Уравнение Ланжевена

Стохастическое дифференциальное уравнение

В физике уравнение Ланжевена (названное в честь Поля Ланжевена ) — это стохастическое дифференциальное уравнение, описывающее, как система развивается под воздействием комбинации детерминированных и флуктуирующих («случайных») сил. Зависимые переменные в уравнении Ланжевена обычно являются коллективными (макроскопическими) переменными, изменяющимися лишь медленно по сравнению с другими (микроскопическими) переменными системы. Быстрые (микроскопические) переменные отвечают за стохастическую природу уравнения Ланжевена. Одно из приложений — броуновское движение , которое моделирует флуктуирующее движение малой частицы в жидкости.

Броуновское движение как прототип

Первоначальное уравнение Ланжевена ^{[1] [2]} описывает броуновское движение , кажущееся случайным движение частицы в жидкости из-за столкновений с молекулами жидкости, $${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}=-\lambda \mathbf {v} +{\boldsymbol {\eta }}\left(t\right).}$$

Здесь — скорость частицы, — ее коэффициент затухания, — ее масса. Сила, действующая на частицу, записывается в виде суммы вязкой силы, пропорциональной скорости частицы ( закон Стокса ), и шумового члена , представляющего эффект столкновений с молекулами жидкости. Сила имеет гауссово распределение вероятностей с корреляционной функцией , где — постоянная Больцмана , — температура, а — i-й компонент вектора . Форма -функции временной корреляции означает, что сила в данный момент времени не коррелирует с силой в любой другой момент времени. Это приближение: фактическая случайная сила имеет ненулевое время корреляции, соответствующее времени столкновения молекул. Однако уравнение Ланжевена используется для описания движения «макроскопической» частицы в гораздо более длительном масштабе времени, и в этом пределе -корреляция и уравнение Ланжевена становятся практически точными. ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}\left(t\right)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}\left(t\right)}$ $${\displaystyle \left\langle \eta _{i}\left(t\right)\eta _{j}\left(t'\right)\right\rangle =2\lambda k_{\text{B}}T\delta _{i,j}\delta \left(t-t'\right),}$$ ${\displaystyle k_{\text{B}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \eta _{i}\left(t\right)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}\left(t\right)}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \delta }$

Другой общей чертой уравнения Ланжевена является наличие коэффициента затухания в корреляционной функции случайной силы, которая в равновесной системе является выражением соотношения Эйнштейна . ${\displaystyle \lambda }$

Математические аспекты

Строго коррелированная флуктуирующая сила не является функцией в обычном математическом смысле, и даже производная не определена в этом пределе. Эта проблема исчезает, когда уравнение Ланжевена записывается в интегральной форме ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}\left(t\right)}$ ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {v} /\mathrm {d} t}$ $${\displaystyle m\mathbf {v} =\int ^{t}\left(-\lambda \mathbf {v} +{\boldsymbol {\eta }}\left(t\right)\right)\mathrm {d} t.}$$

Поэтому дифференциальная форма является лишь сокращением для ее временного интеграла. Общий математический термин для уравнений этого типа — « стохастическое дифференциальное уравнение ».

Другая математическая неоднозначность возникает для уравнений Ланжевена с мультипликативным шумом, который относится к шумовым терминам, которые умножаются на непостоянную функцию зависимых переменных, например, . Если мультипликативный шум является внутренним для системы, его определение неоднозначно, поскольку его одинаково допустимо интерпретировать согласно схеме Стратоновича или Ито (см. исчисление Ито ). Тем не менее, физические наблюдаемые не зависят от интерпретации, при условии, что последняя применяется последовательно при манипулировании уравнением. Это необходимо, поскольку символические правила исчисления различаются в зависимости от схемы интерпретации. Если шум является внешним по отношению к системе, подходящей интерпретацией является интерпретация Стратоновича. ^{[3] [4]} ${\displaystyle \left|{\boldsymbol {v}}(t)\right|{\boldsymbol {\eta }}(t)}$

Общее уравнение Ланжевена

Существует формальный вывод общего уравнения Ланжевена из классической механики. ^{[5] [6]} Это общее уравнение играет центральную роль в теории критической динамики , ^[7] и других областях неравновесной статистической механики. Уравнение для броуновского движения выше является частным случаем.

