурой законом Стефана-Больцмана :

$${\displaystyle u={\frac {4}{c}}\,\sigma _{B}\,T^{4}}$$

$${\displaystyle \sigma _{B}={\frac {2\pi ^{5}k_{B}^{4}}{15c^{2}h^{3}}}={\frac {\pi ^{2}k_{B}^{4}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}.}$$

постоянная Стефана–Больцманаcскорость светаk _Bпостоянная Больцманаприведенная постоянная Планка ${\displaystyle \hbar }$

Как и в теории коэффициента диффузии в газах , коэффициент диффузии D приближенно удовлетворяет:

$${\displaystyle D={\frac {1}{3}}c\,\lambda }$$

где λ — длина свободного пробега

Поскольку в ядре звезды вещество полностью ионизовано (а также там, где температура того же порядка, что и внутри ядра), фотоны сталкиваются преимущественно с электронами, и поэтому λ удовлетворяет условию

$${\displaystyle \lambda ={\frac {1}{n_{e}\sigma _{e\cdot \gamma }}}}$$

${\displaystyle n_{e}}$

$${\displaystyle \sigma _{e\cdot \gamma }={\frac {8\pi }{3}}\left({\frac {\alpha \hbar c}{m_{e}c^{2}}}\right)^{2}}$$

томсоновскому сечениюпостоянная тонкой структурыm _{e —}

Средняя плотность звездных электронов связана с массой звезды M и радиусом R.

$${\displaystyle \langle n_{e}\rangle ={\frac {M}{m_{n}4\pi R^{3}/3}}}$$

Наконец, по теореме вириала полная кинетическая энергия равна половине гравитационной потенциальной энергии EG _, поэтому, если средняя масса ядра равна m _n , то средняя кинетическая энергия на ядро ​​удовлетворяет:

$${\displaystyle {\frac {3}{2}}k_{B}T={\frac {1}{2}}E_{G}{\frac {m_{n}}{M}}=C{\frac {3}{10}}{\frac {GMm_{n}}{R}}}$$

TCпоказателю политропы

Подводя итоги, мы также принимаем r равным R с точностью до множителя, а n _e at r заменяем его звездным средним с точностью до множителя. Суммарный коэффициент для Солнца составляет примерно 1/15, и мы получаем:

$${\displaystyle {\begin{aligned}L&=-4\pi \,r^{2}D{\frac {\partial u}{\partial r}}\approx 4\pi \,R^{2}D{\frac {u}{R}}\\L&\approx {\frac {1}{15}}{\frac {64\pi ^{2}}{9}}{\frac {\sigma _{B}}{\sigma _{e\cdot \gamma }}}{\frac {R^{4}T^{4}m_{n}}{M}}\\&\approx {\frac {1}{15}}{\frac {2\pi ^{3}}{9\cdot 5^{5}}}{\frac {G^{4}\,m_{e}^{2}\,m_{n}^{5}}{\alpha ^{2}\hbar ^{5}}}\,M^{3}=4\cdot {10^{26}}_{W}\,\left({\frac {M}{M_{\odot }}}\right)^{3}\\\end{aligned}}}$$

Добавляемый коэффициент фактически зависит от М , поэтому закон имеет приближенную зависимость. ${\displaystyle M^{3.5}}$

Различение малых и больших звездных масс.

Различить случаи малых и больших звездных масс можно, получив приведенные выше результаты с помощью радиационного давления. В этом случае проще использовать оптическую непрозрачность и непосредственно учитывать внутреннюю температуру T _{I ;} точнее, можно считать среднюю температуру в зоне радиации . ${\displaystyle \kappa }$

Рассмотрение начнем с того, что отметим связь между давлением излучения P _рад и светимостью. Градиент радиационного давления равен переданному импульсу, поглощенному излучением, что дает:

$${\displaystyle {\frac {dP_{rad}}{dr}}=-{\frac {\kappa \rho }{c}}{\frac {L}{4\pi r^{2}}},}$$

${\displaystyle 1/\kappa \rho =l}$

Давление излучения связано с температурой соотношением , поэтому ${\displaystyle P_{rad}={\frac {4\sigma }{3c}}{T_{I}}^{4}}$

$${\displaystyle {T_{I}}^{3}{\frac {dT_{I}}{dr}}=-{\frac {3\kappa \rho }{16\sigma }}{\frac {L}{4\pi r^{2}}},}$$

$${\displaystyle L\varpropto {T_{I}}^{4}{\frac {R}{\rho }}\varpropto {T_{I}}^{4}{\frac {R^{4}}{M}}.}$$

