Моноидальная монада

В теории категорий , разделе математики, моноидальная монада — это монада на моноидальной категории, такая, что функтор является нестрогим моноидальным функтором , а естественные преобразования и являются моноидальными естественными преобразованиями . Другими словами, снабжена отображениями когерентности и удовлетворяет определенным свойствам (опять же: они нестрогие моноидальные), а единица и умножение являются моноидальными естественными преобразованиями . В силу моноидальности морфизмы и обязательно равны. ${\displaystyle (T,\eta ,\mu ,T_{A,B},T_{0})}$ ${\displaystyle (T,\eta ,\mu )}$ ${\displaystyle (C,\otimes ,I)}$ ${\displaystyle T:(C,\otimes ,I)\to (C,\otimes ,I)}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T_{A,B}:TA\otimes TB\to T(A\otimes B)}$ ${\displaystyle T_{0}:I\to TI}$ ${\displaystyle \eta :id\Rightarrow T}$ ${\displaystyle \mu :T^{2}\Rightarrow T}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle \eta _{I}}$

Все вышесказанное можно свести к утверждению, что моноидальная монада является монадой в 2-категории моноидальных категорий, нестрогих моноидальных функторов и моноидальных естественных преобразований. ${\displaystyle {\mathsf {MonCat}}}$

Опмоноидальные монады

Опмоноидальные монады изучались под разными названиями. Ике Мурдейк ввел их как «монад Хопфа» ^[1], в то время как в работах Брюгьера и Вирелизье они называются «бимонадами» по аналогии с « биалгеброй » ^[2] , резервируя термин «монада Хопфа» для опмоноидальных монад с антиподом по аналогии с « алгебрами Хопфа ».

Опмоноидальная монада — это монада в 2-категории моноидальных категорий, оплаксных моноидальных функторов и моноидальных естественных преобразований. Это означает монаду в моноидальной категории вместе с отображениями когерентности и удовлетворяющую трем аксиомам, которые делают опмоноидальный функтор, и еще четырем аксиомам, которые делают единицу и умножение в опмоноидальные естественные преобразования. Альтернативно, опмоноидальная монада — это монада в моноидальной категории, такая, что категория алгебр Эйленберга-Мура имеет моноидальную структуру, для которой забывающий функтор является строго моноидальным. ^{[1] [3]} ${\displaystyle (T,\eta ,\mu )}$ ${\displaystyle {\mathsf {OpMonCat}}}$ ${\displaystyle (T,\eta ,\mu )}$ ${\displaystyle (C,\otimes ,I)}$ ${\displaystyle T^{A,B}:T(A\otimes B)\to TA\otimes TB}$ ${\displaystyle T^{0}:TI\to I}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \mu }$

Простым примером моноидальной категории векторных пространств является монада , где — биалгебра . ^[2] Умножение и единица определяют умножение и единицу монады, в то время как коумножение и коединица порождают опмоноидальную структуру. Алгебры этой монады являются правыми -модулями, которые можно тензоризировать таким же образом, как и их базовые векторные пространства. ${\displaystyle \operatorname {Vect} }$ ${\displaystyle -\otimes A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Характеристики

• Категория Клейсли моноидальной монады имеет каноническую моноидальную структуру, индуцированную моноидальной структурой монады, и такую, что свободный функтор является строго моноидальным. Каноническое присоединение между и категорией Клейсли является моноидальным присоединением относительно этой моноидальной структуры, это означает, что 2-категория имеет объекты Клейсли для монад. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathsf {MonCat}}}$
• 2-категория монад в является 2-категорией моноидальных монад и она изоморфна 2-категории моноидалей (или псевдомоноидов) в категории монад , (слабые) моноидальные стрелки между ними и моноидальные ячейки между ними. ^[4] ${\displaystyle {\mathsf {MonCat}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {Mnd(MonCat)}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {Mon(Mnd(Cat))}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {Mnd(Cat)}}}$
• Категория Эйленберга-Мура опмоноидальной монады имеет каноническую моноидальную структуру, такую ​​что забывающий функтор является строго моноидальным. ^[1] Таким образом, 2-категория имеет объекты Эйленберга-Мура для монад. ^[3] ${\displaystyle {\mathsf {OpmonCat}}}$
• 2-категория монад в является 2-категорией моноидальных монад и она изоморфна 2-категории моноидалей (или псевдомоноидов) в категории монад с опмоноидальными стрелками между ними и опмоноидальными ячейками между ними. ^[4] ${\displaystyle {\mathsf {OpmonCat}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {Mnd(OpmonCat)}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {Opmon(Mnd(Cat))}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {Mnd(Cat)}}}$

Примеры

Следующие монады в категории множеств с ее декартовой моноидальной структурой являются моноидальными монадами:

• Монада множества мощности . Действительно, существует функция , отправляющая пару подмножеств в подмножество . Эта функция является естественной в X и Y. Вместе с уникальной функцией , а также тем фактом, что являются моноидальными естественными преобразованиями, устанавливается как моноидальная монада. ${\displaystyle (\mathbb {P} ,\varnothing ,\cup )}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (X)\times \mathbb {P} (Y)\to \mathbb {P} (X\times Y)}$ ${\displaystyle (X'\subseteq X,Y'\subseteq Y)}$ ${\displaystyle \{(x,y)\mid x\in X'{\text{ and }}y\in Y'\}\subseteq X\times Y}$ ${\displaystyle \{1\}\to \mathbb {P} (\varnothing )}$ ${\displaystyle \mu ,\eta }$ ${\displaystyle (\mathbb {P} }$
• Монада распределения вероятностей (Жири) .

Следующие монады в категории множеств с ее декартовой моноидальной структурой не являются моноидальными монадами

• Если — моноид, то — монада, но в общем случае нет оснований ожидать от него моноидальной структуры (если только он не является коммутативным). ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X\mapsto X\times M}$ ${\displaystyle M}$

Ссылки

1. Moerdijk, Ieke (23 марта 2002 г.). «Монады на тензорных категориях». Журнал чистой и прикладной алгебры . 168 (2–3): 189–208. doi : 10.1016/S0022-4049(01)00096-2 .
2. Bruguières, Alain; Alexis Virelizier (2007). «Монады Хопфа». Advances in Mathematics . 215 (2): 679–733. doi : 10.1016/j.aim.2007.04.011 .
3. McCrudden, Paddy (2002). «Опмоноидальные монады». Теория и приложения категорий . 10 (19): 469–485. CiteSeerX 10.1.1.13.4385 . 
4. Zawadowski, Marek (2011). "Формальная теория моноидальных монад. Объекты Клейсли и Эйленберга-Мура". Журнал чистой и прикладной алгебры . 216 (8–9): 1932–1942. arXiv : 1012.0547 . doi :10.1016/j.jpaa.2012.02.030. S2CID  119301321.