Существенным шагом в выводе является разделение степеней свободы на категории медленных и быстрых . Например, локальное термодинамическое равновесие в жидкости достигается за несколько столкновений, но для релаксации к равновесию плотностей сохраняющихся величин, таких как масса и энергия, требуется гораздо больше времени. Таким образом, плотности сохраняющихся величин, и в частности их длинноволновые компоненты, являются кандидатами на роль медленных переменных. Это разделение можно формально выразить с помощью проекционного оператора Цванцига . ^[8] Тем не менее, вывод не является полностью строгим с точки зрения математической физики, поскольку он опирается на предположения, которые не имеют строгого доказательства, и вместо этого обоснованы только как правдоподобные приближения физических систем.

Пусть обозначают медленные переменные. Тогда общее уравнение Ланжевена имеет вид ${\displaystyle A=\{A_{i}\}}$ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} A_{i}}{\mathrm {d} t}}=k_{\text{B}}T\sum \limits _{j}{\left[{A_{i},A_{j}}\right]{\frac {{\mathrm {d} }{\mathcal {H}}}{\mathrm {d} A_{j}}}}-\sum \limits _{j}{\lambda _{i,j}\left(A\right){\frac {\mathrm {d} {\mathcal {H}}}{\mathrm {d} A_{j}}}+}\sum \limits _{j}{\frac {\mathrm {d} {\lambda _{i,j}\left(A\right)}}{\mathrm {d} A_{j}}}+\eta _{i}\left(t\right).}$$

Колеблющаяся сила подчиняется гауссовскому распределению вероятностей с корреляционной функцией ${\displaystyle \eta _{i}\left(t\right)}$ $${\displaystyle \left\langle {\eta _{i}\left(t\right)\eta _{j}\left(t'\right)}\right\rangle =2\lambda _{i,j}\left(A\right)\delta \left(t-t'\right).}$$

Это подразумевает соотношение взаимности Онзагера для коэффициентов затухания . Зависимость от в большинстве случаев незначительна. Символ обозначает гамильтониан системы, где — равновесное распределение вероятностей переменных . Наконец, — проекция скобки Пуассона медленных переменных и на пространство медленных переменных . ${\displaystyle \lambda _{i,j}=\lambda _{j,i}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathrm {d} \lambda _{i,j}/\mathrm {d} A_{j}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}=-\ln \left(p_{0}\right)}$ ${\displaystyle p_{0}\left(A\right)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle [A_{i},A_{j}]}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle A_{j}}$

В случае броуновского движения можно было бы иметь , или и . Уравнение движения для является точным: нет флуктуирующей силы и нет коэффициента затухания . ${\displaystyle {\mathcal {H}}=\mathbf {p} ^{2}/\left(2mk_{\text{B}}T\right)}$ ${\displaystyle A=\{\mathbf {p} \}}$ ${\displaystyle A=\{\mathbf {x} ,\mathbf {p} \}}$ ${\displaystyle [x_{i},p_{j}]=\delta _{i,j}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {x} /\mathrm {d} t=\mathbf {p} /m}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \eta _{x}}$ ${\displaystyle \lambda _{x,p}}$

Примеры

Тепловой шум в электрическом резисторе

Электрическая цепь, состоящая из резистора и конденсатора.

Существует близкая аналогия между парадигматической броуновской частицей, обсуждавшейся выше, и шумом Джонсона , электрическим напряжением, генерируемым тепловыми флуктуациями в резисторе. ^[9] На схеме справа показана электрическая цепь, состоящая из сопротивления R и емкости C. Медленная переменная — это напряжение U между концами резистора. Гамильтониан читается как , а уравнение Ланжевена становится ${\displaystyle {\mathcal {H}}=E/k_{\text{B}}T=CU^{2}/(2k_{\text{B}}T)}$ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {U}{RC}}+\eta \left(t\right),\;\;\left\langle \eta \left(t\right)\eta \left(t'\right)\right\rangle ={\frac {2k_{\text{B}}T}{RC^{2}}}\delta \left(t-t'\right).}$$

