Безпамять

Свойство времени ожидания некоторых распределений вероятностей

В теории вероятности и статистике отсутствие памяти является свойством определенных вероятностных распределений . Он описывает ситуации, когда время ожидания события не влияет на то, как долго вам придется ждать. Чтобы точно моделировать ситуации без памяти, мы должны игнорировать прошлое состояние системы — на вероятности не влияет история процесса. ^[1]

Только два вида распределений не имеют памяти : геометрические и экспоненциальные распределения вероятностей.

Примеры времени ожидания

С памятью

Большинство явлений не лишены памяти, а это означает, что наблюдатели со временем получат информацию о них. Например, предположим, что X — это случайная величина , срок службы двигателя автомобиля, выраженный в терминах «количество пройденных миль до поломки двигателя». Исходя из нашей интуиции, ясно, что двигатель, который уже проехал 300 000 миль, будет иметь гораздо меньший X , чем второй (эквивалентный) двигатель, который проехал всего 1 000 миль. Следовательно, эта случайная величина не будет обладать свойством безпамяти.

Без памяти

Напротив, давайте рассмотрим ситуацию, которая демонстрирует отсутствие памяти. Представьте себе длинный коридор, вдоль одной стены которого стоят тысячи сейфов. Каждый сейф имеет циферблат с 500 позициями, и каждому из них случайным образом назначается позиция открытия. Представьте себе, что эксцентричный человек идет по коридору, останавливаясь у каждого сейфа по разу, чтобы сделать единственную случайную попытку его открыть. В этом случае мы могли бы определить случайную величину X как время поиска, выраженное в терминах «количество попыток, которые человек должен сделать, прежде чем он успешно откроет сейф». В этом случае E[ X ] всегда будет равно значению 500, независимо от того, сколько попыток уже было предпринято. Каждая новая попытка имеет шанс (1/500) на успех, поэтому человек, скорее всего, откроет ровно один сейф где-то из следующих 500 попыток, но с каждой новой неудачей он не делает «прогресса» на пути к конечному успеху. Даже если взломщик сейфов только что потерпел неудачу 499 раз подряд (или 4999 раз), мы ожидаем, что нам придется подождать еще 500 попыток, прежде чем мы увидим следующий успех. Если вместо этого этот человек сосредоточит свои попытки на одном сейфе и «запомнит» свои предыдущие попытки открыть его, он будет гарантированно откроет сейф максимум после 500 попыток (и, фактически, в начале будет только ожидайте, что потребуется 250 попыток, а не 500).

Универсальный закон радиоактивного распада , описывающий время до распада данной радиоактивной частицы, является реальным примером отсутствия памяти. Часто используемый (теоретический) пример отсутствия памяти в теории массового обслуживания — это время, которое продавец должен ждать до прибытия следующего покупателя.

Дискретная безпамять

Если дискретная случайная величина не имеет памяти, то она удовлетворяет условиям где и – натуральные числа . Равенство остается верным даже при замене. ^[2] ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \Pr(X>m+n\mid X>m)=\Pr(X>n)}$$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \geq }$

Единственная дискретная случайная величина, не имеющая памяти, — это геометрическая случайная величина . ^[3] Он описывает, когда происходит первый успех в бесконечной последовательности независимых и одинаково распределенных испытаний Бернулли . ^[4] Свойство безпамяти утверждает, что количество ранее неудачных попыток не влияет на количество будущих попыток, необходимых для успеха.

Постоянное отсутствие памяти

Если непрерывная случайная величина не имеет памяти, то она удовлетворяет условиям где и – неотрицательные действительные числа . ^[5] Равенство остается верным даже при замене. ^[6] ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \Pr(X>s+t\mid X>t)=\Pr(X>s)}$$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \geq }$

Единственная непрерывная случайная величина, не имеющая памяти, — это экспоненциальная случайная величина . Он моделирует случайные процессы, такие как время между последовательными событиями. ^[7] Свойство безпамяти утверждает, что количество времени, прошедшее с момента предыдущего события, не влияет на будущее время до тех пор, пока не произойдет следующее событие.

Экспоненциальное распределение и доказательство отсутствия памяти

Единственным непрерывным распределением вероятностей без памяти является экспоненциальное распределение, которое показано в следующем доказательстве: ^[8]

Сначала определите , также известную как функция выживания распределения . Из свойства безпамяти и определения условной вероятности следует, что ${\displaystyle S(t)=\Pr(X>t)}$ $${\displaystyle {\frac {\Pr(X>t+s)}{\Pr(X>t)}}=\Pr(X>s)}$$

Это дает функциональное уравнение , из которого следует, где – натуральное число . Аналогично, где – натуральное число, исключая . Следовательно, все рациональные числа удовлетворяют условиям. Поскольку непрерывно и множество рациональных чисел плотно во множестве действительных чисел , где – неотрицательное действительное число. Когда , В результате где . $${\displaystyle S(t+s)=S(t)S(s)}$$ $${\displaystyle S(pt)=S(t)^{p}}$$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle S\left({\frac {t}{q}}\right)=S(t)^{\frac {1}{q}}}$$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle a={\tfrac {p}{q}}}$ $${\displaystyle S(at)=S(t)^{a}}$$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle S(xt)=S(t)^{x}}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t=1}$ $${\displaystyle S(x)=S(1)^{x}}$$ $${\displaystyle S(x)=e^{-\lambda x}}$$ ${\displaystyle \lambda =-\ln S(1)\geq 0}$

Рекомендации

1. «Заметки о случайных величинах без памяти» (PDF) .
2. Чаттамвелли, Раджан; Шанмугам, Рамалингам (2020). Дискретные распределения в технике и прикладных науках. Обобщающие лекции по математике и статистике. Чам: Международное издательство Springer. п. 71. дои : 10.1007/978-3-031-02425-2. ISBN 978-3-031-01297-6.
3. Деккинг, Фредерик Мишель; Краайкамп, Корнелис; Лопухаа, Хендрик Пауль; Местер, Людольф Эрвин (2005). Современное введение в вероятность и статистику. Тексты Спрингера в статистике. Лондон: Спрингер Лондон. п. 50. дои : 10.1007/1-84628-168-7. ISBN 978-1-85233-896-1.
4. Нагель, Вернер; Штайер, Рольф (04 апреля 2017 г.). Вероятность и условное ожидание: основы эмпирических наук. Серия Уайли по вероятности и статистике (1-е изд.). Уайли. стр. 260–261. дои : 10.1002/9781119243496. ISBN 978-1-119-24352-6.
5. Питман, Джим (1993). Вероятность. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York. п. 279. дои : 10.1007/978-1-4612-4374-8. ISBN 978-0-387-94594-1.
6. Бремо, Пьер (2024). Введение в прикладную теорию вероятности. Тексты по прикладной математике. Том. 77. Чам: Международное издательство Springer. п. 84. дои : 10.1007/978-3-031-49306-5. ISBN 978-3-031-49305-8.
7. Бас, Эсра (2019). Основы теории вероятности и случайных процессов. Чам: Международное издательство Springer. п. 74. дои : 10.1007/978-3-030-32323-3. ISBN 978-3-030-32322-6.
8. Рипосо, Жюльен (2023). Некоторые основы математики блокчейна. Чам: Springer Nature Швейцария. стр. 8–9. дои : 10.1007/978-3-031-31323-3. ISBN 978-3-031-31322-6.