Максимальный идеал

Идеал кольца, не содержащийся ни в каком другом идеале, кроме самого кольца.

В математике , а точнее в теории колец , максимальный идеал — это идеал , который является максимальным (относительно включения множеств ) среди всех собственных идеалов. ^{[1] [2]} Другими словами, I является максимальным идеалом кольца R , если между I и R не содержится других идеалов .

Максимальные идеалы важны, поскольку факторы колец по максимальным идеалам являются простыми кольцами , а в частном случае унитальных коммутативных колец они также являются полями .

В некоммутативной теории колец максимальный правый идеал определяется аналогично как максимальный элемент в частично упорядоченном множестве собственных правых идеалов, и аналогично максимальный левый идеал определяется как максимальный элемент частично упорядоченного множества собственных левых идеалов. Поскольку односторонний максимальный идеал A не обязательно является двусторонним, фактор R / A не обязательно является кольцом, но является простым модулем над R . Если R имеет единственный максимальный правый идеал, то R называется локальным кольцом , а максимальный правый идеал также является единственным максимальным левым и единственным максимальным двусторонним идеалом кольца и фактически является радикалом Джекобсона J( R ).

Кольцо может иметь единственный максимальный двусторонний идеал и при этом не иметь уникальных максимальных односторонних идеалов: например, в кольце квадратных матриц 2 на 2 над полем нулевой идеал является максимальным двусторонним идеалом, но существует много максимальных правых идеалов.

Определение

Существуют и другие эквивалентные способы выражения определения максимальных односторонних и максимальных двусторонних идеалов. Если задано кольцо R и собственный идеал I кольца R (то есть I ≠ R ), I является максимальным идеалом кольца R, если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

• Не существует другого собственного идеала J алгебры R, такого, что I ⊊ J .
• Для любого идеала J с I ⊆ J , либо J = I , либо J = R .
• Фактор-кольцо R / I является простым кольцом.

Аналогичный список есть для односторонних идеалов, для которых будут даны только правые версии. Для правого идеала A кольца R следующие условия эквивалентны тому, что A является максимальным правым идеалом кольца R :

• Не существует другого собственного правого идеала B кольца R, такого, что A ⊊ B .
• Для любого правого идеала B с A ⊆ B либо B = A , либо B = R.
• Фактор-модуль R / A является простым правым R -модулем.

Максимальные правые/левые/двусторонние идеалы являются двойственным понятием к понятию минимальных идеалов .

Примеры

• Если F — поле, то единственным максимальным идеалом является {0}.
• В кольце Z целых чисел максимальными идеалами являются главные идеалы, порожденные простым числом.
• В более общем случае все ненулевые простые идеалы максимальны в области главных идеалов .
• Идеал — это максимальный идеал в кольце . В общем случае максимальные идеалы кольца имеют вид , где — простое число, а — многочлен, в котором — неприводимо по модулю . ${\displaystyle (2,x)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$ ${\displaystyle (p,f(x))}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$ ${\displaystyle p}$
• Каждый простой идеал является максимальным идеалом в булевом кольце, т.е. кольце, состоящем только из идемпотентных элементов. Фактически, каждый простой идеал является максимальным в коммутативном кольце, если существует целое число такое, что для любого . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle x^{n}=x}$ ${\displaystyle x\in R}$
• Максимальные идеалы кольца многочленов — это главные идеалы, порожденные для некоторых . ${\displaystyle \mathbb {C} [x]}$ ${\displaystyle x-c}$ ${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$
• В более общем случае максимальные идеалы кольца многочленов K [ x ₁ , ..., x _n ] над алгебраически замкнутым полем K — это идеалы вида ( x ₁  −  a ₁ , ..., x _n  −  a _n ) . Этот результат известен как слабый Nullstellensatz .