Это уравнение можно использовать для определения корреляционной функции , которая становится белым шумом (шумом Джонсона), когда емкость C становится пренебрежимо малой. $${\displaystyle \left\langle U\left(t\right)U\left(t'\right)\right\rangle ={\frac {k_{\text{B}}T}{C}}\exp \left(-{\frac {\left|t-t'\right|}{RC}}\right)\approx 2Rk_{\text{B}}T\delta \left(t-t'\right),}$$

Критическая динамика

Динамика параметра порядка фазового перехода второго рода замедляется вблизи критической точки и может быть описана уравнением Ланжевена. ^[7] Простейшим случаем является класс универсальности «модель A» с несохраняющимся скалярным параметром порядка, реализуемый, например, в аксиальных ферромагнетиках. Другие классы универсальности (номенклатура «модель A»,..., «модель J») содержат диффундирующий параметр порядка, параметры порядка с несколькими компонентами, другие критические переменные и/или вклады от скобок Пуассона. ^[7] ${\displaystyle \varphi }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial t}}\varphi {\left(\mathbf {x} ,t\right)}&=-\lambda {\frac {\delta {\mathcal {H}}}{\delta \varphi }}+\eta {\left(\mathbf {x} ,t\right)},\\[2ex]{\mathcal {H}}&=\int d^{d}x\left[{\frac {1}{2}}r_{0}\varphi ^{2}+u\varphi ^{4}+{\frac {1}{2}}\left(\nabla \varphi \right)^{2}\right],\\[2ex]\left\langle \eta {\left(\mathbf {x} ,t\right)}\,\eta {\left(\mathbf {x} ',t'\right)}\right\rangle &=2\lambda \,\delta {\left(\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right)}\;\delta {\left(t-t'\right)}.\end{aligned}}}$$

Рисунок 1: Фазовый портрет гармонического осциллятора, демонстрирующий расширение вследствие уравнения Ланжевена.

Рисунок 2: Вероятность равновесия для динамики Ланжевена в гармоническом потенциале

Гармонический осциллятор в жидкости

$${\displaystyle m{\frac {dv}{dt}}=-\lambda v+\eta (t)-kx}$$

Частица в жидкости описывается уравнением Ланжевена с потенциальной функцией энергии, демпфирующей силой и тепловыми флуктуациями, заданными теоремой флуктуационной диссипации . Если потенциал квадратичный, то кривые постоянной энергии представляют собой эллипсы, как показано на рисунке. Если есть диссипация, но нет теплового шума, частица непрерывно теряет энергию в окружающую среду, и ее зависящий от времени фазовый портрет (скорость против положения) соответствует внутренней спирали к нулевой скорости. Напротив, тепловые флуктуации непрерывно добавляют энергию частице и не дают ей достичь точно нулевой скорости. Вместо этого начальный ансамбль стохастических осцилляторов приближается к устойчивому состоянию, в котором скорость и положение распределены в соответствии с распределением Максвелла–Больцмана . На графике ниже (рисунок 2) долговременное распределение скорости (синий) и распределение положения (оранжевый) в гармоническом потенциале ( ) построено с вероятностями Больцмана для скорости (зеленый) и положения (красный). В частности, позднее поведение времени отображает тепловое равновесие. ${\textstyle U={\frac {1}{2}}kx^{2}}$

Моделируемые квадратичные смещения свободных броуновских частиц (полупрозрачные волнистые линии) как функция времени для трех выбранных вариантов начального квадратичного смещения, которые составляют 0, 3 k _B T / м и 6 k _B T / м соответственно, причем 3 k _B T / м является значением равнораспределения в тепловом равновесии. Цветные сплошные кривые обозначают средние квадратичные смещения для соответствующих вариантов параметров.

