Матричное сложение

Иллюстрация сложения двух матриц.

Понятия сумм для матриц в линейной алгебре

В математике сложение матриц — это операция сложения двух матриц путем сложения соответствующих элементов.

Для вектора , сложение двух матриц имело бы геометрический эффект применения каждого матричного преобразования по отдельности к , а затем сложения преобразованных векторов. ${\displaystyle {\vec {v}}\!}$ ${\displaystyle {\vec {v}}\!}$

${\displaystyle \mathbf {A} {\vec {v}}+\mathbf {B} {\vec {v}}=(\mathbf {A} +\mathbf {B} ){\vec {v}}\!}$

Однако существуют и другие операции, которые также можно считать сложением матриц, например, прямая сумма и сумма Кронекера .

Сумма по входу

Две матрицы должны иметь одинаковое количество строк и столбцов для сложения. ^[1] В этом случае сумма двух матриц A и B будет матрицей, которая имеет такое же количество строк и столбцов, как A и B. Сумма A и B , обозначаемая A + B , вычисляется путем сложения соответствующих элементов A и B : ^{[2] [3]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} +\mathbf {B} &={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn}\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots &a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots &a_{2n}+b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots &a_{mn}+b_{mn}\\\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}\,\!}$

Или более кратко (предполагая, что A + B = C ): ^{[4] [5]}

${\displaystyle c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}}$

Например:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3\\1&0\\1&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0\\7&5\\2&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0\\1+7&0+5\\1+2&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3\\8&5\\3&3\end{bmatrix}}}$

Аналогично, можно также вычитать одну матрицу из другой, если они имеют одинаковые размеры. Разность A и B , обозначаемая A − B , вычисляется путем вычитания элементов B из соответствующих элементов A и имеет те же размеры, что и A и B. Например:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3\\1&0\\1&2\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}0&0\\7&5\\2&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-0&3-0\\1-7&0-5\\1-2&2-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3\\-6&-5\\-1&1\end{bmatrix}}}$

Прямая сумма

Другая операция, которая используется реже, — это прямая сумма (обозначается ⊕). Сумма Кронекера также обозначается ⊕; контекст должен прояснить использование. Прямая сумма любой пары матриц A размера m × n и B размера p × q — это матрица размера ( m + p ) × ( n + q ), определяемая как: ^{[6] [2]}

${\displaystyle \mathbf {A} \oplus \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} &{\boldsymbol {0}}\\{\boldsymbol {0}}&\mathbf {B} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}&0&\cdots &0\\0&\cdots &0&b_{11}&\cdots &b_{1q}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&b_{p1}&\cdots &b_{pq}\end{bmatrix}}}$

Например,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\2&3&1\end{bmatrix}}\oplus {\begin{bmatrix}1&6\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&2&0&0\\2&3&1&0&0\\0&0&0&1&6\\0&0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

Прямая сумма матриц — это особый тип блочной матрицы . В частности, прямая сумма квадратных матриц — это блочно-диагональная матрица .

Матрица смежности объединения непересекающихся графов (или мультиграфов ) является прямой суммой их матриц смежности. Любой элемент в прямой сумме двух векторных пространств матриц может быть представлен в виде прямой суммы двух матриц.

В общем случае прямая сумма n матриц равна: ^[2]

${\displaystyle \bigoplus _{i=1}^{n}\mathbf {A} _{i}=\operatorname {diag} (\mathbf {A} _{1},\mathbf {A} _{2},\mathbf {A} _{3},\ldots ,\mathbf {A} _{n})={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{1}&{\boldsymbol {0}}&\cdots &{\boldsymbol {0}}\\{\boldsymbol {0}}&\mathbf {A} _{2}&\cdots &{\boldsymbol {0}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\boldsymbol {0}}&{\boldsymbol {0}}&\cdots &\mathbf {A} _{n}\\\end{bmatrix}}\,\!}$

где нули на самом деле являются блоками нулей (т.е. нулевыми матрицами).

сумма Кронекера

Сумма Кронекера отличается от прямой суммы, но также обозначается ⊕. Она определяется с помощью произведения Кронекера ⊗ и обычного сложения матриц. Если A имеет размер n на n , B имеет размер m на m и обозначает единичную матрицу размером k на k , то сумма Кронекера определяется следующим образом: ${\displaystyle \mathbf {I} _{k}}$

${\displaystyle \mathbf {A} \oplus \mathbf {B} =\mathbf {A} \otimes \mathbf {I} _{m}+\mathbf {I} _{n}\otimes \mathbf {B} .}$

Смотрите также

• Умножение матриц
• Сложение векторов

Примечания

1. Элементарная линейная алгебра Рорреса Антона 10e стр. 53
2. Lipschutz & Lipson 2017.
3. Райли, Хобсон и Бенс 2006.
4. Weisstein, Eric W. "Matrix Addition". mathworld.wolfram.com . Получено 2020-09-07 .
5. "Нахождение суммы и разности двух матриц | College Algebra". courses.lumenlearning.com . Получено 2020-09-07 .
6. Вайсштейн, Эрик В. «Прямая сумма матриц». MathWorld .

Ссылки

• Липшуц, Сеймур; Липсон, Марк (2017). Очерк линейной алгебры Шаума (6-е изд.). Макгроу-Хилл Образование. ISBN 9781260011449.
• Райли, К. Ф.; Хобсон, М. П.; Бенс, С. Дж. (2006). Математические методы для физики и техники (3-е изд.). Cambridge University Press. doi : 10.1017/CBO9780511810763. ISBN 978-0-521-86153-3.

Внешние ссылки

• Прямая сумма матриц на PlanetMath .
• Абстрактная чушь: Прямая сумма линейных преобразований и Прямая сумма матриц
• Библиотека математических источников: арифметические матричные операции
• Матричная алгебра и R