Выражение (математика)

Символическое описание математического объекта

В уравнении 7x − 5 = 2 стороны уравнения являются выражениями.

В математике выражение — это письменное расположение символов , следующее контекстно-зависимым синтаксическим соглашениям математической нотации . Символы могут обозначать числа ( константы ), переменные , операции и функции . ^[1] Другие символы включают знаки препинания и скобки , используемые для группировки , где нет четко определенного порядка операций .

Выражения обычно отличают от формул : выражения являются своего рода математическим объектом , тогда как формулы являются утверждениями о математических объектах. ^[2] Это аналогично естественному языку , где именная группа относится к объекту, а целое предложение относится к факту . Например, является выражением, тогда как неравенство является формулой. ${\displaystyle 8x-5}$ ${\displaystyle 8x-5\geq 3}$

Оценить или упростить выражение означает найти числовое значение , эквивалентное выражению. ^{[3] [4]} Выражения можно оценить или упростить , заменив операции , которые в них появляются, их результатом. Например, выражение упрощается до , а оценивается до ${\displaystyle 8\times 2-5}$ ${\displaystyle 16-5}$ ${\displaystyle 11.}$

Выражение часто используется для определения функции , принимая переменные в качестве аргументов или входных данных функции и назначая выходные данные в качестве оценки результирующего выражения. ^[5] Например, и определяют функцию, которая сопоставляет каждому числу его квадрат плюс один. Выражение без переменных будет определять постоянную функцию . Обычно два выражения считаются равными или эквивалентными, если они определяют одну и ту же функцию. Такое равенство называется « семантическим равенством», то есть оба выражения «означают одно и то же». ${\displaystyle x\mapsto x^{2}+1}$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}+1}$

Формальное выражение — это своего рода строка символов , созданная по тем же правилам производства, что и стандартные выражения, однако они используются без учета смысла выражения. Таким образом, два формальных выражения считаются равными, только если они синтаксически равны, то есть если они являются одним и тем же выражением. ^{[6] [7]} Например, формальные выражения «2» и «1+1» не равны.

Переменные и оценка

В элементарной алгебре переменная в выражении — это буква , которая представляет число, значение которого может изменяться. Вычислить выражение с переменной — значит найти значение выражения, когда переменной присвоено заданное число. Выражения можно вычислять или упрощать, заменяя операции , которые появляются в них, их результатом или объединяя подобные члены . ^[8]

Например, возьмем выражение ; его можно вычислить при x = 3, выполнив следующие шаги: ${\displaystyle 4x^{2}+8}$

${\textstyle 4(3)^{2}+3}$, (замените x на 3)

${\displaystyle 4\cdot (3\cdot 3)+8}$(используйте определение показателя степени )

${\displaystyle 4\cdot 9+8}$(упрощать)

${\displaystyle 36+8}$

${\displaystyle 44}$

Член — это константа или произведение константы и одной или нескольких переменных. Вот несколько примеров: Константа произведения называется коэффициентом . Члены, которые являются константами или имеют одинаковые переменные, возведенные в одинаковые степени, называются подобными членами . Если в выражении есть подобные члены, вы можете упростить выражение, объединив подобные члены. Мы складываем коэффициенты и сохраняем ту же переменную. ${\displaystyle 7,\;5x,\;13x^{2}y,\;4b}$

${\displaystyle 4x+7x+2x=15x}$

Любая переменная может быть классифицирована как свободная переменная или связанная переменная . Для заданной комбинации значений свободных переменных выражение может быть оценено, хотя для некоторых комбинаций значений свободных переменных значение выражения может быть неопределенным . Таким образом, выражение представляет собой операцию над константами и свободными переменными, и ее выходом является результирующее значение выражения. ^[9]

Для неформализованного языка, то есть в большинстве математических текстов за пределами математической логики , для отдельного выражения не всегда возможно определить, какие переменные являются свободными, а какие связанными. Например, в , в зависимости от контекста, переменная может быть свободной и связанной, или наоборот, но они не могут быть оба свободными. Определение того, какое значение предполагается свободным, зависит от контекста и семантики . ^[10] ${\textstyle \sum _{i<k}a_{ik}}$ ${\textstyle i}$ ${\textstyle k}$

Эквивалентность

Выражение часто используется для определения функции или обозначения композиции функций, принимая переменные в качестве аргументов или входов функции и назначая выход в качестве оценки результирующего выражения. ^[11] Например, и определяют функцию, которая сопоставляет каждому числу его квадрат плюс один. Выражение без переменных будет определять постоянную функцию . Таким образом, два выражения называются эквивалентными, если для каждой комбинации значений для свободных переменных они имеют одинаковый выход, т. е. они представляют одну и ту же функцию. ^{[12] [13]} Эквивалентность между двумя выражениями называется тождеством и иногда обозначается с помощью ${\displaystyle x\mapsto x^{2}+1}$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}+1}$ ${\displaystyle \equiv .}$

Например, в выражении переменная n связана, а переменная x свободна. Это выражение эквивалентно более простому выражению 12 x ; то есть Значение для x = 3 равно 36, что можно обозначить ${\textstyle \sum _{n=1}^{3}(2nx),}$ $${\displaystyle \sum _{n=1}^{3}(2nx)\equiv 12x.}$$ $${\displaystyle \sum _{n=1}^{3}(2nx){\Big |}_{x=3}=36.}$$

Полиномиальная оценка

Полином состоит из переменных и коэффициентов , которые включают только операции сложения , вычитания , умножения и возведения в степень неотрицательных целых чисел, и имеет конечное число членов. Проблема оценки полинома часто возникает на практике. В вычислительной геометрии полиномы используются для вычисления приближений функций с использованием полиномов Тейлора . В криптографии и хэш-таблицах полиномы используются для вычисления k -независимого хэширования .