Траектории свободных броуновских частиц

Рассмотрим свободную частицу массы с уравнением движения, описываемым формулой , где — скорость частицы, — подвижность частицы, а — быстро флуктуирующая сила, среднее значение которой по времени обращается в нуль в течение характерного масштаба времени столкновений частиц, т. е . . Общее решение уравнения движения — где — время корреляции шумового члена. Можно также показать, что автокорреляционная функция скорости частицы задается формулой ^[10] , где мы использовали свойство, что переменные и становятся некоррелированными для временных разделений . Кроме того, значение устанавливается равным , так что оно подчиняется теореме о равнораспределении . Если система изначально находится в тепловом равновесии уже с , то для всех , что означает, что система остается в равновесии во все времена. ${\displaystyle m}$ $${\displaystyle m{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=-{\frac {\mathbf {v} }{\mu }}+{\boldsymbol {\eta }}(t),}$$ ${\displaystyle \mathbf {v} =d\mathbf {r} /dt}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}(t)=m\mathbf {a} (t)}$ ${\displaystyle t_{c}}$ ${\displaystyle {\overline {{\boldsymbol {\eta }}(t)}}=0}$ $${\displaystyle \mathbf {v} (t)=\mathbf {v} (0)e^{-t/\tau }+\int _{0}^{t}\mathbf {a} (t')e^{-(t-t')/\tau }dt',}$$ ${\displaystyle \tau =m\mu }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}R_{vv}(t_{1},t_{2})&\equiv \langle \mathbf {v} (t_{1})\cdot \mathbf {v} (t_{2})\rangle \\&=v^{2}(0)e^{-(t_{1}+t_{2})/\tau }+\int _{0}^{t_{1}}\int _{0}^{t_{2}}R_{aa}(t_{1}',t_{2}')e^{-(t_{1}+t_{2}-t_{1}'-t_{2}')/\tau }dt_{1}'dt_{2}'\\&\simeq v^{2}(0)e^{-|t_{2}-t_{1}|/\tau }+\left[{\frac {3k_{\text{B}}T}{m}}-v^{2}(0)\right]{\Big [}e^{-|t_{2}-t_{1}|/\tau }-e^{-(t_{1}+t_{2})/\tau }{\Big ]},\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {a} (t_{1}')}$ ${\displaystyle \mathbf {a} (t_{2}')}$ ${\displaystyle t_{2}'-t_{1}'\gg t_{c}}$ ${\textstyle \lim _{t\to \infty }\langle v^{2}(t)\rangle =\lim _{t\to \infty }R_{vv}(t,t)}$ ${\displaystyle 3k_{\text{B}}T/m}$ ${\displaystyle v^{2}(0)=3k_{\text{B}}T/m}$ ${\displaystyle \langle v^{2}(t)\rangle =3k_{\text{B}}T/m}$ ${\displaystyle t}$

Скорость броуновской частицы можно интегрировать, чтобы получить ее траекторию . Если она изначально находится в начале координат с вероятностью 1, то результат будет ${\displaystyle \mathbf {v} (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ $${\displaystyle \mathbf {r} (t)=\mathbf {v} (0)\tau \left(1-e^{-t/\tau }\right)+\tau \int _{0}^{t}\mathbf {a} (t')\left[1-e^{-(t-t')/\tau }\right]dt'.}$$

Следовательно, среднее смещение асимптотируется к по мере релаксации системы. Среднеквадратичное смещение можно определить аналогично: ${\textstyle \langle \mathbf {r} (t)\rangle =\mathbf {v} (0)\tau \left(1-e^{-t/\tau }\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} (0)\tau }$ $${\displaystyle \langle r^{2}(t)\rangle =v^{2}(0)\tau ^{2}\left(1-e^{-t/\tau }\right)^{2}-{\frac {3k_{\text{B}}T}{m}}\tau ^{2}\left(1-e^{-t/\tau }\right)\left(3-e^{-t/\tau }\right)+{\frac {6k_{\text{B}}T}{m}}\tau t.}$$

