Теорема о среднем значении (разделенные разности)

В математическом анализе теорема о среднем значении для разделенных разностей обобщает теорему о среднем значении на высшие производные. ^[1]

Формулировка теоремы

Для любых n  + 1 попарно различных точек x ₀ , ...,  x _n в области определения n -кратно дифференцируемой функции f существует внутренняя точка

${\displaystyle \xi \in (\min\{x_{0},\dots ,x_{n}\},\max\{x_{0},\dots ,x_{n}\})\,}$

где n- я производная функции f равна n  !, умноженному на n- ю разделенную разность в этих точках:

${\displaystyle f[x_{0},\dots ,x_{n}]={\frac {f^{(n)}(\xi )}{n!}}.}$

При n  = 1, то есть двух точках функции, получается простая теорема о среднем значении .

Доказательство

Пусть — интерполяционный полином Лагранжа для f при x ₀ , ...,  x _n . Тогда из формы Ньютона следует , что член высшего порядка равен . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle f[x_{0},\dots ,x_{n}]x^{n}}$

Пусть будет остатком интерполяции, определяемой как . Тогда имеет нули: x ₀ , ...,  x _n . Применяя теорему Ролля сначала к , затем к , и так далее до , находим, что имеет ноль . Это означает, что ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g=f-P}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g'}$ ${\displaystyle g^{(n-1)}}$ ${\displaystyle g^{(n)}}$ ${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle 0=g^{(n)}(\xi )=f^{(n)}(\xi )-f[x_{0},\dots ,x_{n}]n!}$,

${\displaystyle f[x_{0},\dots ,x_{n}]={\frac {f^{(n)}(\xi )}{n!}}.}$

Приложения

Теорему можно использовать для обобщения среднего значения Столярского на более чем две переменные.

Ссылки

1. de Boor, C. (2005). «Разделенные различия». Surv. Approx. Theory . 1 : 46–69. MR  2221566.