В карточной игре Contract Bridge комбинация мастей — это определенное подмножество карт одной масти, находящихся в руках разыгрывающего и манекена в начале игры. В то время как ранги оставшихся карт, находящихся у защитников, можно вывести точно, их расположение неизвестно. [1] Оптимальная игра с комбинациями мастей допускает все возможные расклады карт, находящихся у защитников.
Этот термин также используется для обозначения последовательности игр [2] разыгрывающего и фиктивных рук, обусловленной вмешивающимися играми противников; другими словами, план или стратегия игры разыгрывающего с учетом его карт и его цели относительно количества взяток, которые необходимо взять. [3]
Помимо понимания возможных начальных комбинаций и вероятностей расположения карт оппонентов в масти, разыгрывающий может получить дополнительную информацию из торгов, начального хода и предыдущей игры картами, чтобы установить вероятное расположение оставшихся карт.
Диаграмма слева показывает комбинацию червовой масти с шестью картами у подставного игрока (Север, вверху) и четырьмя у разыгрывающего (Юг, внизу). Разыгрывающий может сделать вывод, что в двух противоборствующих руках только три червы — король, десятка и восьмерка, но их точное расположение неизвестно. Таблица справа показывает восемь возможных лож этих трех карт; комбинация масти и ее диаграмма неявно включают все восемь возможностей.
По мере того, как количество карт определенной масти у разыгрывающего и болвана уменьшается, количество карт у противоположной стороны должно увеличиваться, поскольку в каждой масти всегда по тринадцать карт. Выражаясь математически, количество возможных комбинаций из n карт у противников равно 2 n . В приведенном выше примере три карты удерживаются 2 3 или 8 способами (2x2x2 = 8).
В этом примере у противников по четыре карты в 2, 4 или 16 вариантах (2x2x2x2 = 16).
В этом примере у противников по пять карт в 2 5 или 32 вариантах (2x2x2x2x2 = 32).
Обычно в стандартной экспозиции бриджа не все маленькие карты явно идентифицированы, и представление руки делается более общим путем замены определенных карт на «x», где «x» представляет 2 или любую другую карту, достаточно низкую, чтобы быть эквивалентной 2. «X» представляет карту ниже любой другой, которая указана и не имеет возможности или потенциала взятки. Следующая прогрессия альтернатив позволяет считать все более высокие карты-спот несущественными для анализа.
Оптимальная стратегия в игре одной сделки за столом для бриджа варьируется вместе с изменением цели разыгрывающего; информации, мастерства и цели оппонентов; контракта и уязвимости; и расклада карт в четырех руках, который включает четыре комбинации мастей и их расположение. В экспозиции бриджа обычно предполагают два партнерства с противоположными целями, которые включают условия соревнования (вариант подсчета очков и вариант турнира) и контракт и уязвимость. Таким образом, с точки зрения теории игр , игра любой сделки является игрой с нулевой суммой.
По крайней мере, со времен Кроухерста (1964) анализ комбинаций мастей регулярно делает дальнейшие упрощения в том же духе. Самое фундаментальное, игра любой комбинации мастей — это игра с нулевой суммой . По сути, обе стороны договариваются об отношении масти ко всей руке, так что их противоположные общие цели сводятся к противоположным целям в масти. (Двойная фиктивная природа защиты, ниже, делает это важной неисследованной целью.*) Суть в том, что их противоположные цели могут быть выражены в терминах количества взяток, выигранных и проигранных в представленной масти.
Обычно Кроухерст идет на два шага дальше. Во-первых, комбинация мастей — это игра двух человек с нулевой суммой. Это означает, что два защитника играют как один; они едины во мнении. Они знают карты друг друга и, таким образом, зная манекен, они знают и руку разыгрывающего. (Это правильно называется защитой от двух манекенов .) Один план управляет игрой обоих. Если они решают рандомизировать свои игры (см. «Смешанная стратегия» ниже), они могут рандомизировать вместе.
Во-вторых, игра масти представляет собой последовательность взяток, где ход всегда от манекена или от закрытой руки по выбору разыгрывающего. По сути, защитники всегда переключаются на побочную масть, когда выигрывают взятку, и разыгрывающий останавливает эти побочные масти по крайней мере до того, как сбросить из показанной масти. Разыгрывающий может переходить между руками, используя побочные масти; т. е. общение или управление входом не являются проблемой.
Еще одно соглашение заключается в том, чтобы положить большее количество карт в фиктивную, Северную, если комбинация мастей состоит из двух неравных владений. Учитывая упрощенную обстановку, это не имеет значения, за исключением случайных психологических соображений, говорит Кроухерст. За столом, против двух защитников, которые видят открытую руку и не видят закрытую руку, разница может быть очень важной.