Это выражение подразумевает, что , указывая на то, что движение броуновских частиц в масштабах времени, намного короче времени релаксации системы, является (приблизительно) инвариантным относительно обращения времени . С другой стороны, , что указывает на необратимый , диссипативный процесс . ${\displaystyle \langle r^{2}(t\ll \tau )\rangle \simeq v^{2}(0)t^{2}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \langle r^{2}(t\gg \tau )\rangle \simeq 6k_{\text{B}}T\tau t/m=6\mu k_{\text{B}}Tt=6Dt}$

Этот график соответствует решениям полного уравнения Ланжевена для слегка затухающего гармонического осциллятора, полученным с помощью метода Эйлера–Маруямы . На левой панели показана временная эволюция фазового портрета при различных температурах. На правой панели показаны соответствующие распределения вероятностей равновесия. При нулевой температуре скорость медленно уменьшается от своего начального значения (красная точка) до нуля в течение нескольких колебаний из-за затухания. При ненулевых температурах скорость может быть увеличена до значений, превышающих начальное значение, из-за тепловых флуктуаций. На больших временах скорость остается ненулевой, а распределения положения и скорости соответствуют распределению теплового равновесия.

Восстановление статистики Больцмана

Если внешний потенциал консервативен, а шумовой член выводится из резервуара в тепловом равновесии, то долгосрочное решение уравнения Ланжевена должно сводиться к распределению Больцмана , которое является функцией распределения вероятностей для частиц в тепловом равновесии. В особом случае сверхдемпфированной динамики инерция частицы пренебрежимо мала по сравнению с силой затухания, и траектория описывается сверхдемпфированным уравнением Ланжевена, где — константа затухания. Член представляет собой белый шум, характеризующийся (формально, процессом Винера ). Один из способов решения этого уравнения — ввести тестовую функцию и вычислить ее среднее значение. Среднее значение должно быть независимым от времени для конечного , что приводит к ${\displaystyle x(t)}$ $${\displaystyle \lambda {\frac {dx}{dt}}=-{\frac {\partial V(x)}{\partial x}}+\eta (t)\equiv -{\frac {\partial V(x)}{\partial x}}+{\sqrt {2\lambda k_{\text{B}}T}}{\frac {dB_{t}}{dt}},}$$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \eta (t)}$ ${\displaystyle \left\langle \eta (t)\eta (t')\right\rangle =2k_{\text{B}}T\lambda \delta (t-t')}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x(t))}$ ${\displaystyle x(t)}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left\langle f(x(t))\right\rangle =0,}$$

Лемма Ито для процесса дрейфа-диффузии Ито гласит, что дифференциал дважды дифференцируемой функции f ( t , x ) определяется выражением ${\displaystyle dX_{t}=\mu _{t}\,dt+\sigma _{t}\,dB_{t}}$ $${\displaystyle df=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+\mu _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\sigma _{t}^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)dt+\sigma _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}\,dB_{t}.}$$

Применяя это к расчету, получаем ${\displaystyle \langle f(x(t))\rangle }$ $${\displaystyle \left\langle -f'(x){\frac {\partial V}{\partial x}}+k_{\text{B}}Tf''(x)\right\rangle =0.}$$

Это среднее можно записать с помощью функции плотности вероятности ; где второй член был интегрирован по частям (отсюда отрицательный знак). Поскольку это верно для произвольных функций , следует, что таким образом восстанавливается распределение Больцмана ${\displaystyle p(x)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&\int \left(-f'(x){\frac {\partial V}{\partial x}}p(x)+{k_{\text{B}}T}f''(x)p(x)\right)dx\\=&\int \left(-f'(x){\frac {\partial V}{\partial x}}p(x)-{k_{\text{B}}T}f'(x)p'(x)\right)dx\\=&\;0\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial x}}p(x)+{k_{\text{B}}T}p'(x)=0,}$$ $${\displaystyle p(x)\propto \exp \left({-{\frac {V(x)}{k_{\text{B}}T}}}\right).}$$

Эквивалентные методы

В некоторых ситуациях в первую очередь интересует усредненное по шуму поведение уравнения Ланжевена, а не решение для конкретных реализаций шума. В этом разделе описываются методы получения этого усредненного поведения, которые отличаются от стохастического исчисления, присущего уравнению Ланжевена, но также эквивалентны ему.

