Скаляр — это элемент поля , который используется для определения векторного пространства . В линейной алгебре действительные числа или вообще элементы поля называются скалярами и относятся к векторам в связанном векторном пространстве посредством операции скалярного умножения (определенной в векторном пространстве), в которой вектор может быть умножен на скаляр определенным образом для получения другого вектора. [1] [2] [3] Вообще говоря, векторное пространство может быть определено с использованием любого поля вместо действительных чисел (например, комплексных чисел ). Тогда скаляры этого векторного пространства будут элементами связанного поля (например, комплексными числами).
Операция скалярного произведения — не путать со скалярным умножением — может быть определена на векторном пространстве, позволяя умножать два вектора определенным образом для получения скаляра. Вектор, снабженный скалярным произведением, называется внутренним пространством произведения .
Величина, описываемая несколькими скалярами, например, имеющая и направление, и величину, называется вектором . [ 4] Термин скаляр также иногда неформально используется для обозначения вектора, матрицы , тензора или другого, обычно «составного» значения, которое фактически сводится к одному компоненту. Так, например, произведение матрицы 1 × n и матрицы n × 1, которая формально является матрицей 1 × 1, часто называют скаляром . Действительный компонент кватерниона также называется его скалярной частью .
Термин скалярная матрица используется для обозначения матрицы вида kI , где k — скаляр, а I — единичная матрица .
Слово скаляр происходит от латинского слова scalaris , прилагательной формы scala (латинское слово для «лестницы»), от которого также произошло английское слово scale . Первое зафиксированное использование слова «скаляр» в математике встречается в «Аналитическом искусстве » Франсуа Виэта ( In artem analyticem isagoge ) (1591): [5] [6]
Согласно цитате из Оксфордского словаря английского языка, первое зафиксированное использование термина «скаляр» в английском языке принадлежит У. Р. Гамильтону в 1846 году, когда он относился к действительной части кватерниона:
Векторные пространства определяются как набор векторов (аддитивная абелева группа ), набор скаляров ( поле ) и операция скалярного умножения, которая берет скаляр k и вектор v для формирования другого вектора k v . Например, в координатном пространстве скалярное умножение дает . В (линейном) функциональном пространстве kf — это функция x ↦ k ( f ( x )) .
Скаляры могут быть взяты из любого поля, включая рациональные , алгебраические , действительные и комплексные числа, а также конечные поля .
Согласно фундаментальной теореме линейной алгебры, каждое векторное пространство имеет базис . Из этого следует, что каждое векторное пространство над полем K изоморфно соответствующему координатному векторному пространству , где каждая координата состоит из элементов K (например, координаты ( a 1 , a 2 , ..., an ) , где a i ∈ K , а n — размерность рассматриваемого векторного пространства.). Например, каждое действительное векторное пространство размерности n изоморфно n -мерному действительному пространству R n .
В качестве альтернативы векторное пространство V может быть снабжено функцией нормы , которая присваивает каждому вектору v в V скаляр || v ||. По определению, умножение v на скаляр k также умножает его норму на | k |. Если || v || интерпретируется как длина v , эту операцию можно описать как масштабирование длины v на k . Вектор, снабженный нормой, называется нормированным векторным пространством (или нормированным линейным пространством ).
Норма обычно определяется как элемент скалярного поля K V , что ограничивает последнее полями, которые поддерживают понятие знака. Более того, если V имеет размерность 2 или более, K должно быть замкнуто относительно квадратного корня, а также четырех арифметических операций; таким образом, рациональные числа Q исключаются, но поле surd приемлемо. По этой причине не каждое пространство скалярного произведения является нормированным векторным пространством.
Когда требование, чтобы набор скаляров образовывал поле, ослабляется настолько, что требуется только образовать кольцо (например, деление скаляров не обязательно должно быть определено или скаляры не обязательно должны быть коммутативными ), результирующая более общая алгебраическая структура называется модулем .
В этом случае «скаляры» могут быть сложными объектами. Например, если R — кольцо, векторы пространства произведений R n можно превратить в модуль с матрицами n × n с элементами из R в качестве скаляров. Другой пример взят из теории многообразий , где пространство сечений касательного расслоения образует модуль над алгеброй действительных функций на многообразии.
Скалярное умножение векторных пространств и модулей является частным случаем масштабирования , разновидностью линейного преобразования .