В первом случае полиномы оцениваются с использованием арифметики с плавающей точкой , что не является точным. Таким образом, различные схемы оценки, как правило, дадут немного разные ответы. Во втором случае полиномы обычно оцениваются в конечном поле , и в этом случае ответы всегда точны.

Для оценки одномерного многочлена наиболее наивный метод будет использовать умножения для вычисления , использовать умножения для вычисления и так далее для общего количества умножений и сложений. Используя лучшие методы, такие как правило Горнера , это можно свести к умножениям и сложениям. Если разрешена некоторая предварительная обработка, возможна еще большая экономия. ${\textstyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0},}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{n}x^{n}}$ ${\textstyle n-1}$ ${\displaystyle a_{n-1}x^{n-1}}$ ${\textstyle {\frac {n(n+1)}{2}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Вычисление

Вычисление — это любой тип арифметического или неарифметического вычисления , которое «хорошо определено». ^[14] Идея о том, что математические утверждения должны быть «хорошо определенными», обсуждалась математиками по крайней мере с 1600-х годов , ^[15] но соглашение о подходящем определении оказалось неуловимым. ^[16] Кандидатное определение было предложено независимо несколькими математиками в 1930-х годах. ^[17] Самый известный вариант был формализован математиком Аланом Тьюрингом , который определил хорошо определенное утверждение или вычисление как любое утверждение, которое может быть выражено в терминах параметров инициализации машины Тьюринга . ^{[18] [ нужна страница ]} Определение Тьюринга распределяло «хорошо определенность» на очень большой класс математических утверждений, включая все правильно сформированные алгебраические утверждения и все утверждения, написанные на современных языках программирования. ^[19]

Несмотря на широкое распространение этого определения, существуют некоторые математические концепции, которые не имеют четко определенной характеристики в рамках этого определения. К ним относятся проблема остановки и игра «занятый бобр» . Остается открытым вопрос о том, существует ли более мощное определение «хорошо определенного», которое способно охватить как вычислимые, так и «невычислимые» утверждения. ^{[a] [20]} Все утверждения, характеризуемые в современных языках программирования, четко определены, включая C++ , Python и Java . ^[19]

Распространенными примерами вычислений являются базовая арифметика и выполнение компьютерных алгоритмов . Вычисление — это преднамеренный математический процесс, который преобразует один или несколько входов в один или несколько выходов или результатов . Например, умножение 7 на 6 — это простое алгоритмическое вычисление. Извлечение квадратного корня или кубического корня числа с использованием математических моделей — это более сложное алгоритмическое вычисление.

Переписывание

Выражения могут быть вычислены с помощью стратегии оценки . ^[21] Для иллюстрации, выполнение вызова функции f(a,b)может сначала оценить аргументы aи b, сохранить результаты в ссылках или ячейках памяти ref_aи ref_b, а затем оценить тело функции с этими переданными ссылками. Это дает функции возможность искать исходные значения аргументов, переданные через разыменование параметров (некоторые языки используют специальные операторы для этого), изменять их через присваивание , как если бы они были локальными переменными, и возвращать значения через ссылки. Это стратегия оценки вызова по ссылке. ^[22] Стратегия оценки является частью семантики определения языка программирования. Некоторые языки, такие как PureScript , имеют варианты с различными стратегиями оценки. Некоторые декларативные языки , такие как Datalog , поддерживают несколько стратегий оценки. Некоторые языки определяют соглашение о вызовах .

В переписывании стратегия сокращения или стратегия переписывания — это отношение, определяющее переписывание для каждого объекта или термина, совместимое с данным отношением сокращения. Стратегия переписывания определяет, какой из всех приводимых подтерминов ( редексов ) должен быть сокращен ( контрактирован ) в пределах термина. Одна из наиболее распространенных систем включает лямбда-исчисление .

Четко определенные выражения

Язык математики демонстрирует своего рода грамматику (называемую формальной грамматикой ) о том, как могут быть записаны выражения. Существуют два соображения относительно четкости определения математических выражений: синтаксис и семантика . Синтаксис касается правил, используемых для построения или преобразования символов выражения без учета какой-либо интерпретации или значения , придаваемого им. Выражения, которые синтаксически правильны, называются хорошо сформированными . Семантика касается значения этих правильно сформированных выражений. Выражения, которые семантически правильны, называются хорошо определенными .

