Спред, сохраняющий среднее значение

В вероятности и статистике спред , сохраняющий среднее ( MPS ) ^[1] — это изменение одного распределения вероятностей A на другое распределение вероятностей B, где B формируется путем распространения одной или нескольких частей функции плотности вероятности или функции массы вероятности A , при этом среднее ( ожидаемое значение ) остается неизменным. Таким образом, концепция спредов, сохраняющих среднее, обеспечивает стохастическое упорядочение игр с равным средним (распределений вероятностей) в соответствии со степенью их риска ; это упорядочение является частичным , что означает, что из двух игр с равным средним не обязательно верно, что одна из них является спредом, сохраняющим среднее, другой. Говорят, что распределение A является сохраняющим среднее сокращением B, если B является сохраняющим среднее спредом A.

Ранжирование азартных игр по спредам, сохраняющим среднее значение, является частным случаем ранжирования азартных игр по стохастическому доминированию второго порядка , а именно, частным случаем равных средних значений: если B является спредом A, сохраняющим среднее значение, то A является стохастически доминантным вторым порядком над B; и обратное справедливо , если A и B имеют равные средние значения.

Если B — это спред A, сохраняющий среднее значение, то B имеет более высокую дисперсию, чем A, а ожидаемые значения A и B идентичны; но обратное в общем случае неверно, поскольку дисперсия представляет собой полное упорядочение, в то время как упорядочение спредами, сохраняющими среднее значение, является лишь частичным.

Пример

Этот пример показывает, что для сохранения среднего значения спред не требует, чтобы вся или большая часть вероятностной массы отдалялась от среднего значения. ^[2] Пусть A имеет равные вероятности для каждого исхода , при и для ; и пусть B имеет равные вероятности для каждого исхода , при , для и . Здесь B был создан из A путем перемещения одного фрагмента с вероятностью 1% от 198 до 100 и перемещения 49 вероятностных фрагментов от 198 до 200, а затем перемещения одного вероятностного фрагмента от 202 до 300 и перемещения 49 вероятностных фрагментов от 202 до 200. Эта последовательность двух сохраняющих среднее значений спредов сама по себе является сохраняющим среднее значение спредом, несмотря на то, что 98% вероятностной массы переместилось к среднему значению (200). ${\displaystyle 1/100}$ ${\displaystyle x_{Ai}}$ ${\displaystyle x_{Ai}=198}$ ${\displaystyle i=1,\dots ,50}$ ${\displaystyle x_{Ai}=202}$ ${\displaystyle i=51,\dots ,100}$ ${\displaystyle 1/100}$ ${\displaystyle x_{Bi}}$ ${\displaystyle x_{B1}=100}$ ${\displaystyle x_{Bi}=200}$ ${\displaystyle i=2,\dots ,99}$ ${\displaystyle x_{B100}=300}$

Математические определения

Пусть и будут случайными величинами, связанными с азартными играми A и B. Тогда B является сохраняющим среднее значение спредом A тогда и только тогда, когда для некоторой случайной величины, имеющей для всех значений . Здесь означает « равно распределению » (то есть «имеет такое же распределение, как»). ${\displaystyle x_{A}}$ ${\displaystyle x_{B}}$ ${\displaystyle x_{B}{\overset {d}{=}}(x_{A}+z)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle E(z\mid x_{A})=0}$ ${\displaystyle x_{A}}$ ${\displaystyle {\overset {d}{=}}}$

Спреды, сохраняющие среднее значение, также можно определить в терминах кумулятивных функций распределения и функций A и B. Если A и B имеют равные средние значения, то B является спредом, сохраняющим среднее значение, для A тогда и только тогда, когда площадь под от минус бесконечности до меньше или равна площади под от минус бесконечности до для всех действительных чисел , со строгим неравенством при некоторых . ${\displaystyle F_{A}}$ ${\displaystyle F_{B}}$ ${\displaystyle F_{A}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F_{B}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Оба эти математические определения повторяют определения стохастического доминирования второго порядка для случая равных средних значений.

Связь с теорией ожидаемой полезности

Если B — это сохраняющий среднее спред A, то A будет предпочтен всеми максимизаторами ожидаемой полезности , имеющими вогнутую полезность. Обратное также верно: если A и B имеют равные средние значения и A предпочитают все максимизаторы ожидаемой полезности, имеющие вогнутую полезность, то B — сохраняющий среднее спред A.

Смотрите также

• Стохастическое упорядочение
• Риск (статистика)
• Параметр масштаба

Ссылки

1. Ротшильд, Майкл ; Стиглиц, Джозеф (1970). «Увеличение риска I: определение». Журнал экономической теории . 2 (3): 225–243. doi :10.1016/0022-0531(70)90038-4.
2. Ландсбергер, М.; Мейлийсон, И. (1993). «Сохраняющее среднее доминирование портфеля». Обзор экономических исследований . 60 (2): 479–485. doi :10.2307/2298068. JSTOR  2298068.

Дальнейшее чтение

• Мас-Колелл, А .; Уинстон, М.Д.; Грин, Дж.Р. (1995). Микроэкономическая теория. Нью-Йорк: Oxford University Press. С. 197–199. ISBN 0-19-510268-1– через Google Книги .