Модель скользящей средней

Модель временного ряда

В анализе временных рядов модель скользящего среднего ( модель MA ), также известная как процесс скользящего среднего , является распространенным подходом к моделированию одномерных временных рядов. ^{[1] [2]} Модель скользящего среднего определяет, что выходная переменная перекрестно коррелирует с неидентичной ей случайной величиной.

Вместе с моделью авторегрессии (AR) модель скользящего среднего является частным случаем и ключевым компонентом более общих моделей ARMA и ARIMA временных рядов , ^[3] которые имеют более сложную стохастическую структуру. В отличие от модели AR, конечная модель MA всегда стационарна .

Модель скользящей средней не следует путать со скользящей средней , это отдельная концепция, несмотря на некоторые сходства. ^[1]

Определение

Обозначение MA( q ) относится к модели скользящей средней порядка q :

${\displaystyle X_{t}=\mu +\varepsilon _{t}+\theta _{1}\varepsilon _{t-1}+\cdots +\theta _{q}\varepsilon _{t-q}=\mu +\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}\varepsilon _{t-i}+\varepsilon _{t},}$

где — среднее значение ряда, — коэффициенты модели ^{[ необходим пример ]} и — члены ошибки. Значение q называется порядком модели MA. Это можно эквивалентно записать в терминах оператора обратного сдвига B как ^[4] ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \theta _{1},...,\theta _{q}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{t},\varepsilon _{t-1},...,\varepsilon _{t-q}}$

${\displaystyle X_{t}=\mu +(1+\theta _{1}B+\cdots +\theta _{q}B^{q})\varepsilon _{t}.}$

Таким образом, модель скользящего среднего концептуально является линейной регрессией текущего значения ряда против текущих и предыдущих (наблюдаемых) ошибок белого шума или случайных шоков. Случайные шоки в каждой точке считаются взаимно независимыми и исходят из одного и того же распределения, обычно нормального распределения , с положением в нуле и постоянным масштабом.

Интерпретация

Модель скользящего среднего по сути является фильтром с конечным импульсным откликом , применяемым к белому шуму, с некоторой дополнительной интерпретацией, помещенной на него. ^{[ необходимо разъяснение ]} Роль случайных шоков в модели MA отличается от их роли в авторегрессионной (AR) модели двумя способами. Во-первых, они распространяются на будущие значения временного ряда напрямую: например, появляется непосредственно в правой части уравнения для . Напротив, в модели AR не появляется в правой части уравнения , но он появляется в правой части уравнения , и появляется в правой части уравнения , давая только косвенное влияние на . Во-вторых, в модели MA шок влияет на значения только для текущего периода и q периодов в будущем; напротив, в модели AR шок влияет на значения бесконечно далеко в будущем, потому что влияет на , который влияет на , который влияет на , и так далее вечно (см. Импульсный отклик ). ${\displaystyle \varepsilon _{t-1}}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{t-1}}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle X_{t-1}}$ ${\displaystyle X_{t-1}}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{t-1}}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varepsilon _{t}}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle X_{t+1}}$ ${\displaystyle X_{t+2}}$

Подгонка модели

Подгонка модели скользящего среднего, как правило, сложнее, чем подгонка модели авторегрессии . ^[5] Это связано с тем, что запаздывающие члены ошибки не наблюдаются. Это означает, что вместо линейных наименьших квадратов необходимо использовать итерационные нелинейные процедуры подгонки . Модели скользящего среднего являются линейными комбинациями прошлых членов белого шума, в то время как модели авторегрессии являются линейными комбинациями прошлых значений временного ряда. ^[6] Модели ARMA сложнее, чем чистые модели AR и MA, поскольку они объединяют как компоненты авторегрессии, так и компоненты скользящего среднего. ^[5]

Функция автокорреляции (ACF) процесса MA( q ) равна нулю при лаге q + 1 и больше. Поэтому мы определяем соответствующий максимальный лаг для оценки, исследуя выборочную функцию автокорреляции, чтобы увидеть, где она становится незначительно отличной от нуля для всех лагов за пределами определенного лага, который обозначается как максимальный лаг q .

Иногда функция ACF и функция частичной автокорреляции (PACF) указывают на то, что модель MA будет лучшим выбором, а иногда в одной модели следует использовать как термины AR, так и MA (см. метод Бокса–Дженкинса ).

Модели авторегрессионного интегрированного скользящего среднего (ARIMA) являются альтернативой сегментированной регрессии, которую также можно использовать для подгонки модели скользящего среднего. ^[7]

Смотрите также

• Модель авторегрессии–скользящего среднего
• Авторегрессионное интегрированное скользящее среднее
• Авторегрессионная модель
• Конечный импульсный отклик
• Бесконечный импульсный отклик

Ссылки

1. Shumway, Robert H.; Stoffer, David S. (19 апреля 2017 г.). Анализ временных рядов и его применение: с примерами R. Springer. ISBN 978-3-319-52451-1. OCLC  966563984.
2. "2.1 Модели скользящей средней (модели MA) | STAT 510". PennState: Онлайн-курсы по статистике . Получено 27.02.2023 .
3. Шамвей, Роберт Х.; Стоффер, Дэвид С. (2019-05-17), «Модели ARIMA», Временные ряды: подход к анализу данных с использованием R , Бока-Ратон: CRC Press, Taylor & Francis Group, 2019.: Chapman and Hall/CRC, стр. 99–128, doi :10.1201/9780429273285-5, ISBN 978-0-429-27328-5, получено 2023-02-27{{citation}}: CS1 maint: местоположение ( ссылка )
4. Бокс, Джордж Э.П.; Дженкинс, Гвилим М.; Рейнсел, Грегори К.; Льюнг, Грета М. (2016). Анализ временных рядов: прогнозирование и контроль (5-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: John Wiley & Sons, Incorporated. стр. 53. ISBN 978-1-118-67492-5. OCLC  908107438.
5. "Модели авторегрессионного скользящего среднего ARMA(p, q) для анализа временных рядов - Часть 1 | QuantStart". www.quantstart.com . Получено 27.02.2023 .
6. "Модели авторегрессионного скользящего среднего ARMA(p, q) для анализа временных рядов - Часть 2 | QuantStart". www.quantstart.com . Получено 27.02.2023 .
7. Шаффер, Андреа Л.; Доббинс, Тимоти А.; Пирсон, Салли-Энн (2021-03-22). «Анализ прерванных временных рядов с использованием моделей авторегрессионного интегрированного скользящего среднего (ARIMA): руководство по оценке крупномасштабных вмешательств в здравоохранение». BMC Medical Research Methodology . 21 (1): 58. doi : 10.1186/s12874-021-01235-8 . ISSN  1471-2288. PMC 7986567. PMID 33752604  . 

Дальнейшее чтение

• Эндерс, Уолтер (2004). «Стационарные модели временных рядов». Прикладные эконометрические временные ряды (второе изд.). Нью-Йорк: Wiley. С. 48–107. ISBN 0-471-45173-8.

Внешние ссылки

• Общие подходы к одномерным временным рядам

 В статье использованы материалы, являющиеся общественным достоянием Национального института стандартов и технологий.