Хорошо сформированный

Синтаксис математических выражений можно описать несколько неформально следующим образом: разрешенные операторы должны иметь правильное количество входов в правильных местах (обычно записанных с использованием инфиксной нотации ), подвыражения, составляющие эти входы, должны быть сами по себе правильно сформированы, иметь четкий порядок операций и т. д. Строки символов, которые соответствуют правилам синтаксиса, называются правильно сформированными , а те, которые не являются правильно сформированными, называются неправильно сформированными и не являются математическими выражениями. ^[23]

Например, в арифметике выражение 1 + 2 × 3 является правильно построенным, но

${\displaystyle \times 4)x+,/y}$.

это не так.

Однако быть правильно сформированным недостаточно, чтобы считаться правильно определенным. Например, в арифметике выражение правильно сформировано, но не правильно определено. (См. Деление на ноль ). Такие выражения называются неопределенными . ${\textstyle {\frac {1}{0}}}$

Четко определенный

Семантика — это изучение значения. Формальная семантика — это придание значения выражениям. Выражение, которое определяет уникальное значение или значение, называется хорошо определенным . В противном случае выражение называется плохо определенным или неоднозначным. ^[24] В общем, значение выражений не ограничивается обозначением значений; например, выражение может обозначать условие или уравнение , которое должно быть решено, или его можно рассматривать как объект сам по себе, которым можно манипулировать в соответствии с определенными правилами. Некоторые выражения, обозначающие значение, одновременно выражают условие, которое, как предполагается, выполняется, например, те, которые включают оператор для обозначения внутренней прямой суммы . ${\displaystyle \oplus }$

В алгебре выражение может использоваться для обозначения значения, которое может зависеть от значений, присвоенных переменным, встречающимся в выражении. Определение этого значения зависит от семантики, приписанной символам выражения. Выбор семантики зависит от контекста выражения. Одно и то же синтаксическое выражение 1 + 2 × 3 может иметь разные значения (математически 7, но также и 9) в зависимости от порядка операций, подразумеваемого контекстом (см. также Операции § Калькуляторы ).

Для действительных чисел произведение однозначно, поскольку ; следовательно, говорят, что обозначение хорошо определено . ^[25] Это свойство, также известное как ассоциативность умножения, гарантирует, что результат не зависит от последовательности умножений; поэтому спецификация последовательности может быть опущена. Операция вычитания неассоциативна; несмотря на это, существует соглашение, которое является сокращением для , поэтому оно считается «хорошо определенным». С другой стороны, деление неассоциативно, и в случае соглашения о скобках не являются хорошо установленными; поэтому это выражение часто считается плохо определенным. ${\displaystyle a\times b\times c}$ ${\displaystyle (a\times b)\times c=a\times (b\times c)}$ ${\displaystyle a-b-c}$ ${\displaystyle (a-b)-c}$ ${\displaystyle a/b/c}$

В отличие от функций, неоднозначности обозначений можно преодолеть с помощью дополнительных определений (например, правил приоритета , ассоциативности оператора). Например, в языке программирования C оператор -вычитания является ассоциативным слева направо , что означает, что a-b-cопределяется как (a-b)-c, а оператор =присваивания является ассоциативным справа налево , что означает, что a=b=cопределяется как a=(b=c). ^[26] В языке программирования APL есть только одно правило: справа налево — но скобки сначала.

Формальное определение

Термин «выражение» является частью языка математики , то есть он не определяется в математике, а рассматривается как примитивная часть языка. Попытка определить термин не будет занятием математикой, а скорее будет вовлечением в своего рода метаматематику ( метаязык математики), обычно математическую логику . В математической логике математика обычно описывается как своего рода формальный язык , и правильно сформированное выражение может быть определено рекурсивно следующим образом: ^[27]

Алфавит состоит из :

• Набор индивидуальных констант : символы, представляющие фиксированные объекты в области дискурса , такие как цифры (1, 2,5, 1/7, ...), множества ( , ...), значения истинности (T или F) и т. д. ${\displaystyle \varnothing ,\{1,2,3\}}$

• Набор отдельных переменных: счетное бесконечное количество символов, представляющих переменные, используемые для представления неопределенного объекта в области. (Обычно это буквы типа x или y ).

• Набор операций: функциональные символы, представляющие операции , которые могут быть выполнены над элементами домена, например, сложение (+), умножение (×) или операции над множествами, например, объединение (∪) или пересечение (∩). (Функции можно понимать как унарные операции )

• Скобки ( )

При использовании этого алфавита рекурсивные правила формирования правильно сформированного выражения (WFE) следующие:

• Любая константа или переменная, как определено, являются атомарными выражениями , простейшими правильно сформированными выражениями (WFE). Например, константа или переменная являются синтаксически правильными выражениями. ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle x}$

• Пусть будет метапеременной для любой n-арной операции над доменом, а будет метапеременными для любых WFE. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \phi _{1},\phi _{2},...\phi _{n}}$

Then также хорошо сформирован. Для наиболее часто используемых операций на протяжении столетий были разработаны более удобные обозначения (например, инфиксные обозначения ). ${\displaystyle F(\phi _{1},\phi _{2},...\phi _{n})}$

Например, если областью дискурса являются действительные числа , можно обозначить бинарную операцию +, тогда является правильно сформированным. Или можно обозначить унарную операцию , тогда является правильно сформированным. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \phi _{1}+\phi _{2}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \surd }$ ${\displaystyle {\sqrt {\phi _{1}}}}$

Скобки изначально находятся вокруг каждого неатомарного выражения, но их можно удалить в случаях, когда существует определенный порядок операций или когда порядок не имеет значения (т. е. когда операции ассоциативны ).

