Внутренняя модель

В теории множеств , разделе математической логики , внутренняя модель ^[1] теории T — это подструктура модели M теории множеств , которая одновременно является моделью для T и содержит все ординалы M.

Определение

Пусть будет языком теории множеств. Пусть S будет конкретной теорией множеств, например, аксиомами ZFC , и пусть (возможно, так же, как S ) также будет теорией в . ${\displaystyle L=\langle \in \rangle }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle L}$

If — модель для и — структура такая, что ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle L}$

1. ${\displaystyle N}$является подструктурой , т.е. интерпретация in есть ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \in _{N}}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\in _{M}}\cap N^{2}}$
2. ${\displaystyle N}$является моделью ${\displaystyle T}$
3. областью применения является транзитивный класс ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$
4. ${\displaystyle N}$содержит все - порядковые номера ${\displaystyle M}$

тогда мы говорим, что это внутренняя модель (in ). ^[2] Обычно будет равно (или отнесено к категории) , так что это модель «внутри» модели . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S}$

Если выполняются только условия 1 и 2, N называется стандартной моделью T ( в M ) , стандартной подмоделью T ( если S  =  ​​T и) N является множеством в M. Модель N группы T в M называется транзитивной , если она стандартна и выполняется условие 3. Если аксиома основания не предполагается (то есть ее нет в S ), всем трем этим понятиям дается дополнительное условие того, что N является хорошо обоснованным . Следовательно, внутренние модели транзитивны, транзитивные модели являются стандартными, а стандартные модели хорошо обоснованы.

Предположение о существовании стандартной подмодели ZFC (в данной вселенной) сильнее, чем предположение о существовании модели. Фактически, если существует стандартная подмодель, то существует наименьшая стандартная подмодель, называемая минимальной моделью, содержащаяся во всех стандартных подмоделях. Минимальная подмодель не содержит стандартной подмодели (поскольку она минимальна), но (при условии непротиворечивости ZFC ) она содержит некоторую модель ZFC по теореме Гёделя о полноте . Эта модель не обязательно является хорошо обоснованной, иначе ее коллапс Мостовского был бы стандартной подмоделью. (Оно не является обоснованным как отношение во вселенной, хотя оно удовлетворяет аксиоме основания , поэтому оно «внутренне» обосновано. Быть обоснованным не является абсолютным свойством. ^[3] ) В частности, в минимальной подмодели есть модель ZFC, но нет стандартной подмодели ZFC.

Использовать

Обычно, когда кто-то говорит о внутренних моделях теории, обсуждается теория ZFC или какое-то расширение ZFC (например, ZFC +  измеримый кардинал ) . Когда теория не упоминается, обычно предполагается, что обсуждаемая модель является внутренней моделью ZFC. Однако нередко говорят и о внутренних моделях подтеорий ZFC (таких как ZF или KP ). ${\displaystyle \exists }$

Похожие идеи

Курт Гёдель доказал , что любая модель ZF имеет наименьшую внутреннюю модель ZF (которая также является внутренней моделью ZFC +  GCH ), называемую конструируемой вселенной ,  или L.

Существует раздел теории множеств, называемый теорией внутренних моделей , который изучает способы построения наименьших внутренних моделей теорий, расширяющих ZF. Теория внутренней модели привела к открытию точной силы согласованности многих важных теоретических свойств.

Смотрите также

• Счетные транзитивные модели и универсальные фильтры

Рекомендации

1. Шепердсон, Дж. К. (1951–53). «Внутренние модели теории множеств» (Документ). Журнал символической логики.
2. Джех, Томас (2002). Теория множеств . Берлин: Springer-Verlag . ISBN 3-540-44085-2.
3. Кунен, Кеннет (1980). Теория множеств . Амстердам: Паб Северной Голландии. ISBN компании 0-444-86839-9., Страница 117