В математике и теории групп термин мультипликативная группа относится к одному из следующих понятий:
Примеры
- Мультипликативная группа целых чисел по модулю n — это группа при умножении обратимых элементов числа . Когда n не является простым, существуют элементы, отличные от нуля, которые не являются обратимыми.
- Мультипликативная группа положительных действительных чисел является абелевой группой, единичный элемент которой равен 1 . Логарифм является групповым изоморфизмом этой группы аддитивной группе действительных чисел .
- Мультипликативная группа поля — это набор всех ненулевых элементов: , под действием операции умножения. Если конечна порядка q (например, q = p простое число и ), то мультипликативная группа является циклической: .
Групповая схема корней единицы
Групповая схема корней n -й степени из единицы по определению является ядром n -степенного отображения на мультипликативной группе GL(1), рассматриваемой как групповая схема . То есть для любого целого числа n > 1 мы можем рассмотреть морфизм мультипликативной группы, который принимает n -ные степени, и взять подходящее расслоенное произведение схем с морфизмом e , который служит тождеством.
Полученная групповая схема записывается µ n (или [2] ). Это приводит к сокращенной схеме , когда мы рассматриваем ее над полем K тогда и только тогда, когда характеристика K не делит n . Это делает его источником некоторых ключевых примеров нередуцированных схем (схем с нильпотентными элементами в пучках структур ); например, µ p над конечным полем с p элементами для любого простого числа p .
Это явление нелегко выразить на классическом языке алгебраической геометрии. Например, оно оказывается важным при выражении теории двойственности абелевых многообразий в характеристике р (теория Пьера Картье ). Когомологии Галуа этой групповой схемы — способ выражения теории Куммера .
Смотрите также
Примечания
- ^ См. Hazewinkel et al. (2004), с. 2.
- ^ Милн, Джеймс С. (1980). Этальные когомологии . Издательство Принстонского университета. стр. XIII, 66.
Рекомендации