Правильно сформированное выражение можно рассматривать как синтаксическое дерево . ^[28] Листовые узлы всегда являются атомарными выражениями. Операции и имеют ровно два дочерних узла, тогда как операции , и имеют ровно один. Существует счетное бесконечное множество WFE, однако каждый WFE имеет конечное число узлов. ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle \cup }$ ${\textstyle {\sqrt {x}}}$ ${\textstyle {\text{ln}}(x)}$ ${\textstyle {\frac {d}{dx}}}$

Лямбда-исчисление

Формальные языки позволяют формализовать концепцию правильно построенных выражений.

В 1930-х годах Алонзо Чёрч и Стивен Клини ввели новый тип выражений, называемых лямбда-выражениями , для формализации функций и их оценки. ^{[29] [b]} Они составляют основу лямбда-исчисления — формальной системы , используемой в математической логике и теории языков программирования .

Эквивалентность двух лямбда-выражений неразрешима . Это также касается выражений, представляющих действительные числа, которые построены из целых чисел с использованием арифметических операций, логарифма и экспоненты ( теорема Ричардсона ).

История

Ранние письменные математические работы

Кость Ишанго на выставке в Королевском бельгийском институте естественных наук

Письменная математика началась с чисел, выраженных в виде меток счета , где каждая метка представляла одну единицу. Числовые символы, вероятно, состояли из штрихов или зарубок, вырезанных на дереве или камне, и были понятны всем народам. Например, одна зарубка на кости представляла одно животное, или человека, или что-либо еще. Кость Ишанго , найденная около верховьев реки Нил (северо-восточное Конго ), может быть старше 20 000 лет и обычно считается ранним свидетельством счета . Упорядоченные гравюры заставили многих размышлять о значении этих меток, включая такие интерпретации, как математическое значение или астрологическая значимость. Распространенные интерпретации заключаются в том, что кость Ишанго показывает шестимесячный лунный календарь . ^[30]

Изображение задачи 14 из Московского математического папируса . Задача содержит схему, указывающую размеры усеченной пирамиды.

У древних египтян была символическая математика, которая представляла собой исчисление иероглифами . ^{[31] [32]} В египетской математике были символы для одного, десяти, ста, одной тысячи, десяти тысяч, ста тысяч и одного миллиона. Позже египтяне использовали иератическое письмо вместо иероглифического для отображения чисел. Например, четыре вертикальные линии, используемые для представления числа четыре, были заменены одной горизонтальной линией. Это встречается в математическом папирусе Ринда (ок. 2000–1800 гг. до н. э.) и Московском математическом папирусе (ок. 1890 г. до н. э.). Система, которую использовали египтяне, была открыта и изменена многими другими цивилизациями Средиземноморья. У египтян также были символы для основных операций: ноги, идущие вперед, представляли сложение, а ноги, идущие назад, представляли вычитание.

Вавилонская табличка (ок. 1800–1600 гг. до н. э.), на которой показано выражение для приближения квадратного корня из 2 (1 24 51 10 w: шестидесятеричная ) в контексте теоремы Пифагора для равнобедренного треугольника .

У жителей Месопотамии были символы для каждой степени числа десять. ^[33] Позже они записывали свои числа почти точно так же, как это делается в наше время. Вместо того, чтобы иметь символы для каждой степени числа десять, они просто ставили коэффициент этого числа. Каждая цифра была отделена только пробелом, но ко времени Александра Македонского они создали символ, который представлял ноль и был заполнителем. Жители Месопотамии также использовали шестидесятеричную систему счисления, то есть с основанием шестьдесят. Именно эта система используется в наше время при измерении времени и углов. Вавилонская математика происходит из более чем 400 глиняных табличек, найденных с 1850-х годов. ^[34] Написанные клинописью , таблички были написаны, пока глина была влажной, и затвердевали в печи или под воздействием солнечного тепла. Некоторые из них, по-видимому, были оцененными домашними заданиями. Самые ранние свидетельства письменной математики восходят к древним шумерам и системе метрологии с 3000 года до нашей эры. Примерно с 2500 г. до н. э. шумеры писали таблицы умножения на глиняных табличках и решали геометрические упражнения и задачи на деление . Самые ранние следы вавилонских цифр также относятся к этому периоду.

Синкопированная сцена

« Синкопированная » стадия — это стадия, на которой часто используемые операции и величины представлены символическими синтаксическими сокращениями. В античности и средневековье всплески математического творчества часто сменялись столетиями застоя. С началом раннего Нового времени и началом всемирного распространения знаний появились письменные примеры математических разработок.