Кроухерст обычно охватывает две альтернативные целевые функции: (максимальное) ожидаемое количество выигранных взяток, или ожидание взяток, и (максимальная) вероятность выигрыша определенного количества взяток, например, трех для комбинации с четырьмя картами в каждой руке.
Этот набор из двух целей ограничен в некоторых отношениях, которые имеют практическое значение, поэтому они могут оказать большое влияние на применение любых результатов к «реальным сделкам». Оказывается, что результаты не просто применимы к козырным контрактам или к бескозырным контрактам; и не применимы в целом к козырной масти или побочной масти в козырном контракте. Суть вопроса в том, что количество выигрышных взяток в масти слишком просто. Количество проигрышных взяток не является избыточным, и последовательность выигрышных и проигрышных взяток может быть значительной.
Сначала рассмотрим данную комбинацию мастей в контракте червей. Если масть разделяется 0=5, или ♥ – слева и ♥ K10876 справа, то у защиты есть победитель пятого раунда в червах, которого нельзя избежать. (Пятая взятка в масти может никогда не быть сыграна, но пятая карта в козырях является победителем, если сыграна в взятке побочной масти.) В комбинации из четырех карт, такой как эта, «три победителя» обычно означают «одного проигравшего», но это не излишне, и различие между тремя с одним проигравшим и тремя с двумя проигравшими может быть жизненно важным для целей двух сторон в реальной сделке.
Во-вторых, рассмотрим данную комбинацию мастей в пиковом контракте. Три победителя на первых трех червах и проигравший на четвертой взятке — скажем, T876 против синглтона короля, а болван ходит с дамы — оставляют открытой возможность проиграть ни одной червовой взятки, если четвертую можно сбросить или переиграть. Три победителя на первой, третьей и четвертой червовой взятке — скажем, 87 против KT6, а разыгрывающий ходит с туза — подразумевают проигравшего на второй взятке, чего нельзя избежать (или только в редких случаях). Количество выигрышных взяток для разыгрывающей стороны из четырех карт в масти лишь приблизительно соответствует целям двух сторон в реальной сдаче.
В упрощенной обстановке оптимальная игра разыгрывающего с комбинацией мастей может быть получена с использованием устоявшейся теории игр , а именно теории игр двух лиц с нулевой суммой. Кроухерст обычно охватывает две альтернативные целевые функции для каждой комбинации мастей в каталоге. Одна из них — это (максимальное) ожидаемое количество выигранных взяток, или ожидание взяток. Другая — это (максимальная) вероятность выигрыша заметного определенного количества взяток, например, трех для комбинации с четырьмя картами в каждой руке.
Это означает, что указана целевая функция, которую необходимо максимизировать. Для целей игры в костюмы эта целевая функция (или цель) обычно принимается за вероятность сделать указанное минимальное количество взяток.
Учитывая эту цель, все линии игры проверяются на все возможные защиты для каждого распределения карт противника, и целевая функция определяется для каждого из этих случаев. Каждой линии игры в сочетании с каждым распределением карт противника затем может быть назначено минимальное значение целевой функции, полученное в результате наилучшей защиты для этого макета. Оптимальная линия игры выбирается как линия, которая максимизирует минимальное значение целевой функции, усредненное по всем возможным макетам. В результате оптимальное решение для комбинации мастей учитывает все линии защиты (включая все формы фальшивых карт ) и защищает от лучших линий защиты, но не обязательно является оптимальным с точки зрения использования ошибок, допущенных защитой.
Для следующей комбинации потребуются два трюка:
Оптимальный подход — вести низом к даме, уловка против короля. Если дама проигрывает королю, ведите низом к десятке, уловка второго раунда против валета. [4] Это выигрывает две взятки в 74% случаев. Приближение легко увидеть, рассмотрев четыре возможных положения короля и валета в руках защиты. Вы преуспеете в трех из четырех случаев: и король, и валет на Востоке (вероятность 24%), только король на Востоке (вероятность 26%) и ни один на Востоке (вероятность 24%). В четвертом случае, король на Западе и валет на Востоке (26%), вы преуспеете, если валет будет синглтоном (вероятность 0,5%).
Предположим, что для следующей комбинации требуются два трюка:
Оптимальный подход — обналичить туза и затем сделать низшую ставку к валету. [5] [6] Это не сработает только против ♥ KQxxx(xx) на востоке; это король, дама и по крайней мере три из пяти малых червей. Другими словами, это сработает, если на Западе есть либо честь, либо по крайней мере три карты-спот. Общая вероятность успеха составляет 90,0% [ требуется цитата ] .