Уравнение Фоккера–Планка

Уравнение Фоккера–Планка — это детерминированное уравнение для зависящей от времени плотности вероятности стохастических величин . Уравнение Фоккера–Планка, соответствующее общему уравнению Ланжевена, описанному в этой статье, выглядит следующим образом: ^[11] Равновесное распределение — это стационарное решение. ${\displaystyle P\left(A,t\right)}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle {\frac {\partial P\left(A,t\right)}{\partial t}}=\sum _{i,j}{\frac {\partial }{\partial A_{i}}}\left(-k_{\text{B}}T\left[A_{i},A_{j}\right]{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial A_{j}}}+\lambda _{i,j}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial A_{j}}}+\lambda _{i,j}{\frac {\partial }{\partial A_{j}}}\right)P\left(A,t\right).}$$ ${\displaystyle P(A)=p_{0}(A)={\text{const}}\times \exp(-{\mathcal {H}})}$

Уравнение Клейна–Крамерса

Уравнение Фоккера–Планка для слабозатухающей броуновской частицы называется уравнением Клейна–Крамерса . ^{[12] [13]} Если уравнения Ланжевена записать в виде , где — импульс, то соответствующее уравнение Фоккера–Планка имеет вид Здесь и — оператор градиента относительно r и p , а — оператор Лапласа относительно p . $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {r} }}&={\frac {\mathbf {p} }{m}}\\{\dot {\mathbf {p} }}&=-\xi \,\mathbf {p} -\nabla V(\mathbf {r} )+{\sqrt {2m\xi k_{\mathrm {B} }T}}{\boldsymbol {\eta }}(t),\qquad \langle {\boldsymbol {\eta }}^{\mathrm {T} }(t){\boldsymbol {\eta }}(t')\rangle =\mathbf {I} \delta (t-t')\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{m}}\mathbf {p} \cdot \nabla _{\mathbf {r} }f=\xi \nabla _{\mathbf {p} }\cdot \left(\mathbf {p} \,f\right)+\nabla _{\mathbf {p} }\cdot \left(\nabla V(\mathbf {r} )\,f\right)+m\xi k_{\mathrm {B} }T\,\nabla _{\mathbf {p} }^{2}f}$$ ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {r} }}$ ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {p} }}$ ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {p} }^{2}}$

В -мерном свободном пространстве, соответствующем на , это уравнение можно решить с помощью преобразований Фурье . Если частица инициализирована в с положением и импульсом , соответствующими начальному условию , то решение будет ^{[13] [14]} где В трех пространственных измерениях среднеквадратичное смещение равно ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle V(\mathbf {r} )={\text{constant}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ ${\displaystyle \mathbf {p} '}$ ${\displaystyle f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,0)=\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\delta (\mathbf {p} -\mathbf {p} ')}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)=&{\frac {1}{\left(2\pi \sigma _{X}\sigma _{P}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}\right)^{d}}}\times \\&\quad \exp \left[-{\frac {1}{2(1-\beta ^{2})}}\left({\frac {|\mathbf {r} -{\boldsymbol {\mu }}_{X}|^{2}}{\sigma _{X}^{2}}}+{\frac {|\mathbf {p} -{\boldsymbol {\mu }}_{P}|^{2}}{\sigma _{P}^{2}}}-{\frac {2\beta (\mathbf {r} -{\boldsymbol {\mu }}_{X})\cdot (\mathbf {p} -{\boldsymbol {\mu }}_{P})}{\sigma _{X}\sigma _{P}}}\right)\right]\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&\sigma _{X}^{2}={\frac {k_{\mathrm {B} }T}{m\xi ^{2}}}\left[1+2\xi t-\left(2-e^{-\xi t}\right)^{2}\right];\qquad \sigma _{P}^{2}=mk_{\mathrm {B} }T\left(1-e^{-2\xi t}\right)\\&\beta ={\frac {k_{\text{B}}T}{\xi \sigma _{X}\sigma _{P}}}\left(1-e^{-\xi t}\right)^{2}\\&{\boldsymbol {\mu }}_{X}=\mathbf {r} '+(m\xi )^{-1}\left(1-e^{-\xi t}\right)\mathbf {p} ';\qquad {\boldsymbol {\mu }}_{P}=\mathbf {p} 'e^{-\xi t}.\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \langle \mathbf {r} (t)^{2}\rangle =\int f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)\mathbf {r} ^{2}\,d\mathbf {r} d\mathbf {p} ={\boldsymbol {\mu }}_{X}^{2}+3\sigma _{X}^{2}}$$