Греческая математика , которая возникла с изучением геометрии , использовала аттическое исчисление , ^[35] которое было основано на системе египтян и позже было адаптировано и использовано римлянами . Греческое математическое рассуждение было почти полностью геометрическим (хотя часто использовалось для рассуждений о негеометрических предметах, таких как теория чисел ), и поэтому греки не интересовались алгебраическими символами. Большим исключением был Диофант Александрийский , великий алгебраист. ^[36] Его «Арифметика» была одним из текстов, в которых математические выражения и уравнения обрабатывались символически; ^[37] он использовал то, что сейчас известно как синкопированная алгебра . Она не была полностью символической, но была гораздо более символической, чем предыдущие книги. Неизвестное число называлось . ^[38] Квадрат был ; куб был ; четвертая степень была ; и пятая степень была . ^[39] Главное различие между диофантовой синкопированной алгеброй и современной алгебраической нотацией заключается в том, что в первой отсутствовали специальные символы для операций, отношений и показателей степеней . ^[40] Так, например, то, что в современной нотации было бы записано как В синкопированной нотации Диофанта было бы записано как: ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \Delta ^{v}}$ ${\displaystyle K^{v}}$ ${\displaystyle \Delta ^{v}\Delta }$ ${\displaystyle \Delta K^{v}}$ $${\displaystyle x^{3}-2x^{2}+10x-1,}$$

${\displaystyle \mathrm {K} ^{\upsilon }{\overline {\alpha }}\;\zeta {\overline {\iota }}\;\,\pitchfork \;\,\Delta ^{\upsilon }{\overline {\beta }}\;\mathrm {M} {\overline {\alpha }}\,\;}$

Символическая стадия и ранняя арифметика

Переход к символической алгебре, где используются только символы, впервые можно увидеть в работах Ибн аль-Банны аль-Марракуши (1256–1321) и Абу аль-Хасана ибн Али аль-Каласади (1412–1482). ^{[41] [42]} В отличие от синкопированных обозначений их предшественников, Диофанта и Брахмагупты , в которых отсутствовали символы для математических операций , ^[43] алгебраическая нотация аль-Каласади была первой, в которой были символы для этих функций, и, таким образом, была «первым шагом к введению алгебраической символики». Он представлял математические символы, используя символы арабского алфавита . ^[44]

Использование знаков «плюс» и «минус» в печати в 1489 году.

В XIV веке появились новые математические концепции для исследования широкого круга проблем. ^[45] Два широко используемых арифметических символа — это сложение и вычитание, + и −. Знак плюс начал использоваться примерно с 1351 года Николем Оремом ^[46] и был опубликован в 1360 году в его работе Algorismus rationum . ^[47] Считается, что это сокращение от «et», что на латыни означает «и», во многом так же, как знак амперсанда также начинался как «et». Орем в Парижском университете и итальянец Джованни ди Казали независимо друг от друга представили графические демонстрации расстояния, пройденного телом, совершающим равномерно ускоренное движение, утверждая, что площадь под линией, изображающей постоянное ускорение, и представляет собой общее пройденное расстояние. ^[48] ​​Знак минус был использован в 1489 году Иоганнесом Видманом в работе «Торговая арифметика» или «Бехенде и хюпсче Рехенунг ауфф аллэн Кауфманшафт» . ^[49] Видман использовал символ минус с символом плюс, чтобы обозначить дефицит и излишек соответственно. ^[50] В «Сумме арифметики, геометрии, пропорций и пропорционалита » ^[51] Лука Пачоли использовал символы для символов плюс и минус и содержал алгебру , хотя большая часть работы была написана Пьеро делла Франческа, которую он присвоил и украл. ^{[ необходима ссылка ]}

Символ радикала (√) для квадратного корня был введен Кристофом Рудольфом в начале 1500-х годов. Важная работа Михаэля Штифеля Arithmetica integra ^[52] содержала важные нововведения в письменной математике. В 1556 году Никколо Тарталья использовал скобки для группировки по приоритету. В 1557 году Роберт Рекорд опубликовал книгу Симона Стевина De Thiende («искусство десятых»), опубликованную на голландском языке в 1585 году, содержащую систематическую трактовку десятичной записи , которая повлияла на все последующие работы по действительной системе чисел . Новая алгебра (1591) Франсуа Виета ввела современную нотацию манипуляции алгебраическими выражениями.

Уильям Отред ввел знак умножения (×). Иоганн Ран ввел знак деления (÷, переосмысленный вариант обелуса ).

