В математической области теории узлов хиральный узел — это узел , который не эквивалентен своему зеркальному отображению (когда он идентичен, но перевернут). Ориентированный узел, который эквивалентен своему зеркальному отображению, — это амфикейральный узел , также называемый ахиральным узлом . Хиральность узла — это инвариант узла . Хиральность узла может быть далее классифицирована в зависимости от того, является ли он обратимым или нет .
Существует всего пять типов симметрии узлов, определяемых хиральностью и обратимостью: полностью хиральный, обратимый, положительно амфихейральный необратимый, отрицательно амфихейральный необратимый и полностью амфихейральный обратимый. [1]
Возможная хиральность некоторых узлов подозревалась с 1847 года, когда Иоганн Листинг утверждал, что трилистник является хиральным, [2] и это было доказано Максом Деном в 1914 году. PG Tait нашел все амфихейральные узлы до 10 пересечений и предположил, что все амфихейральные узлы имеют четное число пересечений . Мэри Гертруда Хаземан нашла все 12-пересекающиеся и многие 14-пересекающиеся амфихейральные узлы в конце 1910-х годов. [3] [4] Но контрпример к гипотезе Tait, 15-пересекающийся амфихейральный узел, был найден Джимом Хосте, Морвен Тислтуэйт и Джеффом Уиксом в 1998 году. [5] Однако гипотеза Tait была доказана верной для простых , чередующихся узлов . [6]
Простейшим хиральным узлом является узел трилистник , который, как показал Макс Ден , является хиральным . Все нетривиальные торические узлы являются хиральными. Многочлен Александера не может отличить узел от его зеркального отображения, но многочлен Джонса может в некоторых случаях; если V k ( q ) ≠ V k ( q −1 ), то узел является хиральным, однако обратное неверно. Многочлен HOMFLY еще лучше обнаруживает хиральность, но не известно ни одного инварианта полиномиального узла , который мог бы полностью обнаружить хиральность. [7]
Хиральный узел, который может быть плавно деформирован в себя с противоположной ориентацией, классифицируется как обратимый узел. [8] Примерами служат узел-трилистник.
Если узел не эквивалентен своему обратному или зеркальному отображению, то это полностью хиральный узел, например, узел 9 32. [8]
Амфихейральный узел - это узел, который имеет ориентацию -обратный само- гомеоморфизм 3-сферы , α, фиксирующий узел по принципу множества. Все амфихейральные альтернирующие узлы имеют четное число пересечений . Первый амфихейральный узел с нечетным числом пересечений - это 15-пересекающийся узел, открытый Хосте и др. [6]
Если узел изотопен как своему обратному, так и своему зеркальному отображению, он полностью амфихейрален. Простейший узел с этим свойством — узел восьмерка .
Если самогомеоморфизм α сохраняет ориентацию узла, то говорят, что он положительно амфихейрален. Это эквивалентно тому, что узел изотопен своему зеркалу. Никакие узлы с числом пересечений меньше двенадцати не являются положительно амфихейрален и необратимы. [8]
Если самогомеоморфизм α меняет ориентацию узла на противоположную, то говорят, что он является отрицательным амфикейральным. Это эквивалентно тому, что узел изотопен обратному своему зеркальному отображению. Необратимый узел с этим свойством, имеющий наименьшее количество пересечений, — это узел 8 17 . [8]