Характеристики

• Важный идеал кольца, называемый радикалом Джекобсона, можно определить с помощью максимальных правых (или максимальных левых) идеалов.
• Если R — унитальное коммутативное кольцо с идеалом m , то k = R / m является полем тогда и только тогда, когда m — максимальный идеал. В этом случае R / m известно как поле вычетов . Этот факт может не выполняться в неунитальных кольцах. Например, является максимальным идеалом в , но не является полем. ${\displaystyle 4\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 2\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$
• Если L — максимальный левый идеал, то R / L — простой левый R -модуль. Наоборот, в кольцах с единицей любой простой левый R -модуль возникает таким образом. Кстати, это показывает, что совокупность представителей простых левых R -модулей на самом деле является множеством, поскольку ей можно поставить в соответствие часть множества максимальных левых идеалов R .
• Теорема Крулля (1929): Каждое ненулевое унитальное кольцо имеет максимальный идеал. Результат также верен, если заменить «идеал» на «правый идеал» или «левый идеал». В более общем смысле верно, что каждый ненулевой конечно порожденный модуль имеет максимальный подмодуль. Предположим, что I — идеал, который не является R (соответственно, A — правый идеал, который не является R ). Тогда R / I — кольцо с единицей (соответственно, R / A — конечно порожденный модуль), и поэтому приведенные выше теоремы можно применить к фактору, чтобы заключить, что существует максимальный идеал (соответственно, максимальный правый идеал) кольца R , содержащий I (соответственно, A ).
• Теорема Крулла может не выполняться для колец без единицы. Радикальное кольцо , т. е. кольцо, в котором радикал Джекобсона — это все кольцо, не имеет простых модулей и, следовательно, не имеет максимальных правых или левых идеалов. См. регулярные идеалы для возможных способов обойти эту проблему.
• В коммутативном кольце с единицей каждый максимальный идеал является простым идеалом . Обратное не всегда верно: например, в любой неполевой целостной области нулевой идеал является простым идеалом, который не является максимальным. Коммутативные кольца, в которых простые идеалы максимальны, известны как нульмерные кольца , где используемая размерность — это размерность Крулля .
• Максимальный идеал некоммутативного кольца может не быть первичным в коммутативном смысле. Например, пусть будет кольцом всех матриц над . Это кольцо имеет максимальный идеал для любого простого , но это не первичный идеал, поскольку (в случае ) и не входят в , но . Однако максимальные идеалы некоммутативных колец являются первичными в обобщенном смысле ниже. ${\displaystyle M_{n\times n}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle M_{n\times n}(p\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle A={\text{diag}}(1,p)}$ ${\displaystyle B={\text{diag}}(p,1)}$ ${\displaystyle M_{n\times n}(p\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle AB=pI_{2}\in M_{n\times n}(p\mathbb {Z} )}$

Обобщение

Для R -модуля A максимальный подмодуль M кольца A — это подмодуль M ≠ A, удовлетворяющий свойству, что для любого другого подмодуля N из M ⊆ N ⊆ A следует N = M или N = A. Эквивалентно, M является максимальным подмодулем тогда и только тогда, когда фактор-модуль A / M является простым модулем . Максимальные правые идеалы кольца R — это в точности максимальные подмодули модуля R _R.

В отличие от колец с единицей, ненулевой модуль не обязательно имеет максимальные подмодули. Однако, как отмечено выше, конечно порождённые ненулевые модули имеют максимальные подмодули, а проективные модули также имеют максимальные подмодули.

Как и в случае с кольцами, можно определить радикал модуля с помощью максимальных подмодулей. Более того, максимальные идеалы можно обобщить, определив максимальный подбимодуль M бимодуля B как собственный подбимодуль M , который не содержится ни в каком другом собственном подбимодуле M . Тогда максимальные идеалы R являются в точности максимальными подбимодулями бимодуля _R R _R .

Смотрите также

• Главный идеал

Ссылки

1. Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). John Wiley & Sons . ISBN 0-471-43334-9.
2. Ланг, Серж (2002). Алгебра . Тексты для аспирантов по математике . Springer . ISBN 0-387-95385-X.

• Андерсон, Фрэнк В.; Фуллер, Кент Р. (1992), Кольца и категории модулей , Graduate Texts in Mathematics, т. 13 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. x+376, doi :10.1007/978-1-4612-4418-9, ISBN 0-387-97845-3, г-н  1245487
• Лэм, TY (2001), Первый курс по некоммутативным кольцам , Graduate Texts in Mathematics, т. 131 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. xx+385, doi :10.1007/978-1-4419-8616-0, ISBN 0-387-95183-0, г-н  1838439