Типы выражений

Алгебраическое выражение

Алгебраическое выражение — это выражение, составленное из алгебраических констант , переменных и алгебраических операций ( сложение , вычитание , умножение , деление и возведение в степень с рациональным числом ). ^[53] Например, 3 x ² − 2 xy + c — это алгебраическое выражение. Поскольку извлечение квадратного корня равнозначно возведению в степень ⁠1/2⁠ , следующее также является алгебраическим выражением:

${\displaystyle {\sqrt {\frac {1-x^{2}}{1+x^{2}}}}}$

См. также: Алгебраическое уравнение и Алгебраическое замыкание

Полиномиальное выражение

Полиномиальное выражение — это выражение, построенное с помощью скаляров (чисел элементов некоторого поля), неопределенных чисел и операторов сложения, умножения и возведения в степень неотрицательных целых чисел; например ${\displaystyle 3(x+1)^{2}-xy.}$

Используя ассоциативность , коммутативность и дистрибутивность , каждое полиномиальное выражение эквивалентно полиному , то есть выражению, которое является линейной комбинацией произведений целых степеней неопределенных. Например, приведенное выше полиномиальное выражение эквивалентно (обозначим тот же полином как ${\displaystyle 3x^{2}-xy+6x+3.}$

Многие авторы не различают многочлены и многочленные выражения. В этом случае выражение многочленного выражения в виде линейной комбинации называется канонической формой , нормальной формой или развернутой формой многочлена.

Вычислительное выражение

В информатике выражение — это синтаксическая сущность в языке программирования , которая может быть оценена для определения ее значения ^[54] или не может быть завершена, в этом случае выражение не определено. ^[55] Это комбинация одной или нескольких констант , переменных , функций и операторов , которые язык программирования интерпретирует (в соответствии со своими особыми правилами приоритета и ассоциации ) и вычисляет для получения («возвращения», в среде с сохранением состояния ) другого значения. Этот процесс для математических выражений называется вычислением . В простых настройках результирующее значение обычно является одним из различных примитивных типов , таких как строка , логическое значение или число (например , целое число , число с плавающей точкой или комплексное ).

В компьютерной алгебре формулы рассматриваются как выражения, которые могут быть оценены как булевы, в зависимости от значений, которые даны переменным, встречающимся в выражениях. Например, принимает значение false, если x дано значение меньше 1, и значение true в противном случае. ${\displaystyle 8x-5\geq 3}$

Выражения часто противопоставляются утверждениям — синтаксическим сущностям, не имеющим значения (инструкциям).

Представление выражения (8 − 6) × (3 + 1) в виде дерева Lisp из магистерской диссертации 1985 года ^[56]

За исключением чисел и переменных , каждое математическое выражение можно рассматривать как символ оператора, за которым следует последовательность операндов. В программном обеспечении компьютерной алгебры выражения обычно представляются таким образом. Это представление очень гибкое, и многие вещи, которые на первый взгляд не кажутся математическими выражениями, могут быть представлены и обработаны как таковые. Например, уравнение — это выражение с "=" в качестве оператора, матрица может быть представлена ​​как выражение с "matrix" в качестве оператора и ее строками в качестве операндов.

См.: Выражение компьютерной алгебры

Логическое выражение

В математической логике «логическое выражение » может относиться как к терминам , так и к формулам . Термин обозначает математический объект, а формула обозначает математический факт. В частности, термины появляются как компоненты формулы.

Термин первого порядка рекурсивно строится из константных символов, переменных и функциональных символов . Выражение, образованное путем применения предикатного символа к соответствующему числу терминов, называется атомарной формулой , которая оценивается как истина или ложь в бивалентной логике , учитывая интерпретацию . Например, ⁠ ⁠ ${\displaystyle (x+1)*(x+1)}$ — это термин, построенный из константы 1, переменной x и бинарных функциональных символов ⁠ ⁠ ${\displaystyle +}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle *}$ ; он является частью атомарной формулы ⁠ ⁠, ${\displaystyle (x+1)*(x+1)\geq 0}$ которая оценивается как истина для каждого вещественного значения x .

Смотрите также

• Аналитическое выражение
• Выражение в закрытой форме
• Формальный расчет
• Функциональное программирование
• Бесконечное выражение
• Числовое предложение
• Регулярное выражение
• Переписывание
• Подпись (логика)

Примечания

1. Изучение невычислимых утверждений является областью гипервычислений .
2. Полную историю см. в книге Кардона и Хиндли «История лямбда-исчисления и комбинаторной логики» (2006).