Интеграл по траектории

Эквивалент уравнения Ланжевена по траектории интеграла можно получить из соответствующего уравнения Фоккера–Планка или путем преобразования гауссовского распределения вероятностей флуктуирующей силы в распределение вероятностей медленных переменных, схематически . Функциональный детерминант и связанные с ним математические тонкости отпадают, если уравнение Ланжевена дискретизируется естественным (причинным) способом, где зависит от , но не от . Оказывается удобным ввести вспомогательные переменные отклика . Эквивалент уравнения Ланжевена по траектории интеграла общего вида тогда записывается как ^[15] где — нормировочный множитель и Формулировка интеграла по траектории позволяет использовать инструменты из квантовой теории поля , такие как методы возмущений и ренормгрупп. Эта формулировка обычно называется либо формализмом Мартина-Сиггиа-Розе ^[16], либо формализмом Янссена-Де Доминициса ^{[15] [17]} по имени ее разработчиков. Математический формализм для этого представления может быть разработан на абстрактном пространстве Винера . ${\displaystyle P^{(\eta )}(\eta )\mathrm {d} \eta }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle P(A)\mathrm {d} A=P^{(\eta )}(\eta (A))\det(\mathrm {d} \eta /\mathrm {d} A)\mathrm {d} A}$ ${\displaystyle A(t+\Delta t)-A(t)}$ ${\displaystyle A(t)}$ ${\displaystyle A(t+\Delta t)}$ ${\displaystyle {\tilde {A}}}$ $${\displaystyle \int P(A,{\tilde {A}})\,\mathrm {d} A\,\mathrm {d} {\tilde {A}}=N\int \exp \left(L(A,{\tilde {A}})\right)\mathrm {d} A\,\mathrm {d} {\tilde {A}},}$$ ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle L(A,{\tilde {A}})=\int \sum _{i,j}\left\{{\tilde {A}}_{i}\lambda _{i,j}{\tilde {A}}_{j}-{\widetilde {A}}_{i}\left\{\delta _{i,j}{\frac {\mathrm {d} A_{j}}{\mathrm {d} t}}-k_{\text{B}}T\left[A_{i},A_{j}\right]{\frac {\mathrm {d} {\mathcal {H}}}{\mathrm {d} A_{j}}}+\lambda _{i,j}{\frac {\mathrm {d} {\mathcal {H}}}{\mathrm {d} A_{j}}}-{\frac {\mathrm {d} \lambda _{i,j}}{\mathrm {d} A_{j}}}\right\}\right\}\mathrm {d} t.}$$