В зоне излучения гравитация уравновешивается давлением на газ, исходящим как от него самого (приближаемого давлением идеального газа), так и от излучения. Для достаточно малой звездной массы последняя пренебрежимо мала, и можно прийти к

$${\displaystyle T_{I}\varpropto {\frac {M}{R}}}$$

_EI ${\displaystyle T_{I}-T_{E}}$

Отсюда непосредственно следует, что

$${\displaystyle L\varpropto M^{3}.}$$

Для достаточно большой массы звезды давление излучения больше давления газа в зоне излучения. Подстановка радиационного давления вместо использованного выше давления идеального газа дает

$${\displaystyle {T_{I}}^{4}\varpropto {\frac {M^{2}}{R^{4}}},}$$

$${\displaystyle L\varpropto M.}$$

Температура ядра и поверхности

В первом приближении звезды представляют собой излучатели черного тела с площадью поверхности 4 πR ² . Таким образом, из закона Стефана-Больцмана светимость связана с температурой поверхности T _S , а через нее с цветом звезды соотношением

$${\displaystyle L=4\pi R^{2}\sigma _{B}T_{S}^{4}}$$

σ _Bпостоянная Стефана–Больцмана5,67 × 10–8 ^Вт  ·м ^–2 К ^–4

Светимость равна полной энергии, производимой звездой в единицу времени. Поскольку эта энергия производится в результате нуклеосинтеза, обычно в ядре звезды (это не относится к красным гигантам ), температура ядра связана со светимостью скоростью нуклеосинтеза в единице объема:

$${\displaystyle L={\frac {dE}{dt}}\approx \epsilon \,{\frac {4\pi }{3}}R^{3}\,n_{A}\,n_{B}\,{\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {3m_{R}}}}\,{\sqrt {E_{0}(T)}}{\frac {S(E_{0}(T))}{kT}}e^{-{\frac {3E_{0}(T)}{kT}}}}$$

цепной реакцииреакционном циклепика ГамоваEG _,ГамоваSEnприведенная массаABпротон-протонная цепная реакцияАВ ${\textstyle E_{0}=\left({\sqrt {E_{G}}}\,kT/2\right)^{2/3}}$ ${\displaystyle m_{R}=m_{A}\cdot m_{B}/(m_{A}+m_{B})}$¹⁴
₇Н
CNO

Поскольку радиус R сам по себе является функцией температуры и массы, можно решить это уравнение, чтобы получить температуру ядра.

Рекомендации

1. Койпер, врач общей практики (1938). «Эмпирическая связь массы и светимости». Астрофизический журнал . 88 : 472–506. Бибкод : 1938ApJ....88..472K. дои : 10.1086/143999 .
2. Саларис, Маурицио; Санти Кассизи (2005). Эволюция звезд и звездного населения. Джон Уайли и сыновья . стр. 138–140. ISBN 978-0-470-09220-0.
3. «Отношения массы и светимости». Гиперфизика . Проверено 23 августа 2009 г.
4. Дурик, Небойша (2004). Передовая астрофизика. Издательство Кембриджского университета . п. 19. ISBN 978-0-521-52571-8.
5. «Предел Эддингтона (лекция 18)» (PDF) . jila.colorado.edu . 2003 . Проверено 22 января 2019 г.
6. Кунц, М.; Ван, З. (2018). «Соотношение массы и светимости для уточненного набора карликов позднего K/M». Исследовательские заметки Американского астрономического общества . 2a : 19. Бибкод : 2018RNAAS...2a..19C. дои : 10.3847/2515-5172/aaaa67 .
7. Манн, AW; Гайдос, Э.; Ансделл, М. (2013). «Спектротермометрия М-карликов и их планет-кандидатов: слишком жарко, слишком холодно или в самый раз?». Астрофизический журнал . 779 (2): 188. arXiv : 1311.0003 . Бибкод : 2013ApJ...779..188M. дои : 10.1088/0004-637X/779/2/188.
8. Маллани, Джеймс (2005). Двойные и кратные звезды и как их наблюдать . Спрингер. п. 27. ISBN 978-1-85233-751-3.
9. Филлипс, AC (1999). Физика звезд . Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-471-98798-7.
10. Леккини, Стефано (2007). Как гномы стали великанами. Открытие связи масса-светимость. Бернские исследования по истории и философии науки. ISBN 978-3-9522882-6-9.^{[ постоянная мертвая ссылка ]}