Ссылки

1. Оксфордский словарь английского языка , св. «Выражение (сущ.), смысл II.7», « Группа символов, которые вместе представляют числовую, алгебраическую или другую математическую величину или функцию » .
2. Столл, Роберт Р. Теория множеств и логика . Сан-Франциско, Калифорния: Dover Publications. ISBN 978-0-486-63829-4.
3. Оксфордский словарь английского языка, св. «Оценивать (гл.), смысл», « Математика. Вычислять «значение» (количественного выражения); находить числовое выражение для (любого количественного факта или отношения) » .
4. Оксфордский словарь английского языка , св. «Упрощать (гл.), значение 4.а», « Выражать (уравнение или другое математическое выражение) в форме, которую легче понимать, анализировать или с которой легче работать, например, путем подбора подобных членов или подстановки переменных » .
5. Кодд, Эдгар Франк (июнь 1970 г.). «Реляционная модель данных для больших общих банков данных» (PDF) . Сообщения ACM . 13 (6): 377–387. doi :10.1145/362384.362685. S2CID  207549016. Архивировано (PDF) из оригинала 2004-09-08 . Получено 2020-04-29 .
6. Маккой, Нил Х. (1960). Введение в современную алгебру. Бостон: Allyn & Bacon . стр. 127. LCCN  68015225.
7. Фрейли, Джон Б. (2003). Первый курс абстрактной алгебры. Бостон: Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-76390-4.
8. Маречек, Линн; Матис, Андреа Ханикатт (2020-05-06). "1.1 Использование языка алгебры - Промежуточная алгебра 2e | OpenStax". openstax.org . Получено 2024-10-14 .
9. CC Chang ; H. Jerome Keisler (1977). Теория моделей . Исследования по логике и основаниям математики. Т. 73. Северная Голландия.; здесь: Раздел 1.3
10. Соболев, СК (создатель). Свободная переменная. Энциклопедия математики . Springer . ISBN 1402006098.
11. Кодд, Эдгар Франк (июнь 1970 г.). «Реляционная модель данных для больших общих банков данных» (PDF) . Сообщения ACM . 13 (6): 377–387. doi :10.1145/362384.362685. S2CID  207549016. Архивировано (PDF) из оригинала 2004-09-08 . Получено 2020-04-29 .
12. Уравнение. Энциклопедия математики. URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Уравнение&oldid=32613
13. Пратт, Воган, «Алгебра», Стэнфордская энциклопедия философии (зимнее издание 2022 г.), Эдвард Н. Залта и Ури Нодельман (ред.), URL: https://plato.stanford.edu/entries/algebra/#Laws
14. "Определение ВЫЧИСЛЕНИЯ". www.merriam-webster.com . 2024-10-11 . Получено 2024-10-12 .
15. Кутюра, Луи (1901). la Logique de Leibniz a'Après des Documents Inédits . Париж. ISBN 978-0343895099.
16. Дэвис, Мартин; Дэвис, Мартин Д. (2000). Универсальный компьютер . WW Norton & Company. ISBN 978-0-393-04785-1.
17. Дэвис, Мартин (1982-01-01). Вычислимость и неразрешимость . Courier Corporation. ISBN 978-0-486-61471-7.
18. Turing, AM (1937) [Представлено Обществу в ноябре 1936 г.]. "О вычислимых числах с приложением к Entscheidungsproblem" (PDF) . Труды Лондонского математического общества . 2. Том 42. С. 230–65. doi :10.1112/plms/s2-42.1.230.
19. Дэвис, Мартин; Дэвис, Мартин Д. (2000). Универсальный компьютер . WW Norton & Company. ISBN 978-0-393-04785-1.
20. Дэвис, Мартин (2006). «Почему нет такой дисциплины, как гипервычисления». Прикладная математика и вычисления . 178 (1): 4–7. doi :10.1016/j.amc.2005.09.066.
21. Араки, Шота; Нишизаки, Син-я (ноябрь 2014 г.). «Вычисление по имени RPC и RMI исчислений». Теория и практика вычислений. стр. 1. doi :10.1142/9789814612883_0001. ISBN 978-981-4612-87-6. Получено 21.08.2021 .
22. Дэниел П. Фридман; Митчелл Ванд (2008). Основы языков программирования (третье изд.). Кембридж, Массачусетс: The MIT Press . ISBN 978-0262062794.
23. Столл, Роберт Р. Теория множеств и логика . Сан-Франциско, Калифорния: Dover Publications. ISBN 978-0-486-63829-4.
24. Weisstein, Eric W. "Well-Defined". Из MathWorld – A Wolfram Web Resource . Получено 2013-01-02 .
25. Weisstein, Eric W. "Well-Defined". Из MathWorld – A Wolfram Web Resource . Получено 2013-01-02 .
26. "Приоритет операторов и ассоциативность в C". GeeksforGeeks . 2014-02-07 . Получено 2019-10-18 .
27. CC Chang ; H. Jerome Keisler (1977). Теория моделей . Исследования по логике и основаниям математики. Т. 73. Северная Голландия.; здесь: Раздел 1.3
28. Гермес, Ганс (1973). Введение в математическую логику . Springer London. ISBN 3540058192. ISSN  1431-4657.; здесь: Раздел II.1.3
29. Чёрч, Алонзо (1932). «Набор постулатов для основания логики». Annals of Mathematics . Серия 2. 33 (2): 346–366. doi :10.2307/1968337. JSTOR  1968337.
30. Маршак, Александр (1991). Корни цивилизации , Колониальный холм, Маунт-Киско, Нью-Йорк.
31. Encyclopaedia Americana. Томас Гамалиел Брэдфорд. Стр. 314
32. Математический экскурс, расширенное издание: расширенное издание Webassign Ричарда Н. Ауфмана, Джоанн Локвуд, Ричарда Д. Нейшна, Дэниела К. Клега. Стр. 186
33. "Математика в Египте и Месопотамии" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2022-12-28 . Получено 2013-07-25 .
34. Бойер, CB История математики , 2-е изд. обр. Ута К. Мерцбах . Нью-Йорк: Wiley, ISBN 1989 г. 0-471-09763-2 (изд. Pbk 1991 г. ISBN 0-471-54397-7 ). «Месопотамия» с. 25.  