Смотрите также

• Теория Гроте-Хайнса
• Динамика Ланжевена
• Стохастическая термодинамика

Ссылки

1. Ланжевен, П. (1908). «Sur la theorie du mouvement Brownien [К теории броуновского движения]». ЧР акад. наук. Париж . 146 : 530–533.
2. Лемонс, Дон С.; Гитиель, Энтони (1997). "Статья Поля Ланжевена 1908 года "О теории броуновского движения" ["Sur la théorie du mouvement brownien," CR Acad. Sci. (Париж) 146, 530–533 (1908)]". Американский журнал физики . 65 (11). Американская ассоциация учителей физики (AAPT): 1079–1081. Bibcode : 1997AmJPh..65.1079L. doi : 10.1119/1.18725. ISSN  0002-9505.
3. ван Кампен, НГ (1981). «Ито против Стратоновича». Журнал статистической физики . 24 (1). ООО «Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа»: 175–187. Бибкод : 1981JSP....24..175В. дои : 10.1007/bf01007642. ISSN  0022-4715. S2CID  122277474.
4. Ван Кампен, НГ (2007). Стохастические процессы в физике и химии . Elsevier. doi :10.1016/b978-0-444-52965-7.x5000-4. ISBN 978-0-444-52965-7.
5. Кавасаки, К. (1973). «Простые выводы обобщенных линейных и нелинейных уравнений Ланжевена». J. Phys. A: Math. Nucl. Gen . 6 (9): 1289–1295. Bibcode :1973JPhA....6.1289K. doi :10.1088/0305-4470/6/9/004.
6. Денглер, Р. (2015). «Другой вывод обобщенных уравнений Ланжевена». arXiv : 1506.02650v2 [physics.class-ph].
7. Хоэнберг, ПК; Гальперин, БИ (1977). «Теория динамических критических явлений». Reviews of Modern Physics . 49 (3): 435–479. Bibcode :1977RvMP...49..435H. doi :10.1103/RevModPhys.49.435. S2CID  122636335.
8. Цванциг, Р. (1961). «Эффекты памяти в необратимой термодинамике». Phys. Rev. 124 (4): 983–992. Bibcode :1961PhRv..124..983Z. doi :10.1103/PhysRev.124.983.
9. Джонсон, Дж. (1928). «Тепловое возбуждение электричества в проводниках». Phys. Rev. 32 ( 1): 97. Bibcode :1928PhRv...32...97J. doi :10.1103/PhysRev.32.97.
10. Pathria RK (1972). Статистическая механика . Оксфорд: Pergamon Press. С. 443, 474–477. ISBN 0-08-018994-6.
11. Ичимару, С. (1973), Основные принципы физики плазмы (1-е изд.), США: Бенджамин, стр. 231, ISBN 0805387536
12. Крамерс, HA (1940). «Броуновское движение в силовом поле и диффузионная модель химических реакций». Physica . 7 (4). Elsevier BV: 284–304. Bibcode :1940Phy.....7..284K. doi :10.1016/s0031-8914(40)90098-2. ISSN  0031-8914. S2CID  33337019.
13. Рискен, Х. (1989). Уравнение Фоккера–Планка: метод решения и приложения . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0387504988.
14. Чандрасекар, С. (1943). «Стохастические проблемы в физике и астрономии». Reviews of Modern Physics . 15 (1): 1–89. Bibcode : 1943RvMP...15....1C. doi : 10.1103/RevModPhys.15.1. ISSN  0034-6861.
15. Janssen, HK (1976). "Лагранжевый метод для классической динамики поля и расчеты ренормгруппы динамических критических свойств". Z. Phys. B . 23 (4): 377–380. Bibcode :1976ZPhyB..23..377J. doi :10.1007/BF01316547. S2CID  121216943.
16. Мартин, П. К. и Сиггиа, Э. Д. и Роуз, Х. А. (1973). «Статистическая динамика классических систем». Phys. Rev. A. 8 ( 1): 423–437. doi :10.1103/PhysRevA.8.423.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
17. Де Доминисис, К. (1976). «Техники перенормировки теории полей и динамики критических явлений». Дж. Физ. Коллокесы . 37 (С1): 247–253. doi : 10.1051/jphyscol: 1976138.

Дальнейшее чтение

• У. Т. Коффи ( Тринити-колледж, Дублин , Ирландия) и Ю. П. Калмыков ( Университет Перпиньяна , Франция ), Уравнение Ланжевена: с приложениями к стохастическим задачам в физике, химии и электротехнике (третье издание), Всемирная научная серия по современной химической физике – Том 27.
• Рейф, Ф. Основы статистической и тепловой физики , McGraw Hill, Нью-Йорк, 1965. См. раздел 15.5 Уравнение Ланжевена
• Р. Фридрих, Дж. Пейнке и Ч. Реннер. Как количественно оценить детерминированные и случайные влияния на статистику валютного рынка , Phys. Rev. Lett. 84, 5224–5227 (2000)
• LCG Rogers и D. Williams. Диффузии, марковские процессы и мартингалы , Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, Кембридж, перепечатка 2-го (1994) издания, 2000.