Если требуются три взятки, Лоуренс рекомендует другую линию игры. [5] [6] Обналичьте туз, а затем уклонитесь от второй взятки; то есть играйте низкой с обеих рук независимо от защиты. Это удается, когда масть распределяется 3-3 между противниками, а также когда она делится 4-2 с одним или обоими honor doubleton. (Против обоих honor doubleton он выигрывает четыре взятки. Против одного honor doubleton он проигрывает вторую взятку этому honor и третью взятку другому, выигрывая остальные три взятки.) Общая вероятность успеха составляет 64,6%.
Оптимальное отношение к конкретной комбинации мастей гарантирует определенную минимальную вероятность успеха против любой возможной защиты. Однако такое отношение, хотя и защищает от противников, которые могли бы воспользоваться любой ошибкой в игре разыгрывающего, само по себе не использует ошибки защиты. В некоторых практических случаях, когда вероятны ошибки защиты, может быть целесообразно отклониться от оптимальной игры масти, чтобы извлечь выгоду из предполагаемых ошибок защиты.
В этом примере из 5-го издания Официальной энциклопедии бриджа разыгрывающему нужно взять две взятки из масти, в которой у него три маленькие карты, а у болвана есть KQ 10 : [7]
Оптимальный подход с точки зрения теории игр заключается в том, чтобы сделать ход в сторону короля в болванке, а затем — независимо от того, выиграл король или нет — сделать ход в сторону ферзя.
Опытный защитник, сидящий на Востоке с тузом, но без валета, скорее всего, уклонится в первом раунде, чтобы защитить валета партнера. Таким образом, если этот опытный защитник играет тузом в первой взятке, у него, скорее всего, будет либо туз синглтон, либо туз и валет, потому что с любой другой комбинацией он бы уклонился. В последнем случае единственный шанс разыгрывающего получить две взятки от этой масти — сыграть на Востоке для туз-валет даблтон. Поскольку шанс на туз-валет даблтон (0,73%) больше, чем шанс на туз синглтон (0,48%), если король проигрывает тузу в первой взятке, оптимальная игра разыгрывающего — играть на сброс валета во второй взятке и выставить даму.
Однако на практике, если в первом раунде король проигрывает тузу Востока, разыгрывающий должен решить, будет ли Восток держать туз в первом раунде, не держа валет. Если Восток, как считается, вероятно, сыграет тузом в первом раунде независимо от того, есть ли у него валет, разыгрывающий должен ухитриться с десяткой во втором раунде. [7] Обратите внимание, что эксперт, сидящий на Востоке, который намеренно делает эксплуататорскую защиту, поймав короля тузом, имея на руках одну или несколько мелких карт в масти (но не валет), рассчитывает на тот факт, что разыгрывающий сочтет, что он не будет делать эту неоптимальную игру.
Хотя оптимальные игры для комбинаций мастей традиционно выводились вручную, вычислительные возможности современных компьютеров позволили добиться большей детализации и точности в анализе и представлении оптимальных линий игры. Ссылаясь на «Словарь комбинаций мастей» Рудинеско , библиографы Бурк и Сагден [8] отмечают, что он «был вытеснен компьютерными программами, такими как SuitPlay » [9] — программой, разработанной Йероеном Вармердамом из Нидерландов. [10]
Даже без учета психологических факторов анализ сложных комбинаций мастей не является простым. Человеческий анализ может привести к упущению определенных возможностей. Предположительно оптимальные подходы к комбинациям мастей были опубликованы в Официальной энциклопедии бриджа , 5-е издание, но автоматизированный анализ позже показал, что некоторые из них неверны [11] , и они были обновлены в более поздних изданиях. [12]
Для этой комбинации мастей требуются две взятки. Согласно 5-му изданию «Официальной энциклопедии бриджа», линия игры гарантирует 51% успеха [13] : «Ведите маленькую на девятку. Если эта проиграет Западу, затем ловите десятку. Если в первом раунде с Востока появляется честь, снова ведите маленькую на девятку; если Восток показывает или играет другую честь, затем ловите десятку; в противном случае играйте до туза».
Однако, используя компьютеризированный исчерпывающий поиск собственной разработки, Уормердам нашел игру, которая, по его словам, приводит к успеху не менее 58% против любой возможной защиты: [11] «Ведите мало к девятке. Если это проиграет Западу, обналичьте туз. Если честь появляется с Востока в первом раунде, играйте 9, а если он проиграет изяществу, десятку». 6-е издание «Официальной энциклопедии бриджа» рекомендует ту же линию игры, что и Уормердам, но утверждает, что вероятность успеха составляет 51%; [14] 7-е издание исправило процент до 58%. [15]
Хотя может быть мало споров о том, что является оптимальной игрой в костюме с учетом его раскладки и целевой функции, которую необходимо максимизировать, выбор того, что составляет правильную целевую функцию для данной практической ситуации, может быть предметом споров. Как правило, спецификация целевой функции зависит от типа подсчета очков. В командных матчах с подсчетом очков IMP цель максимизации счета imp обычно соответствует цели максимизации вероятности получения определенного количества взяток из рассматриваемого костюма (см. примеры выше). При подсчете очков матчпойнта обычно предполагается, что цель максимизации вашего счета матчпойнта соответствует цели максимизации ожидаемого количества взяток из рассматриваемого костюма. Это предположение не всегда верно. Целью разыгрывающего при подсчете очков матчпойнта скорее является обеспечение того, чтобы его линия игры побеждала альтернативные подходы с точки зрения подсчета большего количества взяток на как можно большем количестве раскладок. При применении этой «цели матч-пойнта» к линии игры для одной масти возникают оптимальные линии игры, которые могут отличаться от неэксплуатационной линии игры, оптимизирующей ожидаемое количество взяток от масти. [9] Пример иллюстрирует это положение:
Какова лучшая игра в матчпоинт? Линия игры, которая максимизирует ожидаемое количество взяток от этой масти, заключается в том, чтобы ухищриться, играя на десятку. Если десятка проигрывает валету, вы следующим ходом играете на короля. Если десятка проигрывает тузу, вы следующим ходом играете даму. Такой подход приводит к трем взяткам в 28,7% случаев, двум взяткам в 54,4% случаев и одной взятке в 16,9% случаев. Таким образом, ожидаемое значение количества взяток составляет 2,12 взятки.
Однако эта игра не является оптимальной в смысле оптимизации вышеописанной цели матч-пойнта. Рассмотрим линию игры, которая начинается с глубокой утонченности, играя на восьмерку. Если восьмерка проигрывает девятке, следующая игра на короля. Если восьмерка проигрывает валету, следующая игра на десятку. Если восьмерка проигрывает тузу, пусть бежит дама, а затем утонченность на валет. Эта игра приводит к 2,09 ожидаемых взяток, что немного меньше, чем вышеуказанные 2,12 взяток, полученных при игре на десятку. Тем не менее, игра, которая приводит к 2,09 взяткам в среднем, превосходит игру, приводящую к 2,12 взяткам в среднем с точки зрения цели матч-пойнта.
Это можно увидеть, рассмотрев раскладки, в которых линия игры, начинающаяся с глубокой утонченности, требует больше взяток, чем линия игры, начинающаяся с утонченности , и наоборот: следует, что глубокая утонченность побеждает утонченность в 22,95% случаев, тогда как утонченность побеждает глубокую утонченность только в 18,33% случаев. В остальных случаях (58,72%) обе линии игры приводят к одинаковому количеству взяток.
Могут возникнуть дополнительные осложнения, поскольку в некоторых случаях ни одна детерминированная стратегия не приводит к оптимальному результату. [16] [17] Известный результат в теории игр гласит, что в таких случаях должна существовать оптимальная смешанная стратегия . Небольшое изменение в макете последнего примера иллюстрирует это: [ необходима цитата ]
Какова лучшая игра матчпойнта для этой масти? Линия игры, которая максимизирует ожидаемое количество взяток, заключается в том, чтобы играть на десятке. Если десятка проигрывает валету, вы играете на короле. Если десятка проигрывает тузу, вы играете на даме.
Опять же, эта игра не является оптимальной с точки зрения цели матч-пойнта, так как она проигрывает следующей линии игры: возьмите глубокий финес, играя на восьмерку. Если восьмерка проигрывает девятке, затем играйте десяткой и финесс валетом. Если восьмерка проигрывает валету, затем позвольте десятке бежать. Если восьмерка проигрывает тузу, позвольте даме бежать, а затем финесс над валетом. Аналогичный анализ, как в предыдущем примере, показывает, что линия игры, которая начинается с глубокого финесса, в 31,43% случаев приводит к большему количеству взяток, чем линия игры, которая начинается с финесса . Обратный результат сохраняется только в 23,18% случаев.
Вышеуказанная линия игры, начинающаяся с глубокого изящества, также не может оптимизировать цель матчпойнта, поскольку она побеждается другой линией игры. Оказывается, что существует всего восемь линий игры, которые не являются транзитивными : [16] восемь линий игры можно считать размещенными на круге таким образом, что каждая линия игры побеждает своего левого соседа. В результате оптимальный подход в контексте цели матчпойнта соответствует так называемой смешанной стратегии и является вероятностным по своей природе: объявляющий должен выбрать случайным образом одну из восьми линий игры. [17]