35. Математика и измерения Освальда Эштона Вентворта Дилка. Стр. 14
36. Диофантовы уравнения. Представлено: Аароном Зерхузеном, Крисом Рэйксом и Шастой Мис. МА 330-002. Доктор Карл Эберхарт. 16 февраля 1999 г.
37. Бойер (1991). «Возрождение и упадок греческой математики». С. 180-182. «В этом отношении ее можно сравнить с великими классиками ранней Александрийской эпохи; однако она не имеет практически ничего общего с ними или, по сути, с любой традиционной греческой математикой. Она представляет собой по сути новую ветвь и использует другой подход. Будучи оторванной от геометрических методов, она во многом напоминает вавилонскую алгебру. Но в то время как вавилонские математики были заняты в основном приближенными решениями определенных уравнений вплоть до третьей степени, «Арифметика» Диофанта (такая, какой она есть у нас) почти полностью посвящена точному решению уравнений, как определенных , так и неопределенных . [...] На протяжении шести сохранившихся книг «Арифметики» систематически используются сокращения для степеней чисел, а также для отношений и операций. Неизвестное число представлено символом, напоминающим греческую букву (возможно, для последней буквы слова арифмос). [...] Вместо этого это сборник из примерно 150 задач, все решенных в терминах конкретных числовых примеров, хотя, возможно, подразумевалась общность метода. Нет никакой разработки постулатов, и не делается никаких попыток найти все возможные решения. В случае квадратных уравнений с двумя положительными корнями дается только больший из них, а отрицательные корни не признаются. Не проводится четкого различия между определенными и неопределенными задачами, и даже для последних, для которых число решений, как правило, неограниченно, дается только один ответ. Диофант решал задачи с несколькими неизвестными числами, искусно выражая все неизвестные величины, где это возможно, через только одно из них. ${\displaystyle \zeta }$
38. История греческой математики: от Аристарха до Диофанта. Сэр Томас Литтл Хит. Стр. 456
39. История греческой математики: от Аристарха до Диофанта. Сэр Томас Литтл Хит. Стр. 458
40. Бойер (1991). «Возрождение и упадок греческой математики». стр. 178. «Главное различие между диофантовой синкопой и современной алгебраической записью заключается в отсутствии специальных символов для операций и отношений, а также экспоненциальной записи».
41. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «аль-Марракуши ибн аль-Банна», Архив истории математики Мактьютора , Университет Сент-Эндрюс
42. Гуллберг, Ян (1997). Математика: от рождения чисел . WW Norton. стр. 298. ISBN 0-393-04002-X.
43. Boyer, CB A History of Mathematics, 2-е изд., перераб. Uta C. Merzbach. New York: Wiley, 1989 ISBN 0-471-09763-2 (1991 pbk ed. ISBN 0-471-54397-7 ). "Возрождение и упадок греческой математики" стр. 178. (ср., "Главное различие между диофантовой синкопой и современной алгебраической нотацией заключается в отсутствии специальных символов для операций и отношений, а также экспоненциальной нотации".)  
44. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Абул Хасан ибн Али аль Каласади», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
45. Грант, Эдвард и Джон Э. Мердок (1987), ред., Математика и ее применение в науке и естественной философии в средние века , (Кембридж: Cambridge University Press) ISBN 0-521-32260-X . 
46. Математический журнал, том 1. Артемас Мартин, 1887. Стр. 124
47. Der Algorismusпропорционум Николауса Орема: Zum ersten Male nach der Lesart der Handschrift R.40.2. der Königlichen Gymnasial-bibliothek zu Thorn. Николь Орем . С. Голгофа и компания, 1868 г.
48. Клэгетт, Маршалл (1961) Наука механики в средние века (Мэдисон: Издательство Висконсинского университета), стр. 332–45, 382–91.
49. Поздняя ранняя современная версия : Новая система торговой арифметики: адаптированная к торговле Соединенных Штатов, в ее внутренних и внешних отношениях с формами счетов и другими письменными источниками, обычно встречающимися в торговле. Майкл Уолш. Эдмунд М. Блант (владелец), 1801.
50. Миллер, Джефф (2006-06-04). «Самые ранние применения символов операции». Gulf High School . Получено 2006-09-24 .
51. Арифметические книги от изобретения книгопечатания до наших дней. Август де Морган . С. 2.
52. Интегральная арифметика. Майкл Стифел , Филипп Меланчтон . Норимберге : Апуд Йохан Петреум, 1544 г.
53. Моррис, Кристофер Г. (1992). Словарь науки и техники Academic Press . Gulf Professional Publishing. стр. 74. алгебраическое выражение над полем.
54. Митчелл, Дж. (2002). Концепции в языках программирования. Кембридж: Cambridge University Press, 3.4.1 Statements and Expressions , стр. 26
55. Маурицио Габбриелли, Симоне Мартини (2010). Языки программирования — принципы и парадигмы. Springer London, 6.1 Expressions , стр. 120
56. Кэссиди, Кевин Г. (декабрь 1985 г.). Возможность автоматического освобождения памяти с параллельным выполнением программ в среде LISP (PDF) (магистерская диссертация). Военно-морская аспирантура, Монтерей/Калифорния. стр. 